概率论复习题

1、 概率论复习题概率论复习题 一.填空题 1.设A和B为二个随机事件，已知()0.5P AB ，( )0.4P B ,则 ()_P A B 。 2.掷 3 个骰子，则至少有一个出现 6 点的概率为_。 3.一盒子中装有 10 个乒乓球，其中 8 个新球，2 个旧球。现不放回地任取 3 个球，设X为 所取球中的新球个数，则X的概率分布为_。 4.设离散型随机变量X的概率分布为 X -3 0 3 4 7 p 0.2 a 0.2 0.1 0.2 ， 则( 33)_PX ，(24)_P XX。 5.设随机变量X的密度函数为 , 21 ( ),12 0, Ax p xBxx 其他 ，且( 21)(12)P

2、xPX ， 则_A，_B ，X的分布函数表( )_F x 。 6.设连续型随机变量X的分布函数为 ,0 ( ) 1,0 x x Aex F x Aex ， 则_A,( 11)_PX ,( )_p x 。 7.设随机变量0,1XU， 2X Ye ，则Y的密度函数( )_ Y py 。 8.设(, )X Y的联合概率分布为 且(, )X Y的联合分布函数为( , )F x y，则 11 22 ,_F，_ XY ， 22 ZXY的概率分布为_。 9.设(100,0.04)XB，(200,0.02)YB，且X和Y相互独立，则 (1)_P XY，XY的概率分布为_。 10. 设 1 2 (, )(1,0

3、,1,4, )X YN,则（1）Y的密度函数( )_ Y py ， （2）( 23)_DXY， （3）_a ，使得ZaXY和Y不相关。 二.简答题 叙述概率的公理化定义。 三.分析判断题（判断对错，并且给予说明） 1. 设, ,A B C为的三个随机事件，则,A AB和AB为的一个分割。 2.设 1 X的分布函数为 1( ) X Fx， 2 X的分布函数为 2( ) X Fx，且 1 X和 2 X独立，则 12 XX的 分布函数为 12 ( )( ) XX FxFx。 四.计算题 1.在回答有, , ,a b c d四个选项的选择题时，由于题目较难，全班只有 5%的学生能解答出正 确答案。假设

4、能解答出答案的学生回答正确的概率为 99%，不能解答出答案的学生随机猜 测答案。求（1）学生回答正确的概率； （2）在学生答题正确的情况下，他（她）是猜对答 案的概率； （3）通过以上计算，你可以提供什么好的建议。 2设随机变量X的密度函数为 2 5 2 5 (1),12 ( )(3),35 0, xx p xxx 其他 ， 求（1）(4);P X （2）对随机变量X独立地进行 5 次观察，最多有 2 次观察结果X小于 4 的概率； （3）方差DX。 3.设二维随机向量(, )X Y的联合密度函数为 2 ,01, ( , ) 0, Axxxyx p x y 其他 ， （1）求常数A； （2）求

5、关于,X Y的边际密度函数，并且讨论X和Y的独立性； （3）计算(21)P XY。 4.某海港对停泊船只供给净水，初始价是每吨a元，以后再供则要加 50%的附加费；若用不 完造成浪费则每吨加收资源费 4 a 元。设某轮船的净水用量X服从70,140U，为节约其用 水总开支，试求其最佳初始供水量。 5.炮火轰击敌方的防御工事 100 次，每次轰击命中的炮弹数服从同一分布，此分布的数学期 望为 2，方差为 2.25。若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的，求 100 次轰击至少命中 180 发但不超过 220 发的概率。 （注：(1.33)0.908） 参考答案： 一 （1） 1 6 ； （2） 91

6、 216 ； （3） 123 77115 1515 ； （4）0.5，49； （5） 1 1 , 6 3 ， 1 6 2 1 6 0,2 (2), 21 ( ) (2),12 1,2 x xx F x xx x ； （6） 1 2 , 1 1 e， 1 2 ( ), x p xex ； （7） 23 1 , ( ) 0, Y eye ypy 其他 ； （8）0.4， 1 7 ， Z 1 2 P 0.5 0.5 （9） 8 9e， 8 8 (),0,1, ! k P XYkek k （10） 2 8 1 ( ) 2 2 y Y pye ，4，4。 二随机事件A发生的可能性大小的数值称为随机事件A

7、的概率，记此概率为( )P A，并且 还必须满足： （1）非负性：( )0P A ，A ； （2）规范性：( )1P ； （3）可列可加性：若 1, , n AA两两互不相容，则有 11 ()()() nn P AAP AP A。 三 1.对，证明： （1）两两互不相容显然， （2）AABABAA。 2.错， 12 ( )( ) XX FxFx不是分布函数， 12 ()()2 XX FF 。 四 1. A表示一个学生猜对答案，,A A是一个分割，B表示学生回答正确，则 ( )0.95P A ，()0.25P B A ，()0.99P B A 。 （1）全概率公式 ()()()()()P BP

8、A P B AP A P B A=0.287； （2）贝叶斯公式 ()() () ( ) ()( ) () P A P B A P A B P A P B AP A P B A =0.8275； （3）问题出在题目的难度过大了，可以降低选择题的难度。一般来讲，难题不应该出成 选择题。 2. （1） 5 322 555 4 (4)1(4)1(3)1pP XP Xxdx ， （2）Y表示 5 次观察中X小于 4 的次数， 2 5 (5, )YB， 005114223 555 (2)0. 4 0. 60. 4 0. 60. 4 0. 60. 68256P YCCC， （3） 25 22 55 13

9、( )(1)(3)3.8EXxp x dxxxdxxxdx ， 25 2222 22 55 13 ( )(1)(3)15.767EXx p x dxxxdxxxdx ， 222 ()15.7673.81.327DXEXEX。 12 222 01 (2)EXx xdxxx dx 7111 4126 ， 1 6 DX 。 3.（1） 2 11 2 12 00 1( , )() x A x p x y dxdydxAxdyAx xx dx ，12A； （2） 212 ,01 ( ) 0, x x X xdyx px 其他 ， 2 12 (),01 0, x xxx 其他 ， 12,01 ( ) 0,

10、 y y Y xdxy py 其他 2 6(),01 0, yyy 其他 ， 由于在 2 01,xxyx中，( , )( )( ) XY p x ypx py，则XY和不独立； （3） 111 322 22 1 3 0 (21)1212 x x xx P XYdxxdydxxdy 11329 9144144 。 4. 设某船的初始供给量y，70140y，且用Y表示费用，则 5 444 33 222 (), () (), aa aaa ayyXXyyX Xy Yf X ayXy XyXy Xy 140 70 1 ()( ) 70 EYEf Xf xdx 140 53 4422 70 11 ()() 7070 y aaaa y yx dxxy dx 140 70 53 704422 y y ayxxy dxdx 2222 513 (70)(70 )(140)(140) 704842 ayy yyyy 2 731530625 70 822 a yy ，有