高考数学专题复习：专题3数列 第2讲

1、专题三第二讲专题三第二讲 一、选择题 1(2013重庆模拟)设an是等比数列，函数 yx2x2013 的两个零点是 a2、a3，则 a1a4() A2013B1 C1D2013 答案D 解析由条件得，a1a4a2a32013. 2已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Snn2n，数列bn满足 bn(nN*)，Tn 1 anan1 是数列bn的前 n 项和，则 T9等于() A. B. 9 19 18 19 C. D. 20 21 9 40 答案D 解析数列an的前 n 项和为 Sn，且 Snn2n，n1 时，a12； n2 时，anSn Sn12n，an2n(nN*)，bn ( )，T9 (

2、1 )( ) 1 anan1 1 2n2n2 1 4 1 n 1 n1 1 4 1 2 1 2 1 3 ( ) (1). 1 9 1 10 1 4 1 10 9 40 3已知函数 f(x)满足 f(x1) f(x)(xR)，且 f(1) ，则数列f(n)(nN*)前 20 项 3 2 5 2 的和为() A305B315 C325D335 答案D 解析f(1) ，f(2) ， 5 2 3 2 5 2 f(3) ， 3 2 3 2 5 2 f(n) f(n1)， 3 2 f(n)是以 为首项， 为公差的等差数列 5 2 3 2 S2020 335. 5 2 20201 2 3 2 4等差数列an

3、中，a10，公差 d0，公差 d0，公比 q2，若 f(a2a4a6a8a10) 25，则 2f(a1)f(a2)f(a2012)等于() A210042009B210052009 C210052011D210062011 答案D 解析f(a2a4a6a8a10) log2(a2a4a6a8a10)log2(a q25)25， 5 1 即 a q25225， 5 1 又 a10，q2，故得到 a11. 2f(a1)f(a2)f(a2012)2f(a1)2f(a2)2f(a2012) 2log2a12log2a22log2a2012 a1a2a2012aq122011 20121 1201222

4、10062011.故选 D. 2011 12011 2 (理)(2013成都市二诊)已知数列an满足 an2an1an1an，nN*，且 a5 .若函 2 数 f(x)sin2x2cos2，记 ynf(an)，则数列yn的前 9 项和为() x 2 A0B9 C9D1 答案C 解析据已知得 2an1anan2，即数列an为等差数列，又 f(x)sin2x2 1cosx 2 sin2x1cosx，因为 a1a9a2a82a5，故 cosa1cosa9cosa2cosa8 cosa50，又 2a12a92a22a84a52，故 sin2a1sin2a9sin2a2sin2a8 sin2a50，故数

5、列yn的前 9 项之和为 9，故选 C. 6 (文)(2014辽宁协作联校三模)已知数列an的通项公式 an2014sin， 则 a1a2 n 2 a2014() A2012B2013 C2014D2015 答案C 解析数列an的周期为 4，且 a1a2a3a42014(sin sinsinsin2)0， 2 3 2 又201445032， a1a2a2014a1a22014sin 2014sin2014. 2 (理)已知 an，数列an的前 n 项和为 Sn，关于 an及 Sn的叙述正确的是() 3 2n11 Aan与 Sn都有最大值 Ban与 Sn都没有最大值 Can与 Sn都有最小值 D

6、an与 Sn都没有最小值 答案C 解析画出 an的图象， 3 2n11 点(n，an)为函数 y图象上的一群孤立点，(，0)为对称中心，S5最小，a5最小， 3 2x11 11 2 a6最大 二、填空题 7植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10m.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边， 使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往 返所走的路程总和最小，这个最小值为_(m) 答案2000 解析设放在第 x 个坑边，则 S20(|x1|x2|20 x|) 由式子的对称性讨论，当 x10 或 11 时， S2000. 当 x9 或 12 时，S201022040

7、，当 x1 或 19 时，S3800. Smin2000(m) 8(2014广东理，13)若等比数列an的各项均为正数，且 a10a11a9a122e5，则 lna1 lna2lna20_. 答案50 解析a10a11a9a122e5，a1a20e5. 又lna1lna2lna20ln(a1a2a20) ln(a1a20)(a2a19)(a10a11) ln(e5)10lne5050. 注意等比数列性质：若 mnpq，则 amanapaq，对数的性质 logamnnlogam. 三、解答题 9(2013天津理，19)已知首项为 的等比数列an不是递减数列，其前 n 项和为 Sn(n 3 2 N

8、*)，且 S3a3，S5a5，S4a4成等差数列 (1)求数列an的通项公式； (2)设 TnSn(nN*)，求数列Tn的最大项的值与最小项的值 1 Sn 解析(1)设等比数列an的公比为 q，因为 S3a3，S5a5，S4a4成等差数列，所以 S5a5S3a3S4a4S5a5，即 4a5a3， 于是 q2 . a5 a3 1 4 又an不是递减数列且 a1 ，所以 q . 3 2 1 2 故等比数列an的通项公式为 an ( )n1(1)n1. 3 2 1 2 3 2n (2)由(1)得 Sn1( )nError! 1 2 当 n 为奇数时，Sn随 n 的增大而减小， 所以 1SnS1 ，故

9、 3 2 0SnS1 . 1 Sn 1 S1 3 2 2 3 5 6 当 n 为偶数时，Sn随 n 的增大而增大，所以 S2SnSnS2 . 1 Sn 1 S2 3 4 4 3 7 12 综上，对于 nN*，总有Sn . 7 12 1 Sn 5 6 所以数列Tn最大项的值为 ，最小项的值为. 5 6 7 12 10(文)(2014唐山市二模)在公差不为 0 的等差数列an中，a3a1015，且 a2，a5，a11 成等比数列 (1)求an的通项公式； (2)设 bn，试比较 bn1与 bn的大小，并说明理由 1 an 1 an1 1 a2n1 解析(1)设等差数列an的公差为 d.由已知得 E

10、rror! 注意到 d0，解得 a12，d1. 所以 ann1.(nN) (2)由(1)可知 bn，bn1， 1 n1 1 n2 1 2n 1 n2 1 n3 1 2n2 因为 bn1bn0， 1 2n1 1 2n2 1 n1 1 2n1 1 2n2 所以 bn1bn. (理)(2013呼和浩特市二调)等比数列an的前 n 项和为 Sn.已知 S1，S3，S2成等差数 列 (1)求an的公比 q； (2)若 a1a3 ，求数列nan的前 n 项和 Tn. 3 2 解析(1)由已知得 2S3S1S2， 2(a1a2a3)a1(a1a2)， a22a30，an0， 12q0，q . 1 2 (2)

11、a1a3a1(1q2)a1(1 ) a1 ， 1 4 3 4 3 2 a12，an(2)( )n1( )n2， 1 2 1 2 nann( )n2. 1 2 Tn1( )12( )03( )1n( )n2， 1 2 1 2 1 2 1 2 Tn1( )02( )13( )2n( )n1， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 得 Tn2( )0( )1( )2( )n2n( )n1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( )n1( n)， 4 3 1 2 2 3 Tn ( )n1( n). 8 9 1 2 4 9 2 3 一、选择题 11(文)设 yf(x)是一次函数，若 f(0

12、)1，且 f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则 f(2)f(4) f(2n)等于() An(2n3)Bn(n4) C2n(2n3)D2n(n4) 答案A 解析设 f(x)kx1(k0)，则(4k1)2(k1)(13k1)k2， f(2)f(4)f(2n)(221)(241)(261)(22n1)2n23n. (理)已知数列an是等比数列，且每一项都是正数，若 a1、a49是 2x27x60 的两个 根，则 a1a2a25a48a49的值为() A.B9 21 2 3 C9D353 答案B 解析an是等比数列，且 a1，a49是方程 2x27x60 的两根， a1a49a 3.而 an0

13、，a25. 2 25 3 a1a2a25a48a49a ()59，故选 B. 5 25 33 12(2014哈三中二模)在等差数列an中，a1a2a318，a18a19a2078，则此 数列前 20 项的和等于() A160B180 C200D220 答案C 解析a1a2a318，a18a19a2078， (a1a20)(a2a19)(a3a18)60， a1a2020，S201020200. 20a1a20 2 13 (2013福建理， 6)阅读如图所示的程序框图， 若输入的 k10， 则该算法的功能是() A计算数列2n1的前 10 项和 B计算数列2n1的前 9 项和 C计算数列2n1的

14、前 10 项和 D计算数列2n1的前 9 项和 答案A 解析由框图结合 k10 可知此框图进行了 10 次运算，结果为 124929， 故选 A. 二、填空题 14 (2014河北名校名师俱乐部模拟)设等比数列an的前 n 项和为 Sn， 若 a11， S64S3， 则 a3_. 答案 3 9 解析解法 1：S64S3，a4a5a63(a1a2a3)(a1a2a3)q3， q33，q，a3a1q2. 3 3 3 9 解法 2：a11，S64S3， 1q6 1q 41q3 1q 1q34， q33，q，a3a1q2. 3 3 3 9 15已知向量 a(2，n)，b(Sn，n1)，nN*，其中 S

15、n是数列an的前 n 项和， 若 ab，则数列的最大项的值为_ an an1an4 答案1 9 解析ab，ab2Snn(n1)0， Sn，ann， nn1 2 ，当 n2 时，n 取最小值 4，此时取到 an an1an4 n n1n4 1 n4 n5 4 n an an1an4 最大值 . 1 9 三、解答题 16(2014沈阳市质检)在ABC 中，角 A、B、C 的对应边分别是 a、b、c，满足 b2c2 bca2. (1)求角 A 的大小； (2)已知等差数列an的公差不为零，若 a1cosA1，且 a2，a4，a8成等比数列，求 的前 n 项和 Sn. 4 anan1 解析(1)b2c

16、2a2bc， ， b2c2a2 2bc bc 2bc 1 2 cosA ， 1 2 又A(0，)，A . 3 (2)设an的公差为 d，由已知得 a12， 1 cosA 且 a a2a8， 2 4 (a13d)2(a1d)(a17d)，且 d 不为零， d2， an2n. ， 4 anan1 1 nn1 1 n 1 n1 Sn(1 )( )( )( )1. 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 n 1 n1 1 n1 n n1 17(文)定义：若数列An满足 An1A ，则称数列An为“平方递推数列” 已知数 2 n 列an中，a12，点(an，an1)在函数 f(x)2x22x 的图象

17、上，其中 n 为正整数 (1)证明：数列2an1是“平方递推数列” ，且数列lg(2an1)为等比数列； (2)设(1)中“平方递推数列”的前 n 项之积为 Tn，即 Tn(2a11)(2a21)(2an1)， 求 Tn关于 n 的表达式； (3)记 bnlog2an1Tn，求数列bn的前 n 项之和 Sn，并求使 Sn2012 成立的 n 的最小 值 解析(1)证明：由题意得 an12a 2an， 2 n 2an114a 4an1(2an1)2. 2 n 所以数列2an1是“平方递推数列” 令 cn2an1，所以 lgcn12lgcn. 因为 lg(2a11)lg50， 所以2. lg2an

18、1 1 lg2an 1 所以数列lg(2an1)为等比数列 (2)由(1)知 lg(2an1)(lg5)2n1， 2an110(lg5)2n152n1， Tn52052152252n1520212n152n1. (3)bnlog2an1Tn2( )n1， 2n1 2n1 1 2 Snb1b2bn2n 1 1 1 2n 11 2 2n2， 1 2n1 由 2n22012 得 n1007， S1006210062(2010,2011)，S1007210072(2012,2013) 1 21005 1 21006 故使 Sn2012 成立的 n 的最小值为 1007. (理)已知曲线 C： xy1，过 C 上一点 An(xn，yn)作一斜率为 kn的直线交曲线 C 1 xn2 于另一点 An1(xn1，yn1)，点列An的横坐标构成数列xn，其中 x1. 11 7 (1)求 xn与 xn1的关系式； (2)令