高等数学 第一节 对弧长的曲线积分

1、第九章 曲线积分与曲面积分,第一节 对弧长的曲线积分,第二节 对面积的曲面积分,第三节 对坐标的曲线积分,第四节 对坐标的曲面积分,第五节 Green公式,第六节 Gauss公式,第七节 Stokes公式,第一节 对弧长的曲线积分,对整体量进行分割、作和、取极限所产生的定积分与重积分已经带来了很大的方便, 但是, 有些实际问题与理论问题, 这两种积分还解决不了, 于是, 又引进了曲线积分与曲面积分, 它们与前者的基本思想是一致的.,本章讨论的基本问题是两类曲线积分与两类曲面积分, 重点是曲线积分与路径无关的问题以及Green (格林)公式与Gauss(高斯)公式.,一、对弧长的曲线积分的定义,

2、二、对弧长的曲线积分的性质,三、对弧长的曲线积分的计算,四、对弧长的曲线积分的应用,线密度为连续函数z = f (x, y), 利用分割作和、取极限的方法求该构件的质量.,一、对弧长的曲线积分的定义,定义1 如果连续曲线y = f (x)上到处都有切线, 当切点连续变动时, 切线也连续转动, 就称此曲线为光滑曲线.,设有一曲线形构件, 它在xOy 平面内是一条光滑曲线弧L,见图9-1.,图9-1,在L上取点M1, M2, , Mn-1 , 把L分成n小段, 在,上任意取一点(i, i), 弧段,的长度为si, 记, = maxs1, s2, , sn,则该构件的质量为,图9-1,定义2 设L为

3、xOy平面内的一条光滑曲线, z = f (x, y) 为L上的连续函数, 用分点M1, M2, , Mn-1, 把L分成n小段, 在,存在, 则将此极限值称为函数f (x, y)在L上对弧长的曲线积分, 记为,其中, f (x, y)称为被积函数, L称为积分弧段.,上任意取一点(i, i), si表示,的长度,记 = maxs1, s2, , sn, 如果,定理1 当 f(x, y)在光滑曲线或分段光滑曲线弧L上连续时, 对弧长的曲线积分 存在.,二、 对弧长的曲线积分的性质,由对弧长的曲线积分的定义可知, 定积分的所有性质都可以移植过来.,性质1 设k为常数, 则,设下面所涉及的对弧长的

4、曲线积分都存在.,性质2,性质3 将L分成L1 与L2, 则,其中L0表示L的长度,性质4,性质5 f (x, y) g (x, y), 则,性质6 在L上若设m f (x) M, 则,其中L0表示L的长度,性质7 当 f (x, y)在光滑曲线弧 L上连续时, 必有L上某点(, ), 使得,三、对弧长的曲线积分的计算,定理2 设 f (x, y)在曲线 L上连续, L的参数方程为,( t ),其中 (t), (t) 在, 上具有一阶连续导数, 且 2(t) + 2(t) 0, 则有公式(1)成立.,(1),设下面的函数和曲线都满足定理2的条件, 则还有如下公式. 积分上限要大于下限.,设L:

5、 y = y ( x ) (a x b), 则有,设L: r = r ( ) ( ), 则有,设L: x = x ( y ) (c y d), 则有,设L: x =(t), y =(t), z =(t) ( t ), 则有,定理3 设 f ( x, y )和L满足定理2的条件, 若f (x, y) = f (x, y ), L关于轴对称, L1表示L的位于 x 轴上方的部分, 则有,若 f (x, y) = f (x, y), 则,例1,L是整条星形线,解 设 L1: x = cos3t , y = sin3t , (0 t / 2),由定理3可知,于是,例2 求,L为圆 x2 + y2 =

6、ax ( a 0 ).,解 把L写成极坐标形式r = a cos , - /2 /2,利用公式(4), 有,例3 求, 为螺旋线: x = acost , y = asint , z = bt , 0 t 2.,解 利用公式(5), 有,为圆周:,解 直接利用(5)完成, 计算量很大, 注意到,于是,例4 求,原式,设在xOy平面内有一条分布着质量的光滑曲线弧(或分段光滑曲线弧)L, 在点(x, y)处的线密度为连续函数 f (x, y), 利用微元分析法不难推得下面各计算公式.,四、 对弧长的曲线积分的应用,质量,设重心为,则,转动惯量,如果曲线L是空间曲线, 也可以得出类似的公式.,式中Ix, Iy, Io分别表示质量弧L对于x轴、y 轴、原点的转动惯量.,下面给出第一型曲线积分的几何意义.,当 f ( x, y ) 0时, 如果 f ( x, y )在平面曲线L上连续, L光滑或分段光滑, 见