2015基础讲义(下)

1、选定的文档2015年研究生数学基础课讲义(下)吴中巷第七章微观公式测试内容的摘要(一)常微分方程的基本概念1.微分方程包含未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。方程式简称。2.微分方程的阶微分方程中未知函数的最高导数的阶称为微分方程的阶。3.微分方程的解满足微分方程的函数，这被称为方程的解。4.微分方程的通解如果微分方程的解包含任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则称之为微分方程的通解。5.微分方程的特殊解没有任何常数的微分方程的解叫做特殊解。6.初始条件决定了特定解的一组常数，称为初始条件。7.积分曲线方程的解对应于平面上的曲线，称为微分方程的积分曲线。(二)一阶微分方程1.可

2、分离变量方程可以表示为的方程称为可分离变量方程。解决方法是两端集成2.齐次方程可以转化为的微分方程称为齐次微分方程。求解齐次微分方程的一般方法是：让，那么，使原来的方程转化为一个可分离变量的方程。3.线性方程被称为一阶线性微分方程。求解一阶线性微分方程的一般方法是常数变分法，或者直接使用下面的一般求解公式4.伯努利方程(只有数学的一个要求)形式方程被称为伯努利方程。求解伯努利方程的一般方法是将原始方程转化为一阶线性微分方程。5.总微分方程(仅数学一项要求)如果方程的左端是函数的全微分：这个方程叫做全微分方程。这个方程的一般解是有三种方法1)部分积分2)微分积分3)线积分当在简单连通域中有一阶连

3、续偏导数时，方程是一个完全微分方程当且仅当注：如果给定的一阶微分方程不属于上述五种标准形式，首先考虑“逆”的作用，然后确定新方程的类型；或者使用简单的变量替换将其转换为上述五种类型之一并求解。(3)可降阶的高阶方程(数学3不要求)1.类型微分方程2.类型方程原始方程可以转化为一阶微分方程。3.类型方程原始方程可以转化为一阶微分方程。(4)常系数线性微分方程1.线性微分方程解的结构这里只讨论二阶线性微分方程，结论可以推广到高阶方程。二阶线性微分方程的一般形式是这里所有的都是连续函数。当方程的右端称为二阶线性齐次方程，否则称为二阶线性非齐次方程。齐次方程(1)异质方程(2)定理1如果和是齐次方程(

4、1)的两个线性独立的特殊解，那么是等式(1)的一般解。注方程(1)的两个解线性独立的充要条件是它们的比值不是常数。定理2如果它是非齐次方程(2)的一个特殊解，并且和是齐次方程(1)的两个线性独立的特殊解，那么它是非齐次微分方程(2)的通解。定理3如果它是非齐次方程(2)的两个特殊解，它就是齐次微分方程(1)的解。定理4如果它们分别是方程特殊的解决方案是方程的特殊解决方案。2.常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程的一般形式是，它的特征等式(1)如果是次多项式，方程的特殊解可以设置为其中是一个与。是带根的特征方程的重复次数。(2)如果它们分别是次多项式和次多项式，那么方程的特殊解可以设

5、置为其中，是两个子多项式。当它不是方程的特征根时，取；当它是方程的单个特征根时，取。4.欧拉方程(只有数学的一个要求)形似这个方程(其中，是常数)叫做欧拉方程。或者，欧拉方程可以转化为线性常系数方程，一般包括其中它表示导出导数的操作。常见试题和典型示例常见问题1.方程求解2.综合问题3.申请问题示例1 (1，2014)满足条件的微分方程的解是【】示例2(2012年2月)满足条件的微分方程的解是。【】示例3(2013年3月)微分方程的一般解是【】示例4(2009年1月)如果二阶常系数线性齐次微分方程的通解为，则满足条件的非齐次方程的解为【】例5(2013年1月、2月)已知一个二阶常系数非齐次线性

6、微分方程有三个解，所以方程的通解为【】示例6(2007年4月)让函数具有连续的一阶导数并满足,寻求的表达。【】示例7(2006年3月)在坐标平面上，一条连续曲线穿过一个点，并且该点上任意点的切线斜率与直线斜率之差等于(常数)。等式；(二)用直线围成的平面图形面积为时所确定的值。【】示例8(2009年2月)让非负函数满足微分方程。当曲线通过原点时，由曲线和直线围成的平面面积为2，计算绕轴旋转得到的旋转体的体积。【】第八章多元函数微分测试内容的摘要(1)多元函数的极限、连续性、偏导数和全微分1.二元函数定义1:让它成为平面上的一个点集。如果每个点变量按照一定的对应规则都有一个确定的值，则称之为的二

7、元函数。点集被称为函数、自变量和因变量的定义域。所有函数值的集合称为函数范围。记得通常，二元函数在几何上代表一个空间曲面。2.二元函数的极限定义2让函数有一个定义，区域上的一个点或一个边界点，如果它存在，当它存在的时候。如果为真，则该常数被称为该函数当时的极限，并被写成或或注1)这里的极限是当该点以任何方式接近该点时，函数都接近相同的常数，否则极限不存在。2)一元函数极限中的下列性质对多元函数仍然有效(1)局部有界性；(2)号码保存(3)有理运算(4)极限与无穷小的关系(5)挤压3.多元函数的连续性1)连续性的概念定义3让函数在区域上有定义和点，如果如果是真的，就说函数在某一点上是连续的；如果

8、一个函数在一个区域上的每一点都是连续的，那么这个函数在这个区域上就是连续的。2)连续函数的性质多元函数具有以下性质和定理：(1)多元连续函数的和、差、积和商(分母不为零)仍然是连续函数；(2)性质2多元连续函数的复合函数也是连续函数；(3)性质3多元初等函数在其定义的区域内是连续的；(4)性质4(最大值定理)有界闭区域上的连续函数必须获得该区域中的最大值和最小值。(5)性质5(中间值定理)有界闭区域上的连续函数必须能够获得该区域中最大值和最小值之间的任何值。4.偏导数1)偏导数的定义定义4是在一个点的邻域中定义的，如果有，那么这个极限值叫做函数对的偏导数有，那么这个极限值被称为该点上的函数对的

9、偏导数，它被写成或或从上面的定义中，不难看出偏导数本质上是一元函数的导数，它们是一元函数的导数和一元函数的导数。类似地，可以定义三元函数甚至元函数的偏导数。2)二元函数偏导数的几何意义被设定为曲面上的一个点。一个点穿过一个平面和一个曲面，并且相交线是平面上的一条曲线，这意味着相交线在该点与轴的切线的斜率。同样，当一个点穿过一个平面和一个曲面，并且相交线是平面上的一条曲线时，它指示相交线在该点与轴的切线的斜率。3)高阶偏导数定义5如果偏导数函数仍然存在于该区域，它被称为函数的二阶偏导数，通常记录为或者，或者，或者它通常被称为混合偏导数。定理1如果一个函数的两个二阶混合偏导数在一个区域内是连续的，

10、那么这两个混合偏导数在该区域内必须相等。二阶或高阶偏导数也可以类似地定义为三元函数，当二阶和高阶混合偏导数连续时，混合偏导数的值与导数阶无关。5.完全差异定义6(全差分)如果函数在某一点完全递增，它可以表示为其中，如果它与、无关，那么该函数在该点上是可微的，并且它被称为该函数在该点上的全微分，它被记录为如果一个区域中的每一点都可以区分，那就称之为区分。定理2(全微分存在的必要条件)如果一个函数在一个点上是可微的，该函数在该点上的偏导数必须存在，并且定理3(全微分存在的充分条件)如果微分的偏导数在一点上是连续的，那么函数在一点上是可微的。(二)多元函数的微分方法1.复合函数的微分方法定理4:如果

11、一个函数在点上有对和偏导数，并且一个函数在相应的点上有连续的偏导数，那么复合函数的两个偏导数在点上存在，并且有全微分形式的不变性让函数、和都有连续的一阶偏导数，然后是复合函数的总微分也就是说，在：中，无论函数被视为独立变量还是中间变量，函数的全微分形式都是一样的。2.隐函数微分法1)由方程确定的隐函数如果一个函数在某个点的某个邻域内有连续的偏导数，并且那么该方程可以唯一地确定该点的某个邻域中的连续导数和的功能有2)由方程确定的隐函数如果一个函数在某个点的某个邻域内有连续的偏导数，那么这个方程在某个点的某个邻域内是唯一的用连续偏导数确定一个函数，并具有3)由方程确定的隐函数(只需要一个)如果你想

12、要，你可以找到每个方程的偏导数，得到以，为变量的方程组，然后你就可以求解。类似地，通过取每个方程的偏导数，我们可以得到以作为变量的方程，并且可以得到解。(3)多元函数的极值和最大值1.多元函数的极值1)无约束极值定义7将函数定义在某个点的某个邻域内，如果邻域内有任何点，(或)，然后它被称为最大点(或最小点)；的最大值(或最小值)称为。最大点和最小点统称为极值点；最大值和最小值统称为极值。定理5(极值的必要条件)设定在极值点，该点有偏导数，然后定理6(极值的充分条件)是在一个点的某个邻域内存在二阶连续偏导数。纪念有以下结论：(1)如果，它是的极端点。是的最大点。，这是最小的点。(2)如果，它不是

13、的极端点。(3)如果，它可以或可以2)条件极值和拉格朗日乘数法寻找条件极值的一般方法是：(1)构造拉格朗日函数。(2)我们将找到，的偏导数，并构造方程如果我们解决了这个问题，那么它就是这个条件下函数的可能极值点。上述方法可以推广到元函数在约束条件下的极值问题，如在一定条件下求极值，可以构造拉格朗日函数计算对的偏导数并构造方程如果你解决了这个问题，那么它就是可能的极端点。对于实际问题，如果驻点是唯一的，并且问题根据实际意义具有最大(最小)值，那么驻点就是最大(最小)值点。如果有多个驻点，并且从实际意义上知道问题有最大值和最小值，只需要比较每个驻点的函数值，最大值是最大值，最小值是最小值。常见试题和典型示例常见问题1.复合函数偏导数和全微分的计算2.隐函数的