杨辉三角和二项式系数的性质

1、,二项式系数的性质,复习 1.什么叫二项式定理？通项公式？,2.什么叫二项式系数？项的系数？它们之间有什么不同？,二项式系数的性质,( a + b )1 1 1,( a + b )2 1 2 1,( a + b )3 1 3 3 1,( a + b )4 1 4 6 4 1,( a + b )5 1 5 10 10 5 1,( a + b )6 1 6 15 20 15 6 1, ,递推法,这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似下面的表：,这个表称为杨辉三角。在详解九章算法一书里，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于

2、它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（Blaise Pascal,1623年1662年）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。,定义域0,1,2, ,n,令,当n= 6时,其图象是7个孤立点,1.对称性 在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。,2.增减性与最大值,3.各二项式系数和,当 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部是逐渐

3、减小的，且在中间取得最大值。,当n是偶数时，中间的一项 取得最大时 ；,当n是奇数时，中间的两项 ， 相等，且同时取得最大值。,例:证明: 在(a+b)n展开式中,奇数项 的二项式系数的和等于偶 数项的二项式系数的和.,例一、选择填空：,1.( 1x ) 13 的展开式中系数最小的项是 （ ） (A)第六项 (B)第七项 （C）第八项 (D)第九项,2.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为 （ ） (A)20 (B)219 （C）220 (D)220 1,C,D,4或5,-2,-1094,1093,例二、

4、已知 的展开式中只有第10项系数 最大，求第五项。,解：依题意， 为偶数，且,变式：若将“只有第10项”改为“第10项”呢？,解：（1） 中间项有两项：,（2）T3， T7 ， T12 ， T13 的系数分别为：,例三、已知二项式 ( a + b )15 （1）求二项展开式中的中间项； （2）比较T3， T7 ， T12 ， T13各项系数的大小，并说明理由。,例四、已知a,bN，m,n Z ，且2m + n = 0，如果二项式( ax m + bx n )12 的展开式中系数最大的项恰好是常数项，求 a : b 的取值范围。,解：,令m (12 r )+ nr = 0，将 n =2m 代入，解得 r = 4 故T5 为常数项，且系数最大。,作业见课本,小结,（1） 二项式系数的三个性质。,（2） 数学思想：函数思想。,a 单调性；,b 图象；,c 最值。,（3） 数学方法 ： 赋值法 、递推法,研究题：求二项式 ( x + 2) 7 展开式中