高三数学大一轮复习讲义 8.6空间向量及其运算 理 新人教A版

1、8.6空间向量及其运算2014高考将这样考试。1。调查空间矢量的线性运算和数量积。2.利用矢量的数量积判断矢量的关系和垂直。考察空间向量的基本定理及其意义。复习准备考试要这样做。1.要与平面向量相比较，了解空间向量的概念，运算。2.了解空间矢量的共线、垂直条件，了解空间矢量的基本定理和数量积。1.空间向量的相关概念(1)空间矢量：在空间中，具有大小和方向的量称为空间矢量。(2)等向量：方向相同、强度相同的向量。(3)共线矢量：具有表示空间矢量的方向段的直线徐璐平行或重合的矢量。(4)共同导向：平行于同一平面的向量。2.共线向量、公共导向定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理空间的两个向量A，

2、b(b0)，A B的填充条件存在实数，因此A=B。推论的点P的L充填条件为=TA ，如图所示。其中a取直线l的方向向量，tr，l中的=a，可以变为=t或=(1-t) t。(2)面向公共的定理的矢量表达式：p=xa Yb，其中x、yr、a、b是非共线矢量，类推的表达式为=x y或空间中的任意点o，例如=x y或(3)空间向量的基本定理如果三个矢量A，B，C不在同一平面上，那么空间中所有矢量P都有有序实数数组x，Y，z的牙齿，因此P=XA Y B ZC被称为空间的基础。3.空间矢量的数量积和运算法则(1)数量产品和相关概念两个向量的角度已知两个非0牙齿矢量A，B在空间中的任意点取O。=A，=B时，

3、AOB称为向量A和B之间的角度，记录为A，B。范围为0“A，B”。两个向量的数量积已知空间0两个非牙齿矢量a，b，a | | b | cos a，b 称为矢量a，b的数量积，它被记录为ab，即ab=| a | | b | cos a，b(2)空间矢量数量积的运算法则结合法：(a)b=(ab)；交换法：ab=ba分配率：a (b c)=a b AC。空间矢量的坐标表示及其应用(1)土方量乘积的坐标运算A=(a1、a2、a3)，b=(B1、B2、B3)，Ab=a1b1 a2b2 a3b3。(2)共线和垂直坐标表达A=(a1、a2、a3)，b=(B1、B2、B3)，a-BA=BA1=B1，A2= B

4、2，A3=B3(B3)、aBab=0a 1 B1 a2 B2 a3 B3=0(a，b都是非零牙齿矢量)。(3)强度、角度和距离公式A=(a1、a2、a3)，b=(B1、B2、B3)，然后| a |=、Cos =。A(a1，B1，C1)，B(a2，B2，C2)，然后dab=| | |=。请求困难的正本疑团1.空间矢量在平面矢量中扩展，因此空间矢量的概念和特性与平面矢量的概念和特性相同或相似，因此，在学习空间矢量时，通过与平面矢量的相关内容类比进行学习，可以以较少的成本获得更多的效果。例如：(1)定义：ab=| a | | b | cos“a，b”或cos“a，b”=，用于获取两个矢量的数量积或角

5、度。(2)非零牙齿向量A，B，ABAB=0用于证明两个向量的垂直关系。(3) | a | 2=aa，用于查找距离等。使用空间向量解决几何问题的一般步骤：(1)适当的选择标准a，b，c ；(2)相关向量用a、b、c表示。(3)通过计算完成证明或计算问题。1.已知向量a=(4，-2，-4)，b=(6，-3，2)，(a b) (a-b)的值为_ _答案-13A b=(10，-5，-2)，a-b=(-2，1，-6)，(a b)(a-b)=-20-5 12=-13。2.下一个命题：如果a、b、c、d是空间的4点，则=0牙齿。a |-| b |=| a b |是a、b共线的充分必要条件。如果a，b共线，则

6、a平行于b所在的线。对于与空间中所有点o不共线的3点a、b、c，如果=x y z(其中x、y、zr)，则p、a、b、c 4点共面。其中所有无效命题的序号为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。答案 分析 4点精确闭合形状，正确； a，b在同一方向时| a | | b |=| a b | a，b直线可以匹配。在p、a、b、c共面之前，必须满足x y z=1。3.同时垂直于a=(2，2，1)和b=(4，5，3)的单位向量为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _答案或分析设定为a=(2，2，1)和b=(4，5，3)，同

7、时垂直b单位向量为c=(p，q，r)海得岛州也就是说，同时垂直a、b的单位向量为或者。4.平行立方体ABCD在A1B1C1D1中，m是A1C1和B1D1的交点，如图所示。=a，=b，=c时，下一个向量中的相同向量是()A.-a b cB.a b cC.-a-b cD.a-b c答案a解决方案=(-)=c (b-a)=-a b C .5.立方ABCD-a1b1c1d 1中的E、F分别位于A1D和AC中，如图所示。如果A1E=A1D，af=AC，则为()A.EF垂直于最大A1D、AC之一B.EF与A1D、AC垂直C.ef与BD1相交D.ef和BD1的头条新闻答案b分析设定ab=1，D作为原点，具有

8、DA的线作为x轴，具有DC的线作为y轴，具有DD1牙齿的线为z轴设定空间直角座标系统时，为A1(1，0，1)，D(0，0，0)，a(问题空间向量的线性运算范例1金字塔O-ABC中的M，N分别为OA，BC的中点，G为ABC重心、基本向量、表现法、思维启蒙：利用空间向量的加法和乘法来表达就行了。解决方案=(-)=()-=-。=-=。探索用已知矢量表示未知矢量必须结合图形。以图形为指导是解决问题的关键。要正确理解矢量加、减、乘的几何意义。端点相接的多个向量的和等于从起点向量的起点指向终点向量的端点的向量。可以把牙齿法则称为矢量加法的多边形法则。在立体几何中，要灵活应用三角定律、向量加法的平行四边形定

9、律在ABCD-A1B1C1D1中，ABCD是平行四边形，如下所示：尝试使用示例=、=2、示例=b、=c、=a、a、b、c。连接AF时，如图所示=。已知的ABCD是平行四边形。所以=b c，=-a C .已知，=2，=-=-=c-(c-a)=(a 2c)，此外=-=-(b c)、=-(b c)(a 2c)=(a-b c)。问题型2共线定理和共面定理的应用示例2显示了e、f、g、h分别为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)确定：e、f、g、h 4点共面；(2)验证：BD-平面EFGH；(3)将m设定为EG和FH的交点，以确保在空间中的任何位置o都有=()。思维启蒙：(1)只需

10、证明与向量共线。(2)只有证明=就可以了。(3)的情况是，易于理解的四边形EFGH是平行四边形，点M是直线段EG和FH的中点，因此矢量显示为矢量和，然后分别显示为矢量和矢量。证明(1)连接BG，那么=()=，可以通过总方向性定理的推导得出。e、f、g、h在4点共面。(2)因为=-=-=(-)=，所以eh-BD。eh平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD-平面EFGH。(3)找到一些o并连接到OM、OA、OB、OC、OD、OE、OG。由(2)指定=，相等=，所以=，即ehfg，所以四边形EFGH是平行四边形。所以EG，FH与一些m相交，被m平均分担。因此=()=()。探索增强在一个矢量表示为另

11、一个矢量时，通常利用矢量的三角定律、平行四边形定律、共线矢量的特征逐步分解所需矢量，接近已知矢量来解决。为了证明两条线平行，只要有两条线的向量满足线性A=B关系，就可以判断两条线平行。如图所示，在三角形棱柱ABC-a1 b1c 1中，D是BC边的中点。认证：A1B平面AC1D。证明设置=a，=c，=b，那么=a c，=-a b，=-=b-a c，=-2，a1b平面AC1D，A1B平面AC1D。问题3空间矢量数量积的应用范例3已知空间3点A(0，2，3)、b (-2，1，6)、C(1，-1，5)。(1)求出边缘的平行四边形面积。(2) | a |=，且a分别为垂直，则取得向量a的座标。思维启蒙：

12、利用两个向量的数量积，可以求出向量的模和两个向量的角度。解法(1)可以从题目中得到。=(-2，-1，3)，=(1，-3，2)，cos =。神=，以为基准的平行四边形的面积是S=2 | | | | sin =14=7。(2)设定a=(x，y，z)。从问题中得到的，或者，矢量a的坐标为(1，1，1)或(-1，-1，-1)。探索增量(1)标题条件存在垂直关系时，经常转换为数量制并应用。(2)如果双面线形成的角度为，则经常通过将具有该矢量的矢量转换为矢量的角度来计算。(3)可以通过数量积找到矢量的强度。平行立方体ABCD-a1b1c1d 1使用顶点a，如图所示结束的三条边都是1，两个角度是60。(1)

13、求出AC1的长度。(2)求BD1和AC之间角度的馀弦。分析(1)注释=a，=b，=c，然后| a |=| b |=| c |=1，=60，ab=BC=ca=。| | 2=(a b c) 2=a2 B2 C2 2 (a b BC ca)=1 1 2=6，| |=，即AC1的长度。(2)=b c-a，=a b，| |=，| |=，=(b c-a) (a b)=B2-a2 AC BC=1。cos =。AC和BD1之间角度的馀弦为：空间向量运算错误范例：(12分钟)如图所示，每侧平行四边形的方形柱ABCD在A1B1C1D1中，p是CA1的中点，m是CD1的中点，nC1D1的中点；点Q位于CA1上；CQ

14、:QA1=4:1，设置=a，=b，=c，以基准a，b，c表示下一个向量。(1)；(2)；(3)；(4)。容易曲解牙齿问题的部分是空间矢量加法和减法，尤其是减法不太理解，如误人-；另一个错误是矢量的乘数表示不正确。例如，=，误入=。规范答案连接交流、AD1，如图所示。(1)=()=()=(a b c)。3点(2)=()=(2)=(a 2b c)。6点(3)=()=() ()=(2 2)=(a 2b 2c)=a b C. 9点(4)=(-)=a b C. 12点暖通知(1)空间向量的加法和乘法是表示向量的基础。(2)空间中的所有矢量都显示为一组基准。(3)空间矢量共线，两条线平行是不同的。方法和技

15、巧1.利用矢量的线性运算和空间矢量的基本定理，表明矢量是矢量应用的基础。2.共线向量定理，可以用共面定理证明平行，共面问题。使用数量乘运算可以解决距离，角度问题。3.利用向量解立体几何问题的一般方法：将线段或角度转换为向量表示法，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明来解决问题。错误和预防1.向量的数量积体满足交换法，分配法，但不满足结合法。也就是说，ab=ba，a (b c)=a b AC成立，(ab) c=a (BC)不一定成立。2.用空间向量求解立体几何的平行或共线问题通常使用向量共线定理。求两点之间的距离或一段的长度，通常用矢量的模解。法向问题解通常可以转换为向量的数量积为零

16、。由双面线形成的角度通常可以转换成两个矢量的角度，但要注意，两个角度的范围不同，最后需要转换。a组特殊基础教育(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每个问题5分，共20分)1.已知o，a，b，c是空间的四个点，并且是空间的一个基础()A.o、a、b、c 4市值不共线B.o、a、b和c在4点共面，但不共线C.o、a、b、c四点中的三点不共线D.o、a、b、c 4点不共面答案d解析，空间的基础，所以，不是共面的，但如果A，B，C三个茄子都是，可以使其共面的。2.已知的a=( 1，0，2)，b=(6，2 -1，2 )，如果a-b，和的值可以为()A.2，B.-，C.-3，2d.2，2答案a解释可以从问题中知道：可以解开。3.如图所示，PD垂直于正方形ABCD的平面，ab=2，e为PB具有中点、cos =、DA、D