用配方法求解二次项系数不是1的一元二次方程

1、2.2 用配方法求解一元二次方程,第二章 一元二次方程,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第2课时 配方法(2),1.会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程;.（重点） 2.能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程.（难点）,学习目标,导入新课,复习引入,(1) 9x2=1 ；,(2) (x-2)2=2.,2.下列方程能用直接开平方法来解吗?,1.用直接开平方法解下列方程:,(1) x2+6x+9 =5；,(2)x2+6x+4=0.,把两题转化成(x+n)2=p(p0)的 形式，再利用开平方,问题1：观察下面两个是一元二次方程的联系和区别： x2 + 6x + 8 = 0 ; 3x

2、2 +8x3 = 0.,问题2：用配方法来解 x2 + 6x + 8 = 0 .,解：移项，得 x2 + 6x = -8 , 配方，得 （x + 3）2 = 1. 开平方, 得 x + 3 = 1. 解得 x1 = -2 , x2= -4.,想一想怎么来解3x2 +8x3 = 0.,讲授新课,试一试：解方程： 3x2 + 8x -3 = 0. 解：两边同除以3,得 x2 + x - 1=0. 配方,得 x2 + x + ( ) 2 - ( )2 - 1 = 0, （x + ）2 - =0. 移项,得 x + = , 即 x + = 或 x + = . 所以 x1= , x2 = -3 .,配方

3、，得,由此可得,二次项系数化为1，得,解：移项，得,2x23x=1,即,移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?,例1 解下列方程：,配方，得,因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根,解：移项，得,二次项系数化为1，得,为什么方程两边都加12？,即,思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？,思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤.,移项时需注意改变符号.,移项，二次项系数化为1； 左边配成完全平方式； 左边写成完全平方形式； 降次； 解一次方程.,一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p.,当p0时,则 ,

4、方程的两个根为 当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为 x1=x2=-n. 当p0时,则方程(x+n)2=p无实数根.,规律总结,引例：一个小球从地面上以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h (m)与时间 t (s)满足关系： h=15t - 5t2. 小球何时能达到10m高？,解：将 h = 10代入方程式中. 15t - 5t2 =10. 两边同时除以-5,得 t2 - 3t = -2, 配方,得 t2 - 3t + ( )2= ( )2 - 2, （t - ）2 =,移项,得 （t - ）2 = 即 t - = ,或 t - = . 所以 t1=

5、2 , t2 = 1 .,即在1s或2s时，小球可达10m高.,例2.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k24k5 的值必定大于零.,解：k24k5=k24k41,=（k2）21,因为（k2）20，所以（k2）211.,所以k24k5的值必定大于零.,例3.若a,b,c为ABC的三边长，且 试判断ABC的形状.,解：对原式配方，得,由代数式的性质可知,所以，ABC为直角三角形.,1. 方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一根为x = 0，则 m的值为（ ） A. 1 B.1 C.1或2 D.1或-2 2.应用配方法求最值. (1) 2x2 - 4x+5的最小值； (2) -3

6、x2 + 5x +1的最大值.,练一练,C,解：原式 = 2(x - 1)2 +3 当x =1时有最小值3,解：原式= -3(x - 2)2 - 4 当x =2时有最大值-4,归纳总结,配方法的应用,1.求最值或 证明代数式 的值为恒正 （或负）,对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2 n的形式后，(x+m)20，n为常数，当a0时，可知其最小值；当a0时，可知其最大值.,2.完全平方式中的配方,如：已知x22mx16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=4.,3.利用配方构成非负数和的形式,对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口

7、往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2b24b4=0,则a2(b2)2=0,即a=0，b=2.,例4.读诗词解题： （通过列方程，算出周瑜去世时的年龄.） 大江东去浪淘尽， 千古风流数人物。 而立之年督东吴， 早逝英年两位数。 十位恰小个位三， 个位平方与寿符。 哪位学子算得快， 多少年华属周瑜？,解：设个位数字为x，十位数字为(x-3),x1=6, x2=5,x2-11x=-30,x2-11x+5.52=-30+5.52,(x-5.5)2=0.25,x-5.5=0.5,或x-5.5=-0.5,x2=10(x-3)+x,这个两位数为36或25

8、，,周瑜去世的年龄为36岁.,周瑜30岁还攻打过东吴，,1.解下列方程：,（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12； （3）4x2-6x-3=0； （4） 3x2+6x-9=0.,解：x2+2x+2=0，,(x+1)2=-1.,此方程无解；,解：x2-4x-12=0，,(x-2)2=16.,x1=6,x2=-2；,解：x2+2x-3=0，,(x+1)2=4.,x1=-3,x2=1.,当堂练习,2.利用配方法证明：不论x取何值，代数式x2x1的值总是负数，并求出它的最大值.,解：x2x1=(x2+x+ )+ 1,所以x2x1的值必定小于零.,当 时，x2x1有最大值,3.若 ，求(xy)z 的值.,解：对原式配方，得,由代数式的性质可知,4.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？,解：设道路的宽为xm, 根据题意得,（35-x)(26-x)=850，,整理得,x2-61x+60=0.,解得,x1=60（不合题意，舍去）, x2=1.,答：道路的宽为1m.,5.已知a,b,c为ABC的三边长，且 试判断ABC的形状.,解：对原式配方，得,由代数式的性质可知,所以，ABC为等边三角形.,课堂小结,配方法,方法,步骤,一移常数项； 二配