第三章 几种重要的随机过程

1、,第三章几种重要的随机过程,第一节独立过程和独立增量过程,第二节正态过程,第三节维纳过程,第四节泊松过程,定义3.1.1对任意的正整数n及任意的,为独立过程.,相互独立,称随机过程,随机变量,第一节独立过程和独立增量过程,一、独立过程,独立随机过程的有限维分布由一维分布确定,注,Ex.1高斯白噪声,实值时间序列的,自相关函数为,称为离散白噪声(序列).,两两不相关序列.,又若X(n)都服从正态分布,称是高斯白噪声序列.,对于n维正态随机变量有,相互独立不相关,故高斯白噪声序列是独立时间序列.,若过程是正态过程,且,高斯白噪声是典型的随机干扰数学模型,普遍存在于电流的波动,通信设备各部分的波动,

2、电子发射的波动等各种波动现象中.,称其为高斯白噪声过程，它是独立过程.,如金融、电子工程中常用的线性模型自回归模型（AR(p)）,理想模型要求残差序列t是(高斯)白噪声.,二、独立增量过程,定义3.1.2称,T=0,)为独立增量过程,若对,及t0=0t1t2tn,增量序列,X(t1)X(0),X(t2)X(t1),X(tn)X(tn-1),相互独立.,0,t1,t2,tn1,tn,注,不失一般性,设X(0)=0或PX(0)=0=1.,有X(t1),X(t2)X(t1),X(tn)X(tn1),相互独立.,定义3.1.3若独立增量过程X(t),t0对,及h0,X(t+h)X(s+h)与X(t)X

3、(s),有相同的分布函数,称X(t),t0是平稳独立增量过程.,0,t,s,s+h,t+h,增量的分布仅与有关,与起始点t无关,称X(t),t0的增量具有平稳性(齐性).,注,Ex.2若X(n),nN+是独立时间序列,令,则Y(n),nN+是独立增量过程.,又若X(n),n=1,2,相互独立同分布,则Y(n),nN+是平稳独立增量过程.,证若n1n2nm,X(n),nN+相互独立,各增量相互独立.,性质3.1.1X(t),t0是平稳独立增量过程,X(0)=0,则,1）均值函数m(t)=mt(m为常数);,2）方差函数D(t)=2t(为常数);,3）协方差函数C(s,t)=2min(s,t).,

4、分析因均值函数和方差函数满足,命题：若,可证得1)和2).,则对任意实数t,有,证3),X(t)X(s)与X(s)相互独立.,一般,C(s,t)=2min(s,t).,性质3.1.2独立增量过程的有限维分布由一维分布和增量分布确定.,分析对于独立增量过程X(t),t0,任取的t1t2tnT,Y1=X(t1),Y2=X(t2)X(t1),Yn=X(tn)X(tn-1),相互独立性,利用特征函数法可证明结论.,思考题：,1.白噪声过程是否一定是独立过程？,2.独立过程是否是独立增量过程？反之？,1定义,为n维正态分布，,其密度函数为,也称高斯过程。,则称,第二节正态过程,其中,且,C为协方差矩阵，

5、,注,由正态过程的n维概率密度表达式知，正态过程的统计特性，由它的均值函数及自协方差函数完全确定。,Ex.3,证,可得,注,逆命题也成立。,一、维纳过程的数学模型及应用,维纳过程是英国植物学家罗伯特.布朗在观察漂浮在液面的花粉运动布朗运动规律时建立的随机游动数学模型.,第三节维纳过程,维纳过程应用广泛：电路理论、通信和控制、生物、经济管理等.,维纳过程的研究成果应用于计量经济学，使其方法论产生了一次飞跃，成功地应用于非平稳的经济过程，如激烈变化的金融商品价格的研究。,二、定义,则称,或布朗运动过程。,称为标准维纳过程。,特别,三、维纳过程的分布,1.一维分布：W(t)N(0,2t)；,2.增量

6、分布：W(t)W(s)N(0,2|ts|);,设ts，因W(0)=0,且W(t)是平稳独立增量过程，故,有相同分布N(0,2(ts).,3.维纳过程是正态过程.,证,设维纳过程W(t),t0的参数是2，,相互独立，且有,正态随机向量的线性变换服从正态分布。,四、维纳过程的数字特征,1.EW(t)=0;DW(t)=s2t,2.C(s,t)=R(s,t)=2min(s,t),维纳过程是平稳独立增量过程,下证,同理,故,3,证,由于增量,是相互独立的正态变量。,所以,4具有马氏性,证,因此,所以,所以维纳过程是马氏过程。,例4,试求,的协方差函数。,且,解,可得,所以,一、计数过程与泊松过程,在天文

7、，地理，物理，生物，通信，医学，计算机网络，密码学等许多领域，都有关于随机事件流的计数问题，如：,盖格记数器上的粒子流；,电话交换机上的呼唤流；,计算机网络上的（图象，声音）流；,编码（密码）中的误码流；,第四节泊松过程,交通中事故流；,细胞中染色体的交换次数，,均构成以时间顺序出现的事件流A1,A2,定义3.4.1随机过程N(t),t0称为计数过程(CountingProcess),如果N(t)表示在(0,t)内事件A出现的总次数.,计数过程应满足：,(1)N(t)0;,(2)N(t)取非负整数值；,(3)如果st，则N(s)N(t)；,(4)对于st,N(t)N(s)表示时间间隔(s,t)

8、内事件出现的次数.,)s,)t,Poisson过程是一类很重要的计数过程.,Poisson过程数学模型：,电话呼叫过程设N(t)为0,t)时间内到达的呼叫次数,其状态空间为,E=0，1，2，,此过程有如下特点：,1)零初值性N(0)=0;,2)独立增量性任意两个不相重叠的时间间隔内到达的呼叫次数相互独立;,3)齐次性在(s,t)时间内到达的呼叫次数仅与时间间隔长度ts有关，而与起始时间s无关;,4）普通性在充分小的时间间隔内到达的呼叫次数最多仅有一次，即对充分小的t,有,其中0.,定义3.4.2设计数过程N(t),t0满足：,(1)N(0)=0;,(2)是平稳独立增量过程；,(3)PN(h)=

9、1=h+o(h),0；,(4)PN(h)2=o(h).,称N(t),t0)是参数(或速率,强度)为的齐次泊松过程.,EX.1在数字通信中误码率是重要指标，设N(t),t0为时间段0,t)内发生的误码次数,N(t),t0是计数过程,而且满足,(1)初始时刻不出现误码是必然的,故N(0)=0;,(2)在互不相交的区间,出现的误码数互不影响,故N(t)独立增量过程.,在系统稳定运行的条件下,在相同长度区间内出现k个误码概率应相同,故可认为N(t)是增量平稳过程.,N(t),t0是平稳独立增量过程；,(3)认为t时间内出现一个误码的可能性与区间长度成正比是合理的,即有,PN(Dt)=1=Dt+o(Dt

10、),0；,(4)假定对足够小的t时间内,出现两个以上误码的概率是关于t的高阶无穷小也是合理的,有,PN(Dt)2=o(Dt).,定理3.4.1齐次泊松过程N(t),t0在时间间隔(t0,t0+t)内事件出现n次的概率为,终上所述,可用Poisson过程数学模型描述通信系统中误码计数问题.,可认为N(t),t0是强度为的泊松计数过程.,定理证明反之亦然,得泊松过程的等价定义：,定义3.4.2设计数过程N(t),t0满足下述条件：,(1)N(0)=0；,(3)对一切0st,N(t)N(s)P(ts),即,(2)N(t)是独立增量过程；,注,有,问题若N(t)的一维分布是泊松分布,能否推出第(3)条

11、成立?,EX.2设N(t),t0是参数为的泊松过程,事件A在(0,)时间区间内出现n次，试求:,二、齐次泊松过程的有关结论,1.数字特征,N(t)P(t).,均值函数,方差函数,称为事件的到达率,是单位时间内事件出现的平均次数.,协方差函数C(s,t)=min(s,t)，,相关函数R(s,t)=min(s,t)+2st.,证因泊松过程N(t),t0)是平稳独立增量过程，,不妨设ts0,R(s,t)=EN(t)N(s)=EN(s)N(t)N(s)+N(s),=EN(s)N(t)N(s)+EN2(s),=EN(s)EN(t)N(s)+EN2(s),C(s,t)=min(s,t)R(s,t)=min

12、(s,t)+2st.,一般地有,定理：泊松过程的特征函数为证明：,1)令Y(t)=N1(t)N2(t)，t0,求Y(t)的均值函数和相关函数.,2)证明X(t)=N1(t)+N2(t),t0,是强度为1+2的泊松过程.,3)证明Y(t)=N1(t)N2(t)，t0,不是泊松过程.,EX.3设N1(t)和N2(t)分别是强度为1和2的相互独立的泊松过程,2)根据泊松分布的可加性知X(t)=N1(t)+N2(t),t0,3)X(t)=N1(t)N2(t)的特征函数为,独立和的特征函数,由分布函数与特征函数的一一对应的惟一性定理知X(t)不是泊松过程.,服从参数为1+2的泊松分布.,自证,问题:如何

13、证明?,2.时间间隔与等待时间的分布,t,W1,W2,W3,W4,N(t),轨道是跃度为1的阶梯函数,用Tn表示事件A第n1次出现与第n次出现的时间间隔.,Wn为事件A第n次出现的等待时间(到达时间).,定理3.4.2,设Tn,n1是参数为的泊松过程N(t),t0的时间间隔序列，,则Tn,n1相互独立同服从指数分布，,且ET=1/.,证(1)因T1t=(0,t)内事件A不出现,PT1t=PN(t)=0=et,即T1服从均值为1的指数分布.,(2)由泊松过程的平稳独立增量性,有,PT2t|T1=s=P在(s,t+s)内事件A不出现|T1=s,=PN(t+s)N(s)=0,=PN(t)N(0)=0,=PN(t)=0=et,与s无关,故T2与T1相互独立，且T2也服从均值为1/的指数分布.,(3)对于一般n1和t0以及r1，r2，rn-10,有,PTnt|Ti=ri,1in1,=PN(t+r1+rn1)N(r1+r2+rn1)=0,=PN(t)N(0)=0=et.,习题,1.设X(t)=A+Bcost,其