第4章静定结构的位移计算

1、第4章静定结构的位移计算,4.1应用虚力原理求刚体体系的位移4.2结构位移计算的一般公式4.3荷载作用下的位移计算4.4图乘法4.5温度作用时的位移计算4.6互等定理,4-1应用虚力原理求刚体体系的位移,一、结构位移计算概述1.计算位移的目的：（1）结构的刚度验算；,在工程上，吊车梁允许的挠度1/600跨度；高层建筑的最大位移1/1000高度。最大层间位移1/800层高。,（2）为分析超静定结构打下基础。,2.产生位移的原因荷载作用；温度变化和材料胀缩；支座沉降和制造误差。,3.位移与变形由于上述三种因素均可使结构产生位移，但其内部不一定有变形。,以上都是绝对位移,以上都是相对位移,二.虚功原

2、理求位移-单位荷载法,虚功方程,设虚力状态,单位荷载其虚功正好等于拟求位移。,4-2结构位移计算的一般公式,一、局部变形时静定结构的位移计算,虚功方程：,例1、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对转角，试求A点在ii方向的位移。,例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对剪位移，试求A点在ii方向的位移Q。,B,A,A,例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移试求A点在方向的位移N。,由平衡条件：,虚功方程：,当截面B同时产生三种相对位移时，在ii方向所产生的位移，即是三者的叠加，有：,二、结构位移计算的一般公式,一根杆件各个微段变形引起的位移总和：,如果结构由多个杆件组成，则整个结构变

3、形引起某点的位移为：,若结构的支座还有位移，则总的位移为：,适用范围与特点：,2）形式上是虚功方程，实质是几何方程。,关于公式普遍性的讨论：,（1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。,（2）变形原因：荷载与非荷载。,（3）结构类型：各种杆件结构。,（4）材料种类：各种变形固体材料。,1）适于小变形，可用叠加原理。,三、广义位移的计算,求图a）结构A、B截面相对水平位移。,a),b),4-3荷载作用下的位移计算,研究对象：静定结构、线性弹性材料。,重点在于解决荷载作用下应变的表达式。,一、计算步骤,（1）在荷载作用下建立的方程，可经由荷载内力应力应变过程推导应变表达式。,（2）由上面的内力

4、计算应变，其表达式由材料力学知,k-为截面形状系数,(3)荷载作用下的位移计算公式,二、各类结构的位移计算公式,（1）梁与刚架,（2）桁架,（3）组合结构,例1：已知图示梁的E、G,求A点的竖向位移。,解：构造虚设单位力状态.,对于细长杆,剪切变形对位移的贡献与弯曲变形相比可略去不计.,位移方向是如何确定的?,求DV,5P,8P,1,3P,-4.74,-4.42,-0.95,4.5,1.5,3.0,-1.58,-1.58,0,0,1.5,1.5,例1、计算屋架顶点的竖向位移。,AD,DC,DE,CE,AE,EG,例:1)求A点水平位移,所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位广义力在所求广义

5、位移上做功.,三.单位力状态的确定,2)求A截面转角,3)求AB两点相对水平位移,4)求AB两截面相对转角,试确定指定广义位移对应的单位广义力。,P=1,试确定指定广义位移对应的单位广义力。,试确定指定广义位移对应的单位广义力。,P=1,试确定指定广义位移对应的单位广义力。,4-4图乘法,刚架与梁的位移计算公式为：,在杆件数量多、荷载复杂的情况下,用积分法计算位移不方便.下面介绍计算位移的图乘法.,表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图至少有一个是直线。竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。面积与竖标y0在杆的同侧，y0取正号，否则

6、取负号。,几种常见图形的面积和形心的位置：,=hl/2,二次抛物线=2hl/3,二次抛物线=hl/3,二次抛物线=2hl/3,三次抛物线=hl/4,n次抛物线=hl/(n+1),顶点,顶点,顶点,顶点,顶点,图,图,例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角,解:,应用图乘法时的几个具体问题如果两个图形都是直线图形，则y0可取自任一个图形；如果直线图形是由几段直线组成的折线，则应分段图乘；当同一杆件的各杆段EI不相等时，也应分段图乘；如果图形复杂，需分解为简单图形。,例：求图示梁中点的挠度。,3a/4,例：求图示梁C点的挠度。,？,？,非标准图形乘直线形a）直线形乘直线形,各种直线形乘直线

7、形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。,=111,b)非标准抛物线乘直线形,P=1,l,y3,4-5温度作用时的位移计算,温度改变对静定结构不产生内力，变形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。,图示刚架的外侧温度升高t1，内侧温度升高t2，且设温度沿截面高度方向线性分布。,设温度沿杆件截面厚度为线性分布，杆轴温度与上、下边缘的温差为：,线膨胀系数,t0,上式中的正、负号：,温度t0以升高为正，轴力以拉为正；,若和使杆件向同一方向弯曲其乘积为正。,例9-11求图示刚架C点的竖向位移。各杆截面为矩形。,1,a,4-6互等定理,应用条件：1)应力与应变成正比；2)变形是微小的。即:线性小变形体系。,FN1M1FQ1,FN2M2FQ2,1.功的互等定理,+,+,ds,GA,FQ1,kFQ2,EI,M,M,EA,FN1,FN2,1,2,+,+,=,ds,GA,FQ2,kFQ1,EI,M,M,EA,FN2,FN1,2,1,功的互等定理：在任一线性变形体系中，状态的外力在状态的位移上作的功W12等于状态的外力在状态的位移上作的功W21。即：W12=W21,2.位移互等定理:,在1点施加单位力所引起的点的位移等于在2点施加单位力所引起的1点的位移。-位移互等定理,3.反力互等定理:,由功的互等定理有：,支