第4章控制系统稳定性

1、对于第四章控制系统稳定性、非线性、时变、多输入多输出控制系统稳定性问题的研究，经典控制理论是无能为力的。我们只是利用俄罗斯科学家伊亚夫诺夫(A.M.Lyapunov)的稳定性理论进行了分析和研究。1892年，A.M.Lyapunov发表了有关运动系统稳定性的一般问题，Lyapunov稳定性理论成为支配理论中最重要的注释之一。本章的主要内容是1 .简介，2 .Lyapunov意义上的稳定性定义，3 .Lyapunov第二种方法，5 .线性定常离散系统的稳定性，4 .线性连续系统的稳定性，6 .边界输入-边界输出稳定性，7 .非线性系统的稳定性分析，4.1简介，Lyapunov用两种方法总结了稳定

2、性问题的研究。第一种方法是求线性化后常微分方程的解，分析原系统的稳定性。第二种方法提供了系统稳定性的信息，而不是求解微分方程的解。第二种方法在非线性、时变、多输入多输出系统中尤为重要。Lyapunov的第二种方法也称为直接法。方法是基于广义能量函数和随时间变化的特性研究系统稳定性。以下是一个示例：示例4-1弹簧质量阻尼器系统，如下图所示。系统的运动用以下微分方程说明：顺序，(1)，状态变量选择，随时，系统的总能量，(3)，显然，那时，随时间变化的总能量变化率为，显示，时间。在其他所有地方，整体系统能量衰减，表明系统稳定。Lyapunov第二种方法是研究系统平衡状态的稳定性。平衡状态通常是系统状

3、态方程，初始状态是。系统的状态滑轨取决于时间。只有在Tt0的情况下，称为系统平衡。如果不在坐标原点，则可以通过非奇异线性变换生成，因此平衡状态的稳定性问题都可以归结为原点的稳定性问题。4.2 Lyapunov意义上的稳定性定义，4.2.1稳定定义，非线性时变系统，(4)，4.2.2是系统的平衡状态稳定时渐近稳定。从均衡状态的某个足够小的区域出发的状态的轨道线，当时被称为收敛，渐近稳定性。更详细的说明如下：系统的平衡状态，在，存在，和，在，从，出发，都存在，足够大的情况下足够小。在Lyapunov的意义上称为渐近稳定性。如果与不相关，则称为统一渐近稳定性。4.2.3大范围渐进稳定性，整体状态空间

4、中任意点时的大范围渐近稳定性或Lyapunov语义中的全局渐近稳定性。稳定性与的选择无关时，称为一致的全局渐近稳定性。4.3 Lyapunov第二种方法，示例4-2系统的状态方程按如下方式确定系统稳定性：解决方案，选择Lyapunov函数，显然是正定的，即满足，如果有，系统是一致的，广泛的，逐步稳定的。(注：这个定理稍微放宽了定理4-1的条件，示例4-3系统的状态方程是。其中a是大于0的实数。判别系统的稳定性。显然是正的限制，即满足，可见，和任意情况，和任意情况。因为只要改变，就不会为零，在整个状态轨道上不会有。因此，一致、逐步稳定。是的，所以系统是一致、广泛、逐步稳定的。(注：这个定理只比定

5、理4-2少了第三个条件，只能保证一致性，不能保证渐近稳定性。)，0(零)会导致系统中存在闭合曲线(极限环)，并且如果在其上保持不变，则系统可以收敛到极限环，而不存在平衡点。所以一贯稳定。示例4-4系统的状态方程为。其中k是大于0的实数。分析了系统平衡状态的稳定性。显然，它是正定，即满足，定理4-3表明，在Lyapunov的意义上是一致稳定的。解系统的平衡状态是不稳定的，如Lyapunov函数：显然是正定，即满足，定理4-4所示。必须指出的是，人类到目前为止还没有找到构成Lyapunov函数的一般方法。因为用Lyapunov第二种方法给出的结果对系统稳定性是充分的条件。因此，对于任何系统，都找不

6、到合适的Lyapunov函数，不能说系统是稳定的还是不稳定的，也不能说无法提供有关该系统稳定性的信息(即inconclusive不下结论)。4.4线性连续系统的稳定性，对于线性时变系统，相应的同阶状态方程通过第二章介绍的方法确定同阶系统和非均匀系统的稳定性，收敛时变得稳定。发散的话都不稳定。首先介绍了矩阵正定性定义。对于正方形矩阵，如果所有的主子都大于0，则q是正整数。换句话说，对于线性常量系统，可以使用Lyapunov第二种方法。正方形q为正正方形时，q为负。负矩阵主负正相位。Lyapunov函数是状态变量的二次函数，即p是正维对称常量矩阵时的正定。在中，q是正定实矩阵，并满足。给定q矩阵的

7、情况下，如果p可以推到正限定量，那么系统是稳定的。而且，如果线性常数系统是稳定的，就必须是大范围的一致渐近稳定性。(注：线性常数系统可以通过判断a的特征值是否都有负实部分来确定其稳定性。)，例4-6线性常数系统的状态方程是判断系统的稳定性。解，是，表示，p是正定矩阵，因此具有大范围一致渐近稳定性。4.5线性常数离散系统的稳定性，线性常数离散系统的状态方程，(8)，系统的平衡状态假设g是维非奇异常数数组，是唯一的平衡状态。Lyapunov函数选择，(9)，在表达式中，p是正限定对称常量，因此是正限定。的差异分为实例4-7线性正常离散系统的状态方程，试验其稳定性。解决方案，4.6边界输入-边界输出

8、稳定，4.6.1边界输入-边界输出稳定，boundedinputboundedoutput(Bibo)stable，由定理4-5方程描述的线性常数系统。初始松弛系统。输出向量的解由(11)、4.6.2BIBO稳定性和平衡状态稳定性之间的关系、线性常数系统的(12)、平衡状态的渐近稳定性由a的特征值确定。BIBO的稳定性由传递函数的极值决定。中的所有极都是a的特征值，但a的特征值不一定是极。可以有零极消隐。因此，位置的渐近稳定性包括BIBO稳定性，但BIBO稳定性可能不是位置的渐近稳定性。在什么条件下，非波稳定是平衡状态的渐近稳定？结论以(12)式描述的线性常数系统为BIBO稳定，系统可控制，可

9、观察，系统渐近稳定。4.7非线性系统的稳定性分析，4.7.1 Lyapunov用第二种方法进行非线性系统稳定性分析，至今还没有构造Lyapunov函数的一般方法。总是根据经验，使用尝试方法。以下是两种更有效的方法：1 .clasovsky方法，其中和是n维向量。对于非线性多变量函数，每个函数都有连续的部分微分。将Lyapunov函数配置为：(13)，其中(17)，负数表示负数。但是正定，因此渐近稳定。如果是，那么是大范围的一致渐近稳定性。4-10非线性常数系统状态方程的例子是对的稳定性进行分析的尝试。如果选择，solution，Jacobian矩阵，W=I，则测试中的每个阶注：显然，是负设置，因此具有广泛的一致性渐近稳定性。4.7.2使用Lyapunov第一近似理论分析非线性系统稳定性，非线性常数系统方程，如果存在，则为高阶无穷大。(18)，忽略高阶无穷大，得到非线性系统的线性化模型，(20)。其中，这是定理4-6 (20)所描述的线性化系统，并且如果a的所有特征值都有负实数部分，则表达式(18)所描述的非线性系统是渐近稳定的。，如果定理4-7方程(20)中描述