函数零点问题

1、函数零点问题,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续 不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函 数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。,注意:,零点存在性定理：,a,b,同号去，异号算，零点落在异号间.,1(2010天津)函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是 () A(2，1) B(1,0) C(0,1) D(1,2),例1、函数,的零点所在的大致区间是（ ） （A）（0，1）；（B）（1，2）；（C）（2，e）；（D）（3，4）。,选B,例3.求,零点的个数。,由函数,的零点也是方程,的根，即

2、方程,的解，,可构造函数,、,在同一坐标系中作出它们的图象，可得 出它们有三个交点，所以,零点的个数有三个。,例2：(2009山东)若函数f(x)=a,-x-a(a0且a,1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .,变式：（08湖北卷13）方程,的实数解的个数为,由图可知， 原方程有2个解,【典例3】(1)(2013湖南高考)函数f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x2-4x+5的图象的交点个数为() A.3 B.2 C.1 D.0,【规范解答】(1)选B.因为g(x)= x2-4x+5=(x-2)2+1, 又当x=2时, f(x)=2ln2=ln41, 在同一坐标系内画出函数f(x)=2l

3、nx与g(x)=x2-4x+5的图象如图所示,可知f(x)与g(x)有两个不同的交点.,1.(2014天津模拟)若函数f(x)=|x2-4x+3|-x-a恰有三个不同的零点,则实数a的值是() A.-1 B.- C.1或 D.-1或-,【解析】选D.函数f(x)=|x2-4x+3|-x-a 恰有三个不同的零点,即|x2-4x+3|=x+a 有三个不同的解,也就是函数y=|x2-4x+3|, y=x+a的图象有三个不同的交点.画出函数 的图象,观察可知,直线过(1,0)或直线与 y=|x2-4x+3|的图象 相切时,符合题意,实数a的值是-1或- .,(1)(2015广州模拟)函数f(x)=2x

4、|log0.5x|-1的零点个 数为() A.1B.2C.3D.4,【规范解答】(1)选B.函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点即2x|log0.5x| -1=0的解,即|log0.5x|= 的解,作出函数g(x)=|log0.5x|和函数 h(x)= 的图象,由图象可知,两函数图象共有两个交点,故函数 f(x)=2x|log0.5x|-1有2个零点.,函数f(x)= 则零点的个数如何? 【解析】当x0时,令g(x)=ln x,h(x)=x2-2x.画出g(x)与h(x)的图象 如图: 故当x0时,f(x)有2个零点. 当x0时,由4x+1=0,得x=- , 综上函数f(x)的零点个

5、数为3.,4.(12分)(2014郑州模拟)已知y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x0,+)时,f(x)=x2-2x. (1)写出函数y=f(x)的解析式. (2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解,求a的取值范围.,3.(2014哈尔滨模拟)已知函数y=f(x)(xR)满足f(x+1)=-f(x), 且当x(-1,1时,f(x)=|x|,函数g(x)= 则函数h(x)= f(x)-g(x)在区间-5,5上的零点的个数为() A.8B.9 C.10D.11,【解析】选B.函数y=f(x)(xR)满足f(x+1)=-f(x), 故f(x+2)=-f(x+1)=-f(x)=f(x), 即函数f(

6、x)的周期为2,作出x(-1,1时, f(x)=|x|的图象,并利用周期性作出函数f(x)在-5,5上的图象,在同一坐标系内再作出g(x)在-5,5上的图象,由图象可知,函数f(x)与g(x)的图象有9个交点, 所以函数h(x)=f(x)-g(x)在区间-5,5上的零点的个数为9.,(2014长春模拟)已知函数y=f(x)的周期为2,当x-1,1时f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有() A.10个B.9个C.8个D.1个,【解析】选A.根据f(x)的性质及f(x)在-1,1上的解析式可作图如图: 当x=10时,|lg10|=1,当1x0,当x10时,

7、|lgx|1. 结合图象知y=f(x)与y=|lgx|的图象交点共有10个.,2.直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,则a的取值范围是. 【解析】y= 作出图象,如图所示. 此曲线与y轴交于(0,a)点,最小值为a- , 要使y=1与其有四个交点,只需a- 1a, 所以1a . 答案:(1, ),已知函数f(x)= 若关于x的方程f(x)=k 有两个不同的实根,则实数k的取值范围是.,【解析】画出分段函数f(x)的图象如图所示, 结合图象可以看出,若f(x)=k有两个不同的实根,也即函数y=f(x)的图象与y=k有两个不同的交点,k的取值范围为(0,1). 答案:(0,1),明角度

8、 命题角度1:已知函数的零点或方程的根求参数 【典例3】(2014天津高考)已知函数f(x)= 若函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点,则实数a的取值范围为. 【解题提示】函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点等价于函数y=f(x)与y=a|x|的图象恰有4个公共点,结合函数y=f(x)与y=a|x|的图象确定实数a的取值范围.,【规范解答】在同一平面直角坐标系内画出函数y=f(x)和y=a|x| 的图象可知,若满足条件,则a0. 当a2时,在y轴右侧,两函数图象只有一个公共点,此时在y轴左侧, 射线y=ax(x0)与抛物线y=-x2-5x-4(-4x-1)需相切.,由 消去y,得x2+(5

9、-a)x+4=0. 由=(5-a)2-16=0,解得a=1或a=9. a=1与a2矛盾,a=9时,切点的横坐标为2,不符合,故01,故1a2. 答案:(1,2),利用导数探究 函数的零点问题,方法一,对于一元高次函数，可利用导数法研究函数图象的特征,函数,零点的个数为,，,-10,方程x3-3x2 -a=0的根的个数,新课,函数y=x3-3x2 -a的零点个数.,函数y=x3-3x2 与直线y=a的交点个数.,方程x3-3x2 -a=0的根的个数,新课,思考4：,函数f(x)=x3-3x2 -a的零点个数.,函数y=x3-3x2 与直线y=a的交点个数.,新课,思考5：,若方程x3-3x2-a

10、=0在-1,1有解.,思考5：,新课,若方程x3-3x2=a在-1,1有解.,分析：,若方程x3-3x2=a在-1,1有解.,思考5：,新课,若方程x3-3x2=a在-1,1有一解.,若方程x3-3x2=a在-1,1有两解.,思考6：,思考7：,若方程x3-3x2-a=0在区间-2,3有三解.,新课,思考8：,1.若函数f(x)=x3-x2-x与直线y=a有3个不同的 公共点，求实数a的取值范围.,练习,练习,方法二,根的个数.,交点个数.,变式训练,交点,构造函数h(x)=f(x)-g(x)=x3-3x2-a,方程x3-3x2-a-1=0有3个不同的根,函数y=x3-3x2 与直线y=a的交点个数. f(x)=x3-3x2-af(x)=3x2-6x=3x(x-2)=0- x=0, 2f(0)=-a为极大值f(2)=-4-a为极小值当f(0)0, f(2)0, -4-a0, f(2)=0时，即a=0,或 a=-4时，有两个不等实根(其中一个为2重根）因为3次方程必至少有一个实根，因此a0 或a-4时恰有一个实根。,函数f(x)=x3-3x2 +a(aR)的零点个数.,几何画板演示,已知函数f(x)=x3-3ax -1, a0 (1) 求f(x)的单调区间； (2) 若f(x)在x= -1处取得极值，直线 y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围,课后测试,几何