高阶紧致格式

1、10. 高阶紧致差分格式先考虑导数的差分近似。若某一差分近似的精度是 阶的，则近似的误差就是 。要想进一步提高精度，通常有两种途径：减小 （-version）或是提高 （-version）。但由于计算机资源的限制， 不可能无限地减小，因此在需要高精度流场计算的情形（如，粘性边界层、湍流等），就要考虑采用高阶格式。通常情形，构造高阶格式需要更多的点。例如：两点差分近似只有一阶精度。而使用三个点，就可以构造出二阶近似精度越高，需要的点就更多。对于中心差分近似也有类似的结果。但是这种高阶近似用在差分格式中，除了计算公式更加复杂，计算量增加之外，还会造成其他困难。例1：以一个简单的常微分方程初值问题为

2、例。设 。 （） ， 取 个网格，空间步长 ，网格点记作 （），网格点上的近似解记作 。因 ，导数采用向后差分近似，就有 （）实际的计算方案为 ， （）上述格式用到两个点，但只有一阶精度。如果采用二阶差分近似，则成为 （）这个格式具有二阶精度。可是由于涉及三个点，所以只能从 开始计算。而初始条件只提供了 。因此 的计算就需要补充另外的等式。对于更为复杂的流动控制方程以及更复杂、精度更高的数值格式，这种问题就更加严重。现在我们从另外一个角度来考察上述问题。将导数的近似值记作 ，则差分格式就可写成我们刚才所做的不过是用不同的差分来代替 。因此，我们遇到的困难就是：用高阶差分代替 ，就会涉及更多的点

3、。而我们的问题也就是：有没有不涉及更多点的高阶差分？我们借助算符演算来讨论这一问题。例2：由 可推出 ，于是有上式右端取第一项，就得到一阶差分近似 ，即 如果取前两项，就得到二阶近似即这些就是前面用到的向后差分近似。但如果继续演算，有上式中 的系数为零，因此取第一项相当于取了前两项，也能得到二阶精度的近似。即注意到此式中只出现了 的一次方，因此只涉及两个点。上面导出了一个新的差分近似，是用差分算子的有理分式表示的，因此称为微分算子的有理函数近似（Pade逼近）。而通常的差分近似都是用多项式表示的。例3：由于是有上式右端取第一项，就得到二阶精度的中心差分近似 ，即 而取前两项，就能得到四阶精度的

4、中心差分近似即但又有和前一个例子一样，上式中只取第一项，就能得到四阶精度的中心差分近似而且该差分近似只涉及三个点。以上的讨论表明，有理函数近似可以达到我们原来的目的，即：有理函数近似具有更高的精度，又不涉及更多的点。下面考虑微分算子有理函数近似在数值格式中的应用。这种有理函数的表达式只是一种算符操作，在实际应用中就需要将有理分式化为整式，过程如下。例4：由有作用在函数 上，即将算子展开，就是对中心差分近似也有类似地的结果。例5：由有作用在函数 上，即将算子展开，就是以上两个例子表明，有理函数给出的差分近似，会同时有多个点处的导数值出现，需联立求解。而通常的差分近似，只出现一个点处的导数值，可逐

5、点计算。这两者之间的区别，类似于隐式格式与显式格式的区别。正因为如此，微分算子的有理函数近似也称为隐式差分近似。同时，由于涉及较少的点，通常又称为紧致差分近似。例6：将例4中的紧致差分近似应用于例1中给出的初值问题，（）整理后，得到未知解的近似 及其导数值近似 的联立方程组解得（）对于 ，利用原方程可给出初值 ， 由此可见，在紧致差分格式的求解过程中，未知解的近似及其导数值的近似都是未知量，是需要联立在一起求解的。上面的例子是一个两点紧致格式，最终得到了一个递推关系式，逐点计算。对于涉及三个甚至更多点的高阶紧致格式，就需要将未知解的近似 、 、 、 及其导数值的近似 、 、 、 （如果原方程还

6、包括二阶导数，则还有二阶导数值的近似 、 、 、）全部放在一起联立求解。因此，高阶紧致格式中需要求解的未知量比较多，这是它的一个弱点。下面列出一阶导数和二阶导数高阶紧致差分近似的一些结果。1. Pade逼近（三点四阶）2. 对称紧致格式（五点六阶）3. 对称紧致格式（五点八阶）4. 迎风紧致格式（三点三阶）5. 迎风紧致格式（五点五阶）6. 广义紧致格式（对称三点六阶）上面给出的紧致差分近似，计算一阶导数的紧致差分里不会出现二阶导数的近似值，计算二阶导数的紧致差分里也不会出现一阶导数的近似值。如果突破这个限制，就成为广义紧致差分近似。例如7. 广义紧致格式（迎风两点三阶）最后给出一个实例。例7：考虑Burgers方程（对流扩散方程）两点边值问题将空间区域 均匀划分成个网格，则空间网格的尺寸为 ，网格点坐标为 （）。在 时刻（ ， 是时间步长），将未知函数及其空间导数在网格点上的近似值分别记作 ， ， 现假设上一时刻 的近似解已经求出，记成 ，在计算过程中视为已知。于是，在空间区域 内的第个网格点（）处，有原方程