第0章 矢量分析new.ppt

1、1/48,常用坐标系,标量场的梯度,矢量场的通量与散度,矢量场的环量与旋度,亥姆霍兹定理,电磁场的特殊形式,第0章 矢量分析,(Vector Analysis),矢量代数,2/48,0.1 矢量代数,标量（Scalar）是只有大小的物理量（可以包括相位），例如：电压，电流，电荷量，能量，温度 矢量（Vector）是同时具有大小（可以包括相位）和方向的物理量， 例如：速度，电场强度，磁场强度,Vector Algebra,3/48,矢量点积,a B = |a|B| cos qaB,矢量点积为标量,4/48,矢量叉积,A B = aN|A|B| sin qAB,矢量叉积为矢量,5/48,场是一个标

2、量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量。,例如，在直角坐标下：,标量场和矢量场,如流速场、电场、涡流场等。,Scalar Field and Vector Field,数学形式,6/48,其方程为:,图0.1.1 等高线,(1) 标量场-等值线(面),形象描绘场分布的工具场线,思考,在某一高度上沿什么方向高度变化最快？,7/48,三维场,二维场,图0.1.2 矢量线,矢量场-矢量线,矢量线方程：,在直角坐标下：,如何描绘矢量场?,8/48,0.2 常用坐标系,引入坐标系的目的 电磁场物理规律本身与坐标系无关； 在实际描述求解电磁场问题时需要坐标系，同时，合理的选择坐标系

3、可以降低分析问题的难度； 坐标系的最基本要求“正交性”。,Common Coordinate System,直角坐标系,圆柱坐标系,球坐标系,9/48,直角坐标系,10/48,场分量与单位向量,11/48,圆柱坐标系,12/48,圆柱坐标系与直角坐标系的转换,13/48,球坐标系,14/48,如何确定标量场？,任意标量场都可以由场的梯度和场中某一点的值唯一确定。,15/48,0.3 标量场的梯度 Gradient of Scalar Field,设,式中 , , 分别是任一方向 与 x, y, z 轴的夹角,则有：,当 ， 最大,设一个标量函数 (x，y，z)，若函数 在点 P 可微，则 在点

4、P 沿任意方向 的方向导数为,梯度(gradient),哈密顿算子,式中,图0.3.1 等温线分布,梯度的方向为该点最大方向导数的方向，即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向。,梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数。,标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。,梯度的特点,nabla,那卜拉,例 0.3.1 三维高度场的梯度,图0.3.2 三维高度场的梯度,高度场的梯度与过该点的等高线垂直；,数值等于该点位移的最大变 化率；,指向地势升高的方向。,梯度的方向在等位面的法线方向，等位面的法线方向是场变化最快的方向。,例 0.3.2 电位场的梯度,图0.3.3

5、电位场的梯度,电位场的梯度与过该点的等位线垂直；,数值等于该点的最大方向导数；,指向电位增加的方向。,19/48,如何确定矢量场?,确定矢量场的必要条件： 必须同时确定该矢量场散度和旋度，否则场的解答不唯一。,20/48,0.4 矢量场的通量与散度,0.4.1 通量 ( Flux ),矢量E 沿有向曲面 S 的面积分,若 S 为闭合曲面 根据通量的大小判断闭合面中源的性质：,Flux and Divergence of Vector,图0.4.1 矢量场的通量,21/48,引入散度的目的,通量描述的是整个体积“流量”的情况，是一个宏观性质的物理量，如果想知道一点处流量的情况，应如何考虑？ （闭

6、合面内某点处矢量的通量性质）,22/48,0.4.2 散度 ( Divergence ),应用曲面积分奥氏公式,在直角坐标下通量可以写成:,矢量场A的散度（上式右式看作V内各点处发散强度的体积分）,哈密顿算子表示,23/48,散度,如果包围点 P 的闭合面 S 所围区域 V 以任意方式缩小到点 P 时，通量与体积之比的极限存在，即：,散度 (divergence),24/48,散度的意义,在矢量场中，若 A= 0，称之为有源场， 称为 ( 通量 ) 源密度；若矢量场中处处 A=0 ，称之为无源场。,矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；,散度是微分量，代表矢量场的通量源的分布特性。,25/

7、48,0.4.3 散度定理 ( Divergence Theorem ),图0.4.4 散度定理,散度定理 （高斯定理）,由于 是通量源密度，对其进行体积分后，所得结果为整个体积的通量。,26/48,关于散度定理的说明,散度定理,矢量函数的面积分与体积分的相互转换。,表明了区域V 中场A与边界S上的场A之间的关系。,散度定理使用条件：场量连续,27/48,0.5 矢量场的环量与旋度,0.5.1 环量 ( Circulation ),矢量 A 沿空间有向闭合曲线 L 的线积分,环量,环量的大小与闭合路径有关，它表示绕环线旋转趋势的大小。,Circulation and Rotation of V

8、ector Field,图0.5.1 环量的计算,水流沿平行于水管轴线方向流动，= 0，无涡旋运动。,例：流速场,图0.5.2 流速场,流体做涡旋运动， 0，有产生涡旋的源。,29/48,0.5.2 旋度 ( Rotation ),1. 环量密度,过点 P 作一微小曲面 S，它的边界曲线记为L，面的法线方向与曲线绕向符合右手定则。当 S 点 P 时，存在极限,环量密度,环量密度是单位面积上的环量。,30/48,引入旋度的原因,环量面密度描述的是一个面积上“旋转”强度的情况，是一个“宏观”的物理量，如果要知道场中一点处“旋转”最强的方向，应如何考虑？,31/48,2. 旋度,应用斯托克斯公式,在

9、直角坐标下环量可以写成:,矢量场A的旋度（上式右式看作矢量穿过曲面S的通量）,哈密顿算子表示,32/48,2. 旋度,旋度是一个矢量，其大小等于环量密度的最大值；其方向为最大环量密度的方向,旋度(curl), S 的法线方向,它与环量密度的关系为,在直角坐标下:,（类比梯度和方向导数之间关系）,33/48,3. 旋度的物理意义,矢量的旋度仍为矢量，为微分量，是空间坐标点的函数。,某点旋度的大小是该点环量密度的最大值，其 方向是最大环量密度的方向。,在矢量场中，若 A=J 0 称之为旋度场（或涡旋场），J 称为旋度源（或涡旋源）。,若矢量场处处 A= 0 ，称之为无旋场。,34/48,4. 斯托

10、克斯定理 ( Stockes Theorem ),图 0.5.3 斯托克斯定理,斯托克斯定理,A 是环量密度，即围绕单位面积环路上的环量。因此，其面积分后，环量为,35/48,斯托克斯定理,矢量函数的线积分与面积分的相互转化。,上述公式表明了区域S中场A与边界L上的场A之间的关系。,旋度定理使用条件：积分路径方向，场量连续。,斯托克斯定理（旋度定理）,36/48,例 0.5.1试判断下列各图中矢量场的性质。,散度和旋度定理应用,37/48,重要性质（标量场）,定理：任意标量场梯度的旋度恒等于零,推论：如果一个矢量场是无旋的，则该场可用标量场梯度表示,38/48,无源场和无旋场,无源场 设有矢量

11、场A，如果在场域内每一点处恒有 ，那么称A为无源场。 无旋场 设有矢量场A，如果在场域内每一点处恒有 ，那么称A为无旋场。 调和场 散度和旋度都等于零的矢量场称为调和场。（无源无旋场）,39/48,重要性质（矢量场）,定理：任意矢量场旋度的散度恒等于零,推论：如果一个矢量场是无散的，则该场可用矢量场的旋度表示,40/48,0.6 亥姆霍兹定理,亥姆霍兹定理： 在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件惟一地确定。,已知：,Hymherze Theorem,41/48,亥姆霍兹定理的意义,根据亥姆霍兹定理，必须研究电磁场中基本场量（如电场强度、磁场强度）的散度特性和旋度特性掌握了这些特性，才

12、能完全掌握了整个场的特性。,42/48,亥姆霍兹定理应用举例,根据亥姆霍兹定理，任意矢量场可以分解成无旋场部分和无散场部分的叠加,其中：,43/48,亥姆霍兹定理应用举例,任意矢量场可以表示为,44/48,0.7 特殊形式的电磁场,如果在经过某一轴线( 设为 z 轴）的一族平行平面上，场 F 的分布都相同，即 F= f（x，y）， 则称这个场为平行平面场。,1. 平行平面场,Special Forms of Electromagnetic Field,如无限长直导线产生的电场。,0,45/48,如果在经过某一轴线 ( 设为 z 轴 )的一族子午面上，场 F 的分布都相同，即 F=f（r,），则称这个场为轴对称场。,2. 轴对称场,如螺线管线圈产生的磁场；有限长直带电导线产生的电场。,46/48,3. 球面对称场,如果在