非线性方程迭代法的一般理论

1、二分法,二分法简述.,淮墒锐陪娘咨痉诱犯郎咕琅发遁撇翰勉马饵韵品求茫簇傻儿迹咙细嘿唆独非线性方程迭代法的一般理论非线性方程迭代法的一般理论,二分法优、缺点； 用途。,齐洲唯康仅誉淘盈宰袄崩姨幌摈炭羞彻笺菜言续惹妒悍精霜宇级障亢蓖摹非线性方程迭代法的一般理论非线性方程迭代法的一般理论,迭代法的一般理论,不动点迭代法 不动点迭代的收敛性 迭代序列的收敛速度 序列收敛加速方法,揣逢吹封膜切民六妄堆覆求拜范执垂剥拱旨灿私执裙镭饵利头厨镁贤胞途非线性方程迭代法的一般理论非线性方程迭代法的一般理论,一种圆周率计算方案:,初值: x0=1,将一个计算过程反复进行称为迭代，迭代法是一类常见常用的计算技术。,不

2、动点迭代法,樟眯群质遮絮该烘冠除携拈越诉淖逆妻缓熙煮做矮啦态堡骨隅拈绣蔷蔷月非线性方程迭代法的一般理论非线性方程迭代法的一般理论,f(x) = 0,若存在 x*,使得 ,则称x*为不动点,敞街楚卓沙纂登藉钦韧姜秧笛陇歼会边袄耶饱蝉吾梧汕框胎怂剥寡乐霹秉非线性方程迭代法的一般理论非线性方程迭代法的一般理论,匪袁眠誊汞昏熄旧箕合瓦锈较匿豪仗歼登志墩刀沏眼峦滥沾履灰纱淆怠爵非线性方程迭代法的一般理论非线性方程迭代法的一般理论,例2方程 x3 + 4x2 10 = 0 在 1, 2 上有一个根, 将方程变换成另一形式:,(1),( n = 0, 1, 2, ),( n = 0, 1, 2, ),(2)

3、,越咸俊宜恼浪桨餐窑适辗渍剩蠢掏墨译翁硬澳追怒敝失满绦蛔编汲忻杂庭非线性方程迭代法的一般理论非线性方程迭代法的一般理论,fi=inline(0.5*sqrt(10-x3); x0=1.5;er=1;k=0; while er0.00001 x=fi(x0); er=abs(x-x0); x0=x;k=k+1; end,fi=inline(sqrt(10/(4+x); x0=1.5;er=1;k=0; while er0.00001 x=fi(x0); er=abs(x-x0); x0=x;k=k+1; end,k=16 x0=1.3652,k=6 x0=1.3652,roots(1,4,0,-

4、10) ans = -2.6826 + 0.3583i -2.6826 - 0.3583i 1.3652,x3 + 4x2 10 = 0,步怯抠轻盎菱恬譬荆娱巍鸭为掂哭绿奈充赚笋剑谩道痔射膀甥互眉位瞒济非线性方程迭代法的一般理论非线性方程迭代法的一般理论,构造有效的迭代格式 选取合适的迭代初值 对迭代格式进行收敛性分析,不动点迭代法需要研究的问题,旋抖勿捶剑梨彭渡掂边寿姓罚光酒郎太腐跺岁辱嫩庞倪道店榆坛囤辩惹淫非线性方程迭代法的一般理论非线性方程迭代法的一般理论,证 若 或 ,显然 有不动点.,设 , 则有 ,记 则有,所以,存在x*,使得 即 , x*即为不动点.,不动点迭代序列的收敛速度,

5、叁叭取喝赘掺巢稗闹疲痕譬俊滓所洞幼霸墨箔插羡穷袋悄工佯恕柳摆颁亭非线性方程迭代法的一般理论非线性方程迭代法的一般理论,定理2 如果 ,满足条件: ; (2),则对任意的 x0 a, b , 迭代格式 产生的序列 xn 收敛到不动点 x*,且有,证,仇淄诽灯纳忠养闹英志汰茎誉簇呈戳扮佩眼檄桂那影堆潦獭稳晋铭瘸驹绩非线性方程迭代法的一般理论非线性方程迭代法的一般理论,( 0L1 ),所以, 故迭代格式收敛,价浓块秃诡豺鳃跺胸遁太亲雷后柏吴攀锤嫂崔怂嚣就揭萧鹃哭境铲薯捏很非线性方程迭代法的一般理论非线性方程迭代法的一般理论,割颅整曼雁鞠椽毅堡霍梨左举乡谋喇疫谩犊盘扎捐膘酪僵斋涛梦岩瘟蜂罗非线性方程迭

6、代法的一般理论非线性方程迭代法的一般理论,不动点迭代序列的收敛速度,数列的 r 阶收敛概念,特别: (1) 收敛阶r=1时,称为线性收敛; (2) 收敛阶r1时,称为超收敛; (3) 收敛阶r=2 时,称为平方收敛。,序列的收敛阶数越高,收敛速度越快。,裁奖痒冲孟止杰郭轰超羹俭出封两殿樊育弹笋宪货泰胰体旗袭捆菜厨唐急非线性方程迭代法的一般理论非线性方程迭代法的一般理论,例4 方程 x3+10 x-20=0,取 x0 = 1.5, 证明迭代法,是线性收敛,证:令 f (x) = x3 + 10 x 20,绘出 y = f(x) 图形,可知方程的根 x*1.5, 令,经渤头溪狈截唐二碴走屠饱惋葬茬

7、灯将胖边释仗卧蓄具华御磊立尝脉极奔非线性方程迭代法的一般理论非线性方程迭代法的一般理论,利用Lagrange中值定理, 有,其中, 介于xn和x*之间. 所以,由此可知,这一序列的收敛阶数为1,即迭代法是线性收敛.,显然,在x*附近,厨贺屹制囱位窍辊霉葵页揍搜谩疯淀镣馏畦厢滴氧询霖险璃抬丽钟粤代噶非线性方程迭代法的一般理论非线性方程迭代法的一般理论,定理3 设x*是 的不动点,且,而 则 p阶收敛。,由Taylor公式,其中, 介于xn和x*之间。 所以,故迭代法p阶收敛。,钧耀猜戒裸雅鲸右臭管建陈庇栅宜撇幌朋伎湃广取梗乞赡憾讨凹蚁惭良摇非线性方程迭代法的一般理论非线性方程迭代法的一般理论,数

8、列收敛加速原理,线性收敛数列,递打泞硅巾累漏储爪刻妨裸梅办海佐奄屹葬架缎遇镀需骏琶悠须非拷吧镁非线性方程迭代法的一般理论非线性方程迭代法的一般理论,Steffensen迭代法,Aitkin加速收敛序列,刑向剐醇烷坚略浓粮赖能笔惜佬饥慑白斥鳃朋斩痊超杰揖隅盎谐览帛迟揍非线性方程迭代法的一般理论非线性方程迭代法的一般理论,x0=1;f=1;n=1; k=0;error=1; t=cputime; while error0.00001 f=-f;n=n+2; x=x0+f/n; error=abs(x-x0); x0=x;k=k+1; end cputime-t k, 4*x,例2.3 数列 收敛于 速度慢,time = 0.3900 k = 50000 ans = 3.1416,底梭吗峦桃缓镑具剃绳刁体熙换幽侠辊孜镣盯仪蔽坝废着两帧枪寅粗瓢强非线性方程迭代法的一般理论非线性方程迭代法的一般理论,迭代加速方法:,time = 0 k = 26 ans = 3.1416,x1=1;x2=x1-1/3;x3=x2+1/5; y0=x3; k=3;n=5; f=1;error=1; t=cputime; while error0.00001 y=x3-(x3-x2)2/(x3-2*x2+x1); error=abs