辽宁省辽阳县集美学校2020学年高一数学下学期期中试题（通用）

1、辽宁省辽阳县集美学校2020学年高一数学下学期期中试题一、单选题1某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二 人、高三人中，抽取人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为，那么高三被抽取的人数为（ ）A B C D【答案】B【解析】根据题意抽取比例为故总人数为所以高三被抽取的人数为2设D为ABC所在平面内一点，BC=3CD，若AD=AB+AC，则-=（）A-53B-43CD【答案】A【解析】【分析】本题可知B、C、D三点在同一直线上，然后结合图形和向量运算找出、的值【详解】解：由，可知，B、C、D三点在同一直线上，图形如下：根据题意及图形，可得：AD=AC+CD=AC+13ACAB

2、 =13AB+43AC -=故选：A【点睛】本题主要考查向量共线的知识以及向量的数乘和线性运算，属基础题3从1，2，3，4，5中任意选取3个不同的数，则取出的3个数能够作为三角形的三边边长的概率是（ ）A310 B C D【答案】A【解析】【分析】首先列举出所有可能的基本事件，再找到满足取出的3个数可作为三角形的三边边长的基本事件，最后利用古典概型概率公式计算即可.【详解】从1,2,3,4,5中任取3 个不同的数的基本事件有1,2,3,1,2,4,1,2,5,1,3,4，1,3,5,1,4,5,2,3,4,2,3,5,2,4,5,3,4,5共10 个,取出的3个数可作为三角形的三边边长，根据两

3、边之和大于第三边求得滿足条件的基本事件有2,3,4,2,4,5,3,4,5共3个，故取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率P=310，故选A.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先(A1,B1)，(A1,B2). (A1,Bn)，再(A2,B1)，(A2,B2).(A2,Bn)依次(A3,B1) (A3,B2).(A3,Bn) 这样才能避免

4、多写、漏写现象的发生.4把黑、白、红、蓝4张纸牌随机分组甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得蓝牌”与事件“乙分得蓝牌”是 （ ）A不可能事件 B对立事件 C互斥但不对立事件 D以上都不对【答案】C【解析】 根据题意，把黑、白、红、蓝4张纸牌随机分组甲、乙、丙、丁个人，每人分得一张，事件“甲分得蓝牌”与事件“乙分得蓝牌”不会同时发生，则两者是互斥事件， 但除了“甲分得蓝牌”与事件“乙分得蓝牌”之外，还有“丙分得蓝牌”和“丁分得蓝牌”，所以两者不是对立的， 所以事件“甲分得蓝牌”与事件“乙分得蓝牌”是互斥而不对立的事件，故选C.5若sintan0，且costan0，则角是A第一象限角B

5、第二象限角C第三象限角D第四象限角【答案】C【解析】分析：由任意角三角函数的符号与象限的对应直接得出即可详解：由sinatana0可得角是二、三象限，由costan0得角是四、三象限角，可得角a是第三象限角故选：C点睛：本题考查三角函数值的符号，属于基本概念考查题6若alog12tan70，blog12sin25，clog12cos25，则()Aabc BbcaCcba Dacb【答案】D【解析】【分析】利用三角函数诱导公式比较三个真数的大小，再根据对数的增减性比较大小.【详解】0sin25sin65cos251tan45log12cos25log12tan70即ac0,0,2的部分图像如图所

6、示，点0,32,3,0,73,0在图象上，若x1,x2 3,73,x1x2，且fx1=fx2，则fx1+x2=（ ）A3BC0D32【答案】D【解析】【分析】由三角函数的图像的性质可知x1+x2=83，根据图像上给出的点，求出，和A，再代入x1+x2=83，可得到答案.【详解】函数fx=Asinx+的图像与x轴相邻的交点为3，0，73，0，可得一条对称轴为x=3+732=43，周期T=2733=4，2=4，即=12.代入43，A得A=Asin12x+，即sin23+=12 =6，即fx=Asin12x6代入0,32得，32=Asin6,A=3fx=3sin12x6，fx1=fx2，且x1,x2

7、3,73,x1x2x1+x2=83代入得到fx1+x2=3sin12836=3sin76=32【点睛】本题考查由函数fx=Asinx+部分图像求解析式，正弦型函数图像的性质，考查内容比较综合，属于中档题.8函数f(x)=2x-sinx在区间-10,10上的零点的个数是A10B20C30D40【答案】A【解析】【分析】画出函数y=2x和y=sinx的图象，通过图象即得结果【详解】画出图象函数y=2x和y=sinx的图象，根据图象可得函数f(x)=2x-sinx在区间-10,10上的零点的个数是10，故选：A【点睛】本题考查了函数的零点问题，考查数形结合思想，转化思想，是一道中档题9已知函数f(x

8、)=x+2sin(x12), 则f(12019)+f(22019)+f(20182019)的值等于（ ）A2019B2018C20192D1009【答案】D【解析】【分析】由题意，化简函数f(x)+f(1x)=1，再利用倒序相加法，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数f(x)+f(1x)=x+2sin(x12)+(1x)+2sin(1x12)=1+2sin(x12)+2sin(12x)=1+2sin(x12)+2sin(x12)=1+2sin(x12)2sin(x12)=1设S=f(12019)+f(22019)+f(20182019)，则S=f(20182019)+f(20172019)

9、+f(12019)，所以2S=f(12019)+f(20182019)+f(22019)+f(20182019)+f(20182019)+f(12019)=2018， 所以S=1009，故选D.【点睛】本题主要考查了函数的化简求值，以及利用倒序相加求和，其中解答中化简函数f(x)+f(1x)=1，再利用倒序相加法求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10已知D，E是ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若AP=xAB+yAC，则xy的取值范围是A19,49B19,14C29,12D29,14【答案】D【解析】【分析】利用已知条件推出x+y1，然后利用x，y的范围，利用基本

10、不等式求解xy的最值【详解】解：D，E是ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若AP=xAB+yAC，可得x+y=1，x，y13,23，则xy(x+y2)2=14，当且仅当x=y=12时取等号，并且xy=x(1-x)=x-x2，函数的开口向下，对称轴为：x=12，当x=13或x=23时，取最小值，xy的最小值为：则xy的取值范围是：29,14.故选：D【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力11已知x(0，关于x的方程2sinx+3=a有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为()A-3，2B3，2C(3，2D(3，2)【答案】D【解析】【分析】由题意可得

11、3x+343，函数y=2sin(x+3)的图象和直线y=a有2个交点，故得32sin(x+3)1，从而得到3a2【详解】x(0， 3x+343因为关于x的方程2sin(x+3)=a有两个不同的实数解，所以函数y=2sin(x+3)的图象和直线y=a有2个交点，可得32sin(x+3)1， 3a0)同时满足下列三个条件：T=；y=f(x-3)是奇函数；f(0)f(6).若f(x)在0,t)上没有最小值，则实数的取值范围是（ ）A(0,512B(0,56C(512,1112D(56,1112【答案】D【解析】【分析】先由T=，求得=2，由y=f(x-3)是奇函数，求得-3=k,kz，再利用f(0)

12、f(6)求得=43，然后再f(x)在0,t)上没有最小值，利用函数图像2t-3(43,32求得结果即可.【详解】由t=，可得2=2 因为y=f(x-3)是奇函数所以sin(2x+-3)是奇函数，即-3=k,kz 又因为f(0)f(6)，即sin(k+23)sin(k+) 所以k是奇数，取k=1，此时=43所以函数f(x)=sin(2x+53)=sin(2x-3) 因为f(x)在0,t)上没有最小值，此时2x-3-3,2t-3) 所以此时2t-3(43,32 解得t(56,1112.故选D.【点睛】本题考查了三角函数的综合问题，利用条件求得函数的解析式是解题的关键，属于较难题.二、填空题13在抽

13、查某产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干个组，a，b）是其中一组，抽查出的个体数在该组上的频率为0.3，该组上的频率分布直方图的高度为0.06，则|ab|=_【答案】5【解析】【分析】由频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率，则组距等于频率除以高，即可求得答案.【详解】由频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率，则组距等于频率除以高，即|ab|等于0.30.06=5，故答案为5【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图中小矩形的高等于每一组的频率组距，它

14、们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.14已知f（x）2sin（2x-6）m在x0，上有两个不同的零点，则m的取值范围为_【答案】1，2)【解析】【分析】令t2x-6，由x0，可得t-6，56，由题意可得y2sint 和ym在-6，56上有两个不同的交点，从而求得m的取值范围【详解】令t2x-6，由x0，可得-62x-656，故 t-6，56由题意可得g（t）2sintm 在t-6，56上有两个不同的零点，故 y2sint 和ym在t-6，56上有两个不同的交点，如图所示：故 1m2，故答案为：1，2）【点睛】本题考查正弦函数

15、的图象，函数的零点的判定方法，体现了数形结合及转化的数学思想，画出图形是解题的关键15已知点O为ABC内一点，OA+2OB+3OC=0，则SABCSAOC=_。【答案】3【解析】【分析】可作出图形，取BC的中点D，AC的中点E，并连接OA，OB，OC，OD，OE，根据条件可以得到OE=-2OD，从而得出DE为ABC的中位线，这样即可得到AB3OE，从而便有SABCSAOC=3【详解】解：如图，取BC中点D，AC中点E，连接OA，OB，OC，OD，OE；OA+2OB+3OC=(OA+OC)+2(OB+OC) =2OE+4OD =0 OE=-2OD；D，O，E三点共线，即DE为ABC的中位线；DE

16、=32OE，AB2DE；AB3OE；SABCSAOC=3故答案为：3【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，以及向量的数乘运算，向量数乘的几何意义，三角形中位线的定义及性质，三角形的面积公式16已知样本：x1、x2、x3、x4、x5 N，该样本的平均数为7，样本的方差为4，且样本的数据互不相同，则样本数据中的最大值是_.【答案】10【解析】【分析】：利用图像先推算出最大数为11，再根据样本的数据互不相同，排除最大数为11，再推算最大数为10时，存在这样的5个数，最后得出答案。【详解】：由题意，x1、x2、x3、x4、x5 N，该样本的平均数为7，则15(x1+x2+x3+x

17、4+x5)=7。样本的方差为4，则15(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2=4(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+x5-7)2=20.如图，表示1,2,3,4,5个点分别位于7的上下两侧，那么(xi-7)220,i=1,2,3,4,5，所以xi11，设x3=11，那么(x1-7)2+(x2-7)2+(x4-7)2+x5-7)2=4，必然存在样本数据相等，不满足题意。设x3=10，那么(x1-7)2+(x2-7)2+(x4-7)2+x5-7)2=11，不妨设x1=4，x2=6，x4=7，x5=8，且满足15(x1+x2+x3+

18、x4+x5)=7。所以在最大值为10时存在5个数都为整数满足题意。 【点睛】：本题主要考查了平均数的求法以及方差的求法，可以把平均数看作中位数，依次推导数字的大小，题目要求每个数都为整数，且各不相同，所以解题时可以采用排除法从大到小分类讨论。 三、解答题17（1）化简： ； （2）已知，求的值.【答案】（1）-1（2）-3【解析】试题分析：（1）根号下是，开方后注意，而 ，从而所求值为. （2）利用诱导公式原式可以化简为，再分子分母同时除以，就可以得到一个关于的分式，代入其值就可以得到所求值为. 解析：（1） . （2）.18已知函数f（x）=Asin（x+），xR，且f（）=.（1）求A的值

19、；（2）若f（）+f（）=，（0，），求f（）.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）将f（）=代入函数式可得到A角大小；（2）将f（）+f（）=，代入可得到cos=，将f（）.代入函数式可求得其值试题解析：（1）函数f（x）=Asin（x+），xR，且f（）=.Asin（+）=Asin=A=，A=.（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），f（）+f（）=sin（+）+sin（+）=2sincos=cos=，cos=，再由 （0，），可得sin=.f（）=sin（+）=sin（）=sin=.考点：三角函数求值19某学校为了解其下属后勤处的服务情况，随机访问了50名教职工，根据这50

20、名教职工对后勤处的评分情况，绘制频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为40,50)，50,60)，80,90)，90,100.（1）估计该学校的教职工对后勤处评分的中位数（结果保留到小数点后一位）；（2）从评分在40,60)的受访教职工中，随机抽取2人，求此2人中至少有1人对后勤处评分在50,60)内的概率.【答案】（1）该学校的教职工对后勤处评分的中位数约为76.4； （2）910.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图，知(0.004+a+0.018+0.0222+0.028)10=1,求出a,设中位数为x0，0.004+0.006+0.02210+0.028x0-70=0.5，求

21、出x0；（2）受访教职工评分在40,50内的人数为0.0041050=2（人），受访教职工评分在50,60内的人数为0.0061050=3（人）.设受访教职工评分在40,50内的两人分别为a1,a2，在50,60内的三人为b1,b2,b3，利用列举法能求出从评分在40，60）的受访职工中，随机抽取2人，至少有一人评分在50，60）的概率【详解】（1）由频率分布直方图，可知(0.004+a+0.018+0.0222+0.028)10=1，解得a=0.006.设该学校的教职工对后勤处评分的中位数为x0，有：(0.004+0.006+0.022)10+0.028x0-70=0.5，解得：x0 76.

22、4（分）故该学校的教职工对后勤处评分的中位数约为76.4（2）由频率分布直方图可知，受访教职工评分在40,50内的人数为0.0041050=2（人），受访教职工评分在50,60内的人数为0.0061050=3（人）.设受访教职工评分在40,50内的两人分别为a1,a2，在50,60内的三人为b1,b2,b3，则从评分在40,60的受访教职工中随机抽取2人，其基本事件有(a1,a2)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,b3)，(b1,b2)，(b1,b3)，(b2,b3)，共10种，其中2人评分至少有一人在50,60内的基本事件有9种，故2人

23、评分至少有1人在50,60内的概率为910.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用20弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间t（s）内离开平衡位置（静止时的位置）的距离h（cm）由下面的函数关系式表示：h=3sin(2t+4) （1）求小球开始振动的位置；（2）求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置；（3）经过多长时间小球往返振动一次？ （4）每秒内小球能往返振动多少次？【答案】答案见解析.【解析】（1）令t=0，得h=3sin4=322，所以开始振动的位置为（0，322）（2）由题意知，当h=3时，2t+4=2+2k,kZ，

24、t=8+k,kZ，当k=0时，t=8，小球第一次上升到最高点，即最高点为(8,3)；当h=3时，2t+4=32+2k,kZ，t=58+k,kZ，当k=0时，t=58，即最低点为(58,-3) （3）T=22=3.14，即每经过大约3.14 s小球往返振动一次 （4）f=1T0.318，即每秒内小球往返振动约0.318次21某商店计划每天购进某商品若干件,商店每销售1件该商品可获利50元.若供大于求，剩余商品全部退回，则每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元.（）若商店一天购进该商品10件,求当天的利润y（单位:元）关于当天需求量n（单位:件,nN）的函数解析式；（）商店记录了50天该商品的日需求量（单位:件）,整理得下表:日需求量n89101112频数101015105假设该店在这50天内每天购进10件该商品,求这50天的日利润（单位:元）的平均数；若该店一天购进10件该商品,记“当天的利润在区间”为事件A，求P（A）的估计值.【答案】（1） ；（2） 0.7【解析】试题分析：（）