湖北省华中师范大学第一附中2020年高三数学模拟（理3）（通用）

1、湖北省华中师范大学第一附中2020年高三模拟数学试题（理3）参考公式：如果事件A、B互斥，那么： 如果事件A、B相互独立，那么： 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 球是表面积公式： 球的体积公式： 其中R表示球的半径一、选择题（共10小题，每小题5分，合计50分）1已知集合Ax|x25x60，集合Bx|2x1|3，则“aA”是“aB”的（ ）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件2复数i在映射f下的象为zi，则12i的原象为（ ）A12iB2iC2Di23已知函数f(x)在R上不连续，则实数a的取值范围为（ ）ABCRD

2、4设m、n是二条不同的直线；、是三个不同的平面，给出下列几个命题：若m，n是异面直线，m，m，n，n，则。若，则。若，m，nm，则n。若m，n且，则mn。其中正确的命题的个数为（ ）个A1B2C3D45函数yasinxbcosx的一条对称轴方程为x，则直线：axbyc0到直线：x2y20的角为（ ）AarctanBarctan3Carctan(3)Darctan36给定函数yf(x)（xR）及函数y(x)（xR），则关于函数f(x)及(x)的下列论断中都正确的命题序号组合是（ ）曲线yf(x)与y(x)的最高点的纵坐标相等曲线yf(x)和y(x)与x轴之间图形的面积相等以曲线y(x)为概率密度

3、曲线的总体的方差与以曲线yf(x)为概率密度曲线的总体的方差相等以曲线y(x)为概率密率曲线的总体的期望与以曲线yf(x)为概率密度曲线的总体的期望相等ABCD7点P是球O的直径AB上的一个动点，令PAx，过P点且与直径AB垂直的截面面积记为y，（如图所示），则yf(x)的图象大致是（ ）OyxOyxOyxOyxBPAA BC D8设xR，函数f(x)cos2(x)，已知f(x)的最小正周期为，且f()，则与的值分别为（ ）A2， B2， C1，=D1，9已知f(x)=，函数y=u(x)的图象与y=f-1(x-1)的图象关于直线y=x轴对称，则u(8)=（ ）ABCD D1C1CBAA1DB1

4、P10在棱长为2的正方体AC1中，正方形BCC1B1所在平面内的动点P到直线D1C1，DC的距离之和为。则（ ）A有最大值1，最小值0B有最大值，最小值0C有最大值7，最小值D有最大值，最小值0二、填空题（共5小题，每小题5分，共计25分）11等差数列an中前3项和为21，前6项之和为24，则数列|an|的前9项和等于。12在正四体的顶点及各面的中心共8个点中，以其中四个为顶点，可构成三棱锥的个数为。13若f(a)(3m1)ab2m，当m0，1时，f(a)1恒成立，则（ab）的最大值为。14若则在(x24x4)n的展开式中含x6项的系数为。15若函数yf(x)（xD）同时满足以下条件：它在定义

5、域D上是单调函数；存在区间a，bD，使得f(x)在区间a，b上值域是a，b，我们将这样的函数称为闭函数。（1）对于函数y=f(x)=lg(x2-3x+2)(x3、5)，则y=f(x)（填“是”或者“不是”)闭函数。（2）对于函数yk，如果它是一个闭函数，则常数k的取值范围是。三、解答题（共6小题，合计75分。每题必须写出必要的解答过程）16（本小题12分）已知向量(1cosB，sinB)且与向量=（0，1）所成的角为，其中A、B、C为ABC的三个内角。（1）求角B的大小；（2）若AC，求ABC周长的最大值。17（本小题12分）设数列an对所有正整数n都满足：a12a222a32n1an85n（

6、1）证明an不是等比数列。（2）求（Sn为an的前n项和）。18（本小题12分）正四棱锥PABCD中，侧面与底面成60角，O为AC、BD的交点。（1）求二面角OPBA的大小。（2）若E为PB的中点，试在侧面PAD上寻找一点F，使EF侧面PBC，并确定F点的位置。（要求必要的证明）DPABCO19（本小题12分）袋中有形状大小完全相同的8个小球，其中红球5个，白球3个。某人逐个从袋中取球，第一次取出一个小球，记下颜色后放回袋中；第二次取出一个小球，记下颜色后，不放回袋中，第三次取出一个小球，记下颜色后，放回袋中，第四次取出一个小球，记下颜色后不放回袋中，如此进行下去，直到摸完球为止。（1）求第四

7、次恰好摸到红球的概率；（2）记为前三次摸到红球的个数，写出其分布列，并求其期望E。20（本小题13分）设动直线与定双曲线C：（ba0）相交于A、B两点，且OAOB。（O为坐标原点）（1）证明：直线恒与定圆L相切（并求L的方程）。（2）若过双曲线右焦点，且斜率为，|AB|=4，求双曲线方程。21（本小题14分）已知函数f(x)ax3x22xc，过点，且在（2，1）内单调递减，在1，上单调递增。（1）证明sin=1，并求f(x)的解析式。（2）若对于任意的x1，x2m，m3（m0），不等式|f(x1)f(x2)|恒成立。试问这样的m是否存在，若存在，请求出m的范围，若不存在，说明理由。（3）已知数

8、列an中，a1，an1f(an)，求证：an18lnan（nN*）。 理科三参考答案一、选择题：1A2C3A4B5D6B7B8C9B 10A二、填空题：11411260131411215不是 三、解答题：16解：法（1）：=(1+cosB，sinB)与=（0，1）所成的角为与向量=（1，0）所成的角为（2分），即（4分）而B（0，），B=。（6分）令AB=c，BC=a，AC=bB=，b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=，a，c0。a2+c2，ac（当且仅当a=c时等号成立）12=a2+c2-ac（10分）(a+c)248，a+c，a+b+c+=（当且仅当a=c时取等号）故ABC

9、的周长的最大值为。（12分）法2：（1）cos=cos，（2分）即2cos2B+cosB-1=0，cosB=或cosB=-1（舍），（4分）而B（0，），B=（6分）（2）令AB=c，BC=a，AC=b，ABC的周长为，则=a+c+而a=b，c=b=（10分）A（0，），A-，当且仅当A=时，。（12分）17证：（1）令n=1，则a1=3；n=2，则a2=；n=3，则a3=。显然，an不等比。（4分）（2）由a1+2a2+2n-1an=8-5n（n1）得：a1+2a2+2n-2an-1=13-5n（n2） -得：2n-1an=-5an=（n2）an=（9分）易知（a2+a3+an）=-5Sn=

10、 a1+(a2+an)=a1+a2+an=3-5=-2（12分）18解：法1：（1）在平面PAB内过A点作AHPB，连HC，由题设易知PBAPBC，CHPB，AHC即为A-PB-C的平面角。（2分）而由正四棱锥的性质知AHC即为所求角的二倍。（3分）DAOBHMCPFKEN取BC的中点M，连PM及OM，则PMO=60，PO=OM令底面边长为a，PO=，PB=a，CH=a，AC=a，cosAHC=-记O-PB-A的平面角为，cos=（5分）O-PB-A的大小为arccos。（6分）（2）F在AD上，且。（7分）取AD的中点N，连PN、NM，易知PNM为正三角形，而BC平面PMN平面PBC平面PM

11、N。（9分）取PM之中点K。则NKPM，由面面垂直之性质定理知NK平面PBC，又取AN之中点F连FE，EK。DAOByMCZxPEK BM=AN=AF，四边形FEKN为平行四边形，FENK，FE平面PBC，故FE即为所求，从而F点在AD上，且。（12分）法2：连OP，取BC之中点M，连OM、PM，则PMBC，OMBC，PMO=60如图所示建立直角坐示系o-xyz，设正四棱锥底面边长为a，则PO=。P，B，A，（2分）设平面OPB的法向量=（x、y、z），则得：令x=1，y=-1，z=0，=（1，-1，0）（3分）同理可求平面PAB的法向量（4分），二面角O-PB-A的大小为arccos。（6分

12、）（2）在（1）的坐标系下C，D，E，=（-a，0，0），=（-a，0，0），设=（-a，0，0）+= ，F（）（8分）EF平面PBC，（10分） 即，F在线段AD上，且。（12分）19解：（1）第一和第三次取球对第四次无影响，计第四次摸红球为事件A第二次摸红球，则第四次摸球时袋中有4红3白，摸红球概率为（2分）第二次摸白球，则第四次摸球时袋中有5红2白，摸红球概率为（3分）P(A)=，即第四次恰好摸到红球的概率为。（6分）（注：无文字说明扣一分）（2）由题设可知的所有可能取值为：=0，1，2，3。P（=0）=；P（=1）=；P（=2）=；P（=3）=。故随机变量的分布列为：012（10分）3

13、PE=（个），故E=（个）（12分）20（1）解：证法一：设OA的倾斜角为，将其参数方程（t为参数）代入双曲线方程，得故：（2分）同理：，则又（d为直线与O的距离）d=为定值，即恒与定圆L：x2+y2=相切。（5分）证法2：设：px+qy=1，（p，q不同时为零），则A、B坐标满足方程设，得（2分）由OAOB知：t1t2=-1，p2+q2=。于是原点到直线的距离为为定值。故恒与定圆L：相切。（5分）（2）解：直线方程为y=(x-c)，其中c=联立直线与双曲线方程消去y得：（7分）设A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）由得x1+x2=，x1x2=而A、B又在直线上y1y2=，y1+y

14、2=（9分）因OAOB，有x1x2+y1y2=0，解得b2=3a2设AB中点为M，则M，又|OM|=|AB|=2，即(x1+x2)2+(y1+y2)2=16（10分）而x1+x2=-c，y1+y2=-将其代入上式得：，c2=4，即得a2=1，b2=3，故所求双曲线方程为x2-。（13分）21解：（1）(x)=3ax2+sinx-2由题设可知：即sin=1。（2分）从而a=，f(x)=，而又由f(1)=得，c=f(x)=即为所求。（4分）（2）(x)=x2+x-2=(x+2)(x-1)易知f(x)在（-，-2）及（1，+）上均为增函数，在（-2，1）上为减函数。（i）当m1时，f(x)在m，m+

15、3上递增。故f(x)max=f(m+3)，f(x)min=f(m)由f(m+3)-f(m)=(m+3)3+(m+3)2-2(m+3)-=3m2+12m+得-5m1。这与条件矛盾故舍。（6分）（ii）当0m1时，f(x)在m，1上递减，在1，m+3上递增。f(x)min=f(1)，f(x)max=f(m)，f(m+3)max又f(m+3)-f(m)=3m2+12m+=3(m+2)2-0（0m1），f(x)max=f(m+3)|f(x1)-f(x2)| f(x)max-f(x)min=f(m+3)-f(1) f(4)-f(1)=恒成立故当0m1原式恒成立。（8分）综上：存在m且m0，1合乎题意。（

16、9分）（3）a1(0，1，a2，故a22假设n=k（k2，kN*）时，ak2。则ak+1=f(ak)f(2)=82故对于一切n（n2，nN*）均有an2成立。（11分）令g(x)=得=当x（0，2）时(x)0，g(x)在x2，+时为增函数。而g(2)=8-8ln20，即当x2，+时，g(x)g(2)0恒成立。g(an)0，（n2）也恒成立。即：an+18lnan（n2）恒成立。而当n=1时，a2=8，而8lna10，a28lna1显然成立。综上：对一切nN*均有an+18lnan成立。（14分）续16 高考理科数学答题卡18 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各

17、题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效姓 名 贴条形码区考 号 1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的准考 证号、姓名，在规定的位置贴好条形码。2选择题必须使用2B铅笔填涂；解答题必须使用0.5毫米黑色的签字笔或黑色墨水 钢笔，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在 草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。注意事项填涂样例正确填涂错误填涂缺考考生，由监考员贴条形码，并用2B铅笔填涂右图的缺考标记考生禁填 17一、选择题1 A B C D 4 A B C D 7 A B C D 9 A B C D 2 A B C D 5 A B C D 8 A B C D 10 A B C D 3 A B C D 6 A B C D 请在各题目的答题区域内作符号，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效。二、填空题11_12_13_14_15_三、解答题16请在各题目的答题区域