求矩阵的特征值与特征向量

1、第5章 求矩阵的特征值 与特征向量,5.1 幂法 5.2 逆幂法 5.3 求实对称阵特征值的对分法,概述,矩阵的特征值与特征向量 特征值： 特征向量 特征多项式：,5.1 幂法,5.1.1 幂法的基本思想 1. 根据（特征值r、特征向量x、方阵A）满足关系式：Ax=rx，故任取非零初始向量x(0)，作迭代序列： 2.再根据k增大时 x(k)各分量的变化规律，求出矩阵A的按模最大特征值与特征向量。,5.1 幂法,例1 对A作迭代计算(P80页),考察迭代序列x(k)的相邻向量的相应分量比值，可见：随k的增大而趋向于一个固定值。 (该值) = (矩阵A的按模最大特征值),5.1.2 幂法的计算公式

2、,幂法的要求： 矩阵A有完备的特征向量系，即A有n个线性无关的特征向量。 幂法的功能：计算按模最大特征值和特征向量,特征值：,特征向量：,5.1.2 幂法的计算公式,幂法计算公式的推导：,取初始非零向量x(0)，且：,迭代公式：,则有：,5.1.2 幂法的计算公式,分三种情况讨论：,(1) 为实根， 且,(2) 为实根， 且 及,5.1.2 幂法的计算公式,(3) 复根,用最小二乘法求解方程组：,再解一元二次方程：,5.1.2 小结,幂法的一般计算步骤： 给出初值x(0)，按迭代公式计算：x(k+1)=Ax(k) 根据迭代序列各分量的变化情况求根： 若各分量单调变化（相邻两个向量的各分量之比趋

3、向于常数c），则按情况一处理。 若奇序列、偶序列的各个分量比趋于常数，则按情况二处理。 若序列的各分量表现为其它情况，则结束。,5.1.3 幂法的实际计算公式,迭代条件：,计算结果：,5.1.4 幂法的计算步骤、实例,幂法的收敛速度取决于比值: 称其为收敛因子，比值越小，收敛越快。 计算实例：P85页 例2,5.2 逆幂法,作用：求矩阵A(A-1)的按模最小(大)特征值和特征向量 基本思想： 1.设A为非奇异方阵，特征值和特征向量为： 2.则A-1的特征值和特征向量为： 3.可见， A-1的按模最大特征值的倒数即为矩阵A的按模最小特征值。,5.2.1 逆幂法的计算公式,方法：作迭代 或 反迭代

4、 实际计算公式： (1)先对A作LU分解；（ LU分解的要点: ?） (2)再解方程组：,5.2.1 逆幂法的计算公式,5.2.1 逆幂法的计算公式,计算结果：,迭代条件:,5.2.2-3 逆幂法的计算步骤/实例,P87页 例1,求：在值 附近的A的特征值和特征向量？,5.2.4 用逆幂法求 附近的特征值,问题：已知方阵A、给定值,分析：不妨设 附近的特征值为 ，则必有,从而，原问题变成求“按模最小特征值”。,解法： (1) 构造矩阵,(2) 用逆幂法求B的按模最小特征值,5.2.5 用逆幂法求 附近的特征值的计算实例,P88页 例2 本例的启示： 本例所用的思想可以称为“原点平移法”。 矩阵

5、A与矩阵(A-r0I)的特征值有以下关系： 若ri 是矩阵A的特征值，则 (ri-r0) 就是(A-r0I)的特征值，而且相应的特征向量不变。 适当选取r0，使|r1-r0|ri-r0|，这样用幂法计算矩阵(A-r0I)的特征值收敛速度更快。,5.3 求实对称阵特征值的对分法,5.3.1 求实对称三对角阵特征值的对分法,1.实对称三对角阵的Sturm序列 设实对称三对角阵C，Sturm序列就是 的i阶主子式序列，即C的特征多项式序列。,5.3 求实对称阵特征值的对分法,Sturm序列的一些性质： (1) 仅有实根 (2) 相邻项无公共零点 (3) pi(x)=0，则 pi-1(x)pi+1(x

6、)左邻域同号，右邻域同号,5.3 求实对称阵特征值的对分法,2. Sturm序列在某点的连号数,(1) 计算在点 处Sturm序列的全部值；,(2) 相邻两项若同号，则有1个连号数；否则，无连号数。 注：pi(x)=0=+0（即0的符号为正）,(3) 按顺序数完连号数，则得到Sturm序列的总连号数，记为:,5.3 求实对称阵特征值的对分法,3. Gerschgorin定理(圆盘定理),(1)Gerschgorin盘(圆盘) 对n阶方阵A，称Di为方阵A的第i个圆盘，其中:,(2)Gerschgorin定理(圆盘定理) 对n阶方阵A，A的全部特征值均在区域D内,其中:,5.3 求实对称阵特征值

7、的对分法,(3)推论1：方阵A的最小和最大特征值满足,(4)推论2：对实对称三对角阵C，其特征值必属于区间m,M，其中：,5.3 求实对称阵特征值的对分法,4. 求实对称三对角阵C特征值的对分法,(1)求三对角阵C在区间a,b上特征值的个数,定理2 方阵C在区间a,+内特征值的个数等于其Sturm序列在点a处的总连号数。,* 方阵C在区间a,b内特征值的个数 =(点a处的总连号数) (点b处的总连号数),P91页 例1,5.3 求实对称阵特征值的对分法,(2)求三对角阵C的全部特征值（对分法）, 求三对角阵C的Sturm序列; 根据Gerschgorin定理确定矩阵C全部特征值的上界M和下界m; 对区间m,M对分，取中点a=(m+M)/2，计算点a处的连号数，同时区间被对分; 对所得的各子区间继续对分和计算中点处的连号数，直到每个小区间至多有一个特征值; 继续对有根区间对分，可求出满足精度的特征值。 P92页 例2,5.3.2 实对称阵的三对角化,1. Householder阵的定义,2. H阵的几何意义 Hx是x关于超平面H的像 (H反射/镜面反射),5.3.2 实对称阵的三对角化,3. 实对称阵A的三对角化 (作递推计算),(1) 令A1=A，取向量b1=(A1的第1列),(2) 构造向量u1，使,注：sgn(br+1)=1,-1，且与br+1反号,r=1: 作