高一数学10.1 不等式 归纳

1、高一数学讲义 10.1 不等式课题1：不等式基础知识一、不等式的性质：1、同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2、 左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）；3、左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则或；4、若，则；若，则。如（1）对于实数中，给出下列命题：； ； ； ； ，则。其中正确的命题是_；（2）已知，则的取值范围是_；（3）已知，且则的取值范围是_二、不等式大小比较的常用方法：1作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2作商（常用于分

2、数指数幂的代数式）；3分析法；4平方法；5分子（或分母）有理化；6利用函数的单调性；7寻找中间量或放缩法 ；8图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如：设，试比较的大小；3、 利用重要不等式求函数最值时， 17字方针：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”。 如（1）下列命题中正确的是A、的最小值是2 B、的最小值是2C、的最大值是 D、的最小值是 （2）若，则的最小值是_；（3）正数满足，则的最小值为_；4.常用不等式有：（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。如如果正数、满足，则的取值范围是_5

3、 证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是： 作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).常用的放缩技巧有：如（1）已知，求证： ；(2) 已知，求证：；（3） 已知，且，求证：；(4) 若a、b、c是不全相等的正数，求证：；(5) 若，求证：；(6) 已知，求证：； (7) 求证：。六简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写

4、出不等式的解集。如（1）解不等式；（2）不等式的解集是_；（3）设函数、的定义域都是R，且的解集为，的解集为，则不等式的解集为_；（4）要使满足关于的不等式（解集非空）的每一个的值至少满足不等式中的一个，则实数的取值范围是_.7 分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并 分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。 解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如（1）解不等式；（2）关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_.八绝对值不等式的解法：1分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式；2.利用绝对值

5、的定义；3.数形结合；如解不等式4.两边平方：如若不等式对恒成立，则实数的取值范围为_。九含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 如解不等式十一含绝对值不等式的性质：同号或有；异号或有.如设，实数满足，求证：12 不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式 （常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).恒成立问题若不等式在区间上恒成立,则等价

6、于在区间上若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上如（1）若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围（2）不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围_（3） 若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围_（4） 若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是_（5） 若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围.2). 能成立问题若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.如已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围_3) . 恰成立问题若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为；若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为.

7、课题2：基本不等式及其应用一、基本不等式1、（1）若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）2、 (1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）(3)若，则 (当且仅当时取“=”）3、若，则 (当且仅当时取“=”）; 若，则 (当且仅当时取“=”） 若，则 (当且仅当时取“=”）4、若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）5、若，则（当且仅当时取“=”）注意：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值；当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量

8、的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面 有广泛的应用二、基本不等式的应用应用一：1、求值域或最大、最小值问题例1、求下列函数的值域（1）y3x 2 （2）yx例2、已知，求函数的最大值。例3、 当时，求的最大值。变式：设，求函数的最大值。例4、 求的值域。例5、求函数的值域。变式：求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1）（2） (3) 2、已知，求函数的最大值.；3、已知：，求函数的最大值.2、条件求最值问题例6、若实数满足，则的最小值是 .例7、已知，且，求的最小值。变式：（1）若且，求的最小值(2)已知且，求的最小值例8、已知x，y为正实数，且x 21，求x的最大值.例9、

9、已知a，b为正实数，2baba30，求函数y的最小值.变式：1、已知a0，b0，ab(ab)1，求ab的最小值。2、若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。例10、已知x，y为正实数，3x2y10，求函数W的最值.变式: 求函数的最大值。应用二：利用基本不等式证明不等式例11、已知为两两不相等的实数，求证：例12、正数a，b，c满足abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc例13、已知a、b、c，且。求证：应用三：基本不等式与恒成立问题例14、已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。应用四：均值定理在比较大小中的应用：例15、若，则的大小关系是 .课题3: 运用均值不等式的几种方法一、

10、拼凑定和：通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。例、已知，求函数的最大值。例2、 求函数的最大值。例3、已知，求函数的最大值。二、拼凑定积：通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件例3、设，求函数的最小值。例4、已知，求函数的最大值。例5、已知，求函数的最小值。三、拼凑常数降幂例6、若，求证：。例7、若，求的最大值。例8、已知，求证：。四、拼凑常数升幂例9、若，且，求证。例10、若，求证：。五、约分配凑：通过“1”变换或

11、添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次。例11、已知，求的最小值。 例12、已知，求函数的最小值。例13、若，求证。六、引入参数拼凑 某些复杂的问题难以观察出匹配的系数，但利用“等”与“定”的条件，建立方程组，解地待定系数，可开辟解题捷径。例14、已知，且，求的最小值。七、引入对偶式拼凑： 根据已知不等式的结构，给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子，然后一起参与运算，创造运用均值不等式的条件。例18、设为互不相等的正整数，求证。八、确立主元拼凑：在解答多元问题时，如果不分主次来研究，问题很难解决；如果根据具体条件和解题需要，确立主元，减少变元个数，恰当拼凑，可创造性地使用均值不等式。例19、在中，证明。课后作业1、已知，且满足，则xy的最大值为 _。2、设，则的最小值是（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）43、已知x0，y0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（ ）A. 3 B. 4 C. D. 4、将边长为1的正三角形薄片，沿一条平