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文档简介

1、6.3求解消元法线性方程的消元法的基本思想得到了求解,所述方法可将一个方程式乘以或除以某个常数,或者加减两个方程式,并最终使方程式中的自变量的数目逐渐减少,从而在各个方程式中只包含一个自变量。消元法常用方法:高斯消元法选择主元消元法高斯约旦消元法、一、约当消元法、例6-3-1解方程式组解元的方法很多,考虑下一个解元过程:第一步骤:第一方程式中x1 x10.5x2 1.5x3=0.5 (6.3.2),从(6.3.1)2开始减去1的4倍,使(6.3.1)成为步骤2 :重新加工新的方程(6.3.2)2,使其x2的系数为1,使x20.25x3=0.5 (6.3.3),然后加上(6.3.2)1。 接下来

2、的工作是将(6.3.3)3的x3的系数设为1,根据其馀两方程式(6.3.3)1和(6.3)1,上述方法是所谓的乔丹消元法。1、保留本消元法、保留本方法的消除过程继续,直到每个方程只有一个参数,这样,第一步骤:将第一方程x1的系数设为1,从该估计方程中消除参数x1的步骤2 :将第二方程x2的系数设为1,从该估计方程中消除参数x2 、约当消元法、一般形式的线性方程群:约当消除元手续进行k-1步骤后,方程式群成为以下形式:(6.3.4)、(6.3.5)、约当消元法(6.3.6)、(6.3.7)、约当消元法,第二项是从(6.3.5)k以外的其他方程式引数xk 公式(6.3.6)、(6.3.8)是与下标

3、k相关的递推公式。 在步骤1,也就是k=1的情况下,由于要加工的方程组(6.3.5)的原始形式是给定的方程组(6.3.4),故取系数、(6.3.8)、(6.3.8)、(6.3.10 ),根据消元法的校正量,上述算法的第k步是(6.3.11 )、约当消元法的程序流程图、用消元法解方程式组、如何压缩算法的存储量是重要的问题。 可以看出消元过程的各个步骤改变了系数的值。 当每一步骤利用系数的旧值确定新的值时,进一步的校正操作仅仅是新的值,而旧的值不需要继续存储在旧值占据的单元中。 如该图所示,存储在数据单元aij的各个步骤的值,通过(6.3.10 )式,最终得到在单元a1、n 1、a2、n 1、an

4、、n 1内求出的解x1、x2、xn。 程序流程图、二、高斯消元法、Gauss法是约当法的改良,基于约当法进一步减少了补正量。 高斯消元法是直接法,一般由“消元过程”和“回代过程”两部分构成。 高斯消元法有(1)按自然顺序进行的消去法和(1)按自然顺序进行的消去法2种形式(2)高斯主元素体消元法。二、高斯消元法查看一般形式的线性方程群(6.3.3),第一步骤按照与大体方法一样将第一方程x1的系数设为1,然后从其估计的方程中擦除x1并使它们成为下一形式。 高斯法的第二步不改变临时加工的方程式(6.3.12)1,将其留在后段(所谓的世代返回过程)进行处理。 第二步讨论了方程的持续消除。 (6.3.1

5、3 )是关于参数x2、x3、xn的一个n-1次方程组,可以通过重复同样的过程进一步降低1次。 继续此过程,在第k个加工方程组中,(6.3.14 )、高斯消元法、第k个(6.3.14 )的第一方程中的xk的系数为1 :然后从另一方程中消除xk的高斯方法的第k步不涉及初步加工的第k-1方程,因此因此,高斯法的式子是:高斯消元法,按照上述的步骤进行了n步之后,不能像近似方法那样直接得到方程式组的解,将原来的方程式组加工成如下形式:的形式的方程式组是三角型方程式组。 其系数矩阵:主对角线以下的部分(所谓的下三角部分)都是零要素。 在高斯消元法、消元过程中归纳的三角型方程组(6.3.12 )可以在逆序的

6、“回代过程”中很容易求解,回代方程可以分为,高斯消元法、高斯消元法是消元过程和回代过程两个环节。 消元过程将给定的方程组(6.3.4)加工成三角形式(6.3.12 )。 该三角型方程组的系数用修正算式(6.3.14 )、(6.3.15 )进行修正。 加工后的方程组(6.3.12 )再次在返世过程中求解,其求解公式为修正公式(6.3.16 )。 高斯消元法的程序流程图,高斯法的修正过程如分块图所示。 (2)由于对折角线以下的要素不影响世代求解,所以可以在那里放置乘数,可以节省存储单元。 按照高斯消元法的运算和记忆特性、1 )消去规则进行运算的话,对折角线以下的要素为0。 因此,关于相对折角线以下

7、的要素不进行修正运算,减少了修正运算量。、高斯消元法的运算和内存特性、3对角以上的元素和常数变换后的元素位于原来的位置,从而节省存储单元。 当四代后的数值仍保留在常数项存储单元中时,存储在单元中的是输出值、高斯消元法的条件、定理2 Ax=b用高斯消去方法解系数矩阵a的各阶主子式不为零。 定理1如果在消去过程中是a的主元素体(k=1,2,n ),则可通过高斯消去法求出Ax=b的解。引理a的主要元素(k=1,2,n )的满足条件是矩阵a的每一个秩主子公式不为零(即,高斯消元法的校正量),并利用子摇滾乐统一校正算法的校正量。 块2每执行一次就需要nk 1次除法,块3需要(nk 1)、(NK )次的乘

8、法,因此消除过程共享二次乘法。 另外,世代返回过程的框4共享次乘法。 总之,高斯法的修正算量是平方除法。 由于高斯消元法加上了返世过程,虽然算法结构比消元法略复杂,但节省了约六分之一的修正量。 高斯消元法和其他问题: (1)消去过程必须除以单元akk的内容(参照程序流程图的框2 ),如果akk的绝对值小或为0,则修正过程会显着损害精度,进而发生中断。 因此,需要预先进行适当的处理。 考察高斯主元素体消元法(选择主元)、在第k步加工的方程式群(6.3.14 )。 改进的消元方案检验(6.3.14 )中参数xk的各个系数,从中选取绝对值最大的,称为步骤k的主要元素。 假设主要要素是第l个方程式,即

9、第l个方程式和第k个方程式相互容易地对位,在重新成为主要要素后,着手消元。 这个手续叫做选主元。 选择、和星空卫视。 图显示了选择妈妈星空卫视的过程。 这是程序流程图的摇滾乐1的具体化。选择主元,用例6-3-2高斯消元法解例6-3-1的方程式组。求解方程式的解Gauss消元法,(6.3.1)方程式群依赖于其系数,所以可以将由这些个的系数(包括右端项)构成的“扩展矩阵”作为方程式群的简化形式。 我们对这样的扩展矩阵实施了消元手续:例6-3-2、例6-3-2、作为消元过程的结果,总结了以下的三角型方程组。 此外,在取代过程中求解:在三、跟踪法、数值校正运算中,例如在使用样条插值的情况下,将该方程式

10、的系数矩阵称为三对角阵:(6.3.19 )、(6.3.3.这样的形式的方程式碰撞的三对角阵列(6.3.19 )作为系数阵列的方程式组(6. ) 为该方程组的特征提供了一种简便高效的算法跟踪方法。 跟踪法实际上是高斯消元法的简化形式。 同样可以分为消元和回代两个过程。 在(6.3.18)1中x1=1的系数为1时,注意x1 r1x2=y1此处剩馀方程式,实际上只有(6.3. 18 )两个方程式包含自变量。 利用(6.3.20)1也可以将(6.3.18 )与、(6.3.20 )、(6.3.21 )、跟踪方法这样进行n-1步骤后与(6.3.18)n联立,其中xn=yn,由消元过程给出的方程组可将该方程组归纳为称为二对角的更简单的形式,(6.3.20 )、跟踪法、二对角方式的方程组,其系数矩阵中的非零要素集中分布在两个对角线上:通过将加工后的方程组(6.3.20 )从下往上分阶段返回,xn、 总之,跟踪过程是按照等式(6.3.21 )的顺序确定系数r1,y1,r2,y2,rn1,yn1和yn。 着急的过程是按照式(6.3.23 )的相反顺序求解xn,xn1,x2,x1。 可以看出,虽然跟踪法的消去原理与高斯法相同,但考虑到

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