初中数学经典课件：因式分解(人教版).ppt

1、因式分解,15.4.1 因式分解（初级篇）,因式分解的定义与提公因式法,复习回顾,口答：,问题：630可以被哪些整数整除？,解决这个问题，需要对630进行分解质因数,630 = 23257,类似地，在式的变形中， 有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式 以便于更好的解决一些问题,新课引入,试试看 (将下列多项式写成几个整式的乘积),回忆前面整式的乘法,上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式 ，也叫做把这个多项式 。,分解因式,因式分解,因式分解,整式乘法,因式分解与整式乘法是逆变形,依照定义，判断下列变形是不是因式分解,（把多项式化成几个整式的积）

2、,m ( a + b + c ) = ma + mb + mc,下面两个式子中哪个是因式分解？,在式子ma + mb + mc中，m是这个多项式中每一个项都含有的因式，叫做 。,公因式,ma + mb + mc = m ( a + b + c ),ma + mb + mc = m ( a + b + c ),在下面这个式子的因式分解过程中，先找到这个多项式的公因式，再将原式除以公因式，得到一个新多项式，将这个多项式与公因式相乘即可。 这种方法叫做提公因式法。,提公因式法一般步骤： 1、找到该多项式的公因式， 2、将原式除以公因式，得到一个新多项式， 3、把它与公因式相乘。,如何准确地找到多项式

3、的公因式呢？,1、系数 所有项的系数的最大公因数 2、字母 应提取每一项都有的字母， 且字母的指数取最低的 3、系数与字母相乘,例题精讲,最大公因数为3,= 3,a的最低指数为1,a,b的最低指数为1,b,(3a5bc),= 4,s,t2,(3s22t+1),p,q,(5q+7p+3),=,15.4.2 公式法（中级篇）,15.4.2 公式法（中级篇1）,利用平方差公式进行因式分解,复习回顾,还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？,平方差公式：,完全平方公式：,计算：,= (999+1)(9991),此处运用了什么公式?,新课引入,试计算：9992 1,12,= 1000998 = 998000

4、,平方差公式,逆用,因式分解:（1）x2 ;（2）y2 ,4 25,22 52,= (x+2)(x2),= (y+5)(y5),这些计算过程中都逆用了平方差公式 即：,此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为：,两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。,尝试练习(对下列各式因式分解)： a2 9 = _ 49 n2 = _ 5s2 20t2 = _ 100 x2 9y2 =_,(a+3)(a3),(7+n)(7n),5(s+2t)(s2t),(10 x+3y)(10 x3y),= y2 4x2 = (y+2x)(y2x) = (x2)2 12 = (x2+1) (x21), 4x

5、2 + y2 x4 1,(x21),= ( 4x2 y2 ) = (2x+y)(2xy),(x+1)(x1),因式分解一定要分解彻底 !, x2 x6 = x2 (x3)2 = (x+x3)(xx3) = x(1+x2)x(1x2) = x2(1+x2)(1+x)(1x), x2 x6 = x2 (1x4) = x2 (1+x2)(1x2) = x2 (1+x2)(1+x)(1x),更简便！,在我们现学过的因式分解方法中，先考虑提取公因式，再考虑用公式法。, 6x3 54xy2 = 6x (x29y2) = 6x (x+3y)(x3y) (x+p)2 (xq)2 = (x+p)+(xq) (x

6、+p)(xq) = (2x+pq)(p+q),Y,X,Y,X,Y,X,15.4.2 公式法（中级篇2）,利用完全平方公式进行因式分解,复习回顾,还记得前面学的完全平方公式吗？,计算：,新课引入,试计算：9992 + 1998 + 1,29991,= (999+1)2 = 106,此处运用了什么公式?,完全平方公式,逆用,就像平方差公式一样，完全平方公式也可以逆用，从而进行一些简便计算与因式分解。 即：,这个公式可以用文字表述为：,两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两个数的和（或差）的平方。,牛刀小试(对下列各式因式分解)： a2+6a+9 = _ n210n+25 = _

7、4t28t+4 = _ 4x212xy+9y2 = _,(a+3)2,(n5)2,4(t1)2,(2x3y)2,完全平方式的特点： 1、必须是三项式（或可以看成三项的） 2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的2倍） 简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央。, 16x2 + 24x + 9 4x2 + 4xy y2 4x2 8xy + 4y2,= (4x+3)2,= (4x24xy+y2),= (2xy)2,= 4 (x22xy+y2),= 4 (xy)2, 2a2 + (p+q)2 12(p+q) + 36,a4,1,= (a21)2,= (a+1)2 (a1)2,=

8、(a+1) (a1)2,= (p+q6)2,X,X,X,15.4.3* 因式分解（高级篇）,因式分解的其他常用方法,知识结构,因式分解常用方法,提公因式法 公式法 十字相乘法 分组分解法 拆项添项法 配方法 待定系数法 求根法 ,一、提公因式法,只需找到多项式中的公因式，然后用原多项式除以公因式，把所得的商与公因式相乘即可。往往与其他方法结合起来用。,二、公式法,只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。 接下来是一些常用的乘法公式，可以逆用进行因式分解。,常用公式 1、(a+b)(ab)=a2b2 （平方差公式） 2、(ab)2=a

9、22ab+b2 （完全平方公式） 3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 4、a3+b3=(a+b)(a2ab+b2) 及 a3b3=(ab)(a2+ab+b2) （立方和、差公式） 5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 （完全立方和公式） 6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推导,这是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz的推导过程 不要与(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz混淆,二、公式法,只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合

10、或多种公式结合。,三、十字相乘法,前面出现了一个公式： (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式）,例1：因式分解x2+4x+3 可以看出常数项 3 = 13 而一次项系数 4 = 1 + 3 原式=(x+1)(x+3),暂且称为p、q型因式分解,例2：因式分解x27x+10 可以看出常数项10 = (2)(5) 而一次项系数 7 = (2) + (5) 原式=(x2)(x5),这个公式简单的说， 就是把常数项拆成两个数的乘积， 而这两个数的和刚好等于一次项系数,三、十字相乘法,试因式分解6x2+7x+2。 这里就要用到十字相乘法（适用于二次三

11、项式）。,既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd 所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分解就成功了。,= 17,3 x2 + 11 x + 10,6 x2 + 7 x + 2,2 3,1 2,4,+ 3,= 7,6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2),1 3,5 2,2,+ 15,= 11,1 3,2 5,5,+ 6,3x2+11x+10=(x+2)(3x+5),= 6,5 x2 6 xy 8 y2,试因式分解5x26xy8y2

12、。 这里仍然可以用十字相乘法。,1 5,2 4,4, 10,5x26xy8y2 =(x2y)(5x+4y),简记口诀： 首尾分解，交叉相乘，求和凑中。,四、分组分解法,要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。,例1：因式分解 abac+bdcd 。,解：原式 = (ab ac) + (bd cd) = a (b c) + d (b c) = (a + d) (b c),还有别的解法吗？,四、分组分解法,要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。,例1：因式分解 abac+bdcd 。,解：原式 = (ab + bd)

13、 (ac + cd) = b (a + d) c (a + d) = (a + d) (b c),例2：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。,解：原式 = (x5+x4+x3)+(x2+x+1) = (x3+1)(x2+x+1) = (x+1)(x2x+1)(x2+x+1),立方和公式,回顾例题：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。,另解：原式 = (x5+x4)+(x3+x2)+(x+1) = (x+1)(x4+x2+1) = (x+1)(x4+2x2+1x2) = (x+1)(x2+1)2x2 = (x+1)(x2+x+1)(x2x+1),五*、拆项添项法,怎么结果与刚才不

14、一样呢？,因为它还可以继续因式分解,拆项添项法对数学能力有着更高的要求，需要观察到多项式中应拆哪一项使得接下来可以继续因式分解，要对结果有一定的预见性，尝试较多，做题较繁琐。 最好能根据现有多项式内的项猜测可能需要使用的公式，有时要根据形式猜测可能的系数。,五*、拆项添项法,因式分解 x4 + 4,解：原式 = x4 + 4x2 + 4 4x2 = (x2+2)2 (2x)2 = (x2+2x+2)(x22x+2),完全平方公式,平方差公式,配方法,配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式配成完全平方式，再用平方差公式进行分解。,因式分解 a2b2+4a+2b+3 。,解：原式 = (a2+4a

15、+4) (b22b+1) = (a+2)2 (b1)2 = (a+b+1)(ab+3),配方法 (拆项添项法)分组分解法,完全平方公式,平方差公式,二、新课,1. 我们把,叫做x的二次三项式。,这个式子的x的最高次项是2，并有一次项和常数项， 共有三项。,2. 请同学说出x的二次三项式,和x的一元二次方程,形式上有什么不同？,答案：二次三项式是代数式，没有等号，方程有等号。,3. 用配方法把,分解因式。,分析：对,再添一次项系数的一半的平方,（注意：因为因式分解是恒等变形，所以必须同时 减去一次项系数一半的平方）,解：,4. 分解因式,分析：把二次项系数化为1，便于配方，但不能各项 除以2 ，

16、而是各项提取公因数2,我们知道在解一元二次方程时，配方法的步骤是固定 模式的，即“千篇一律”，它的一般模式就是解一元二 次方程的求根公式法。由此推想，用配方法因式分解 必定与方程的根有关系，这个关系是什么,解：,从以上例2的因式分解来研究。,与二次三项式,对应的一元二次方程是,=0 这个方程的两根是,由此可以看出例2的因式分解的结果与两根的关系是什么？,这个关系是：二次三项式系数乘以x 减去一个根的差， 再乘以x减去另一个根所得的差。,以上的结论怎样证明？,证明：设一元二次方程,结论：在分解二次三项式,例如，已知一元二次方程,就可以把二次三项式分解因式，得,三、例题讲解,例1 把,分解因式,此步的目的是去掉括号内的分母,例2,本题是关于x的二次三项式，所以应把y看作常数,注意：1.因式分解是恒等变形，所以公式,中的因式 千万不能忽