期末复习1.ppt

1、复变函数论习题课,一、主要内容：,1、复数及其运算,1）复数的三种表示,2）几何意义,3）两个特殊的复数,2、复数运算（略）,3、复数的区域,解,1、法一,法二,2)、,3)、,4）、,二、复变函数的导数与解析函数,1、导数,条件：,1）、 f（ x ）单值、连续； 2）、任何方式趋近z0； 3）、所有趋近方式的极限值相同。,2、解析函数,函数f（x）在某一个区域上的各点处处解析，则称该函数是该区域上的解析函数。,3、解析函数的特点,1）、解析函数在区域上的各点一定可导；,2）、解析函数的实部和虚部满足Cauchy-Riemann方程。,极 角 系,直 角 系,4、求解析函数的一般方法,全微分

2、法；不定积分法；曲线积分法；,5、复变函数的几何意义,实部和虚部在复平面上各代表一曲面。,v,1、定义,复变函数的积分是复平面上的线积分,复变函数的积分是两个实变函数积分的有序组合,三、复变函数的积分,2、Cauchy定理,1）、单连通区域的Cauchy定理,如果函数在闭连通区域,上解析，且沿,上任一分段光滑闭合曲线L,（L也可以是,的境界限），有,推论：,解析函数的积分值与路径无关，可以引进不定积分。,2)、复通区域的Cauchy定理：,常用Cauchy定理计算复变函数的积分。,三、Cauchy公式,若 在闭单连通区域 上解析, 为的 境界线, 为 内的任一点,则有,1、 单连通区域的Cau

3、chy公式,若 是复连通区域 上的解析函数, 是内境界线， 是外境界线. 是区域的内点,则有,沿正方线积分,2、 复连通区域的Cauchy公式,推论：,解析函数可以有任意阶导数,应用公式计算一些复变函数的积分,四、三种级数展开,1、泰勒级数展开,1）、展开中心的点是函数的解析点； 2）、收敛区域是圆周，半径为,2、洛朗级数,1）、展开中心是函数的基点； 2）、收敛区域是环域。,很少按着定义通过计算系数的方法展开，通常采用间接展开。,3、傅立叶级数,1）、f（x）是定义在无限区间上的周期函数； 2）、在(l,-l)上连续或只有有限个第一类间断点； 3）、只有有限个极值点.,奇函数,偶函数,做周期

4、函数的傅立叶展开,余弦傅立叶级数,数学意义:,1）、函数是希尔伯特空间的一个矢量,空间中的基矢量是要展开的级数.,实数级数的基是：,复数形式的基是：,2、通过研究级数的性质了解需要知道的函数性质。,物理意义：,通过研究相空间的函数性质，了解位形空间函数所含的频率和各频率波的强度。,对于实数形式,振幅,频率,五、一种特殊的傅立叶级数-傅立叶积分,对于复数形式,波函数,振幅,频率,周期函数含有的频率是分立的。,1、定义在无限空间上的非周期函数,1、定义在无限空间上的非周期函数,在函数定义区间上截取一段,以该段区间为周期延拓函数，构成周期函数,做周期函数的傅里叶级数展开,使周期l趋于无限大,傅立叶级数成为傅立叶积分,2、定义在半无限空间上的非周期函数,将该函数展成傅立叶积分,奇函数,偶函数,3、傅立叶积分的物理意义,对于复数形式,波函数,振幅,对于实数形式,波函数,振幅,非周期函数的频率是连续变化的。,六、留数定理计算实变函数的积分,1、有限远点和无穷远点的留数,对于有限远点,以该点为中心展开的罗朗级数的-1次幂项的系数,对于无限远点,以零点为中心展开的罗朗级数的-1次幂项的系数负值，即,可去奇点、极点、本性奇点的留数原则上可以