北京市第四中学2020届高三数学调研卷（二）文（含解析）（通用）

1、北京市第四中学2020届高三数学调研卷（二）文（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知全集，那么等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可求出集合B，然后进行补集、交集的运算即可【详解】由题得或， ，.故选：C【点睛】本题主要考查集合的补集和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.在复平面内，复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得：，据此确定复数所在的象限即可.【详解】由题意可得：，则复数z对应的点为，位于

2、第四象限.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知曲线，则下面结论正确的是（ ）A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3个单位长度，得到曲线C2B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3个单位长度，得到曲线C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【答案】C【解析】【分析】直接利用三角函数图像

3、的平移变换和伸缩变换的应用求出结果【详解】对于选项A, 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，所以选项A是错误的；对于选项B, 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线y=sin12(x+3)=sin(12x+6),所以选项B是错误的；对于选项C,曲线，把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，所以选项C是正确的；对于选项D, 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，所以选项D是错误的.故选：【点

4、睛】本题考查三角函数图像的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型4.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如图茎叶图：则下列结论中表述不正确的是( )A. 第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟B. 第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高C. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D. 无论哪种生产方

5、式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图统计数据、求平均数、求中位数，再根据结果作选择.【详解】第一种生产方式的工人中，完成生产任务所需要的时间至少80分钟有15人,占75%，第一种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为，第二种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为=74.7，所以第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高，这40名工人完成任务所需时间从小到大排列得中间两数为79，81，中位数为所以D错误.选D.【点睛】本题考查茎叶图，考查基本分析求解能力.属基本题.5.一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则

6、截去部分与剩余部分体积的比为A. 1：3B. 1：4C. 1：5D. 1：6【答案】A【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可【详解】解：由题意可知：几何体被平面ABCD平面分为上下两部分，设正方体的棱长为2，上部棱柱的体积为：；下部为：，截去部分与剩余部分体积的比为：13故选：A【点睛】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，棱柱的体积的求法，考查计算能力.6.若是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若,m，则；B. 若m/,nm，则n；C. 若，则；D. 若，则m/n【答案】D【解析】【分析】在A中，则m/或m；在B中，则n与相交

7、、平行或n；在中，则与相交或平行；由线面平行的性质定理得m/n【详解】由，是两条不同的直线，是两个不同的平面，知：在中，若，则或，故错误；在中，若，则与相交、平行或，故B错误；在C中，若，则与相交或平行，故C错误；在D中，若，=n，则由线面平行的性质定理得，故D正确故选：【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题7.九章算术中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随意投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）

8、A. ；B. ；C. 1215；D. 1320【答案】C【解析】【分析】求出内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而得出答案【详解】直角三角形的斜边长为52+122=13，设内切圆的半径为，则5r+12r=13，解得内切圆的面积为r2=4，豆子落在内切圆外部的概率P=1412512=1215，故选：C【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.若函数在其图象上存在不同的两点，其坐标满足条件：的最大值为0，则称为“柯西函数”，则下列函数：fx=x+1xx0；fx=lnx0x0,画出f(x)在x0时，图像若f(x)与直线y=kx有两个交点，则

9、必有k2，此时，所以（k1)x2=1,x=1k1（x0），此时仅有一个交点，所以不是柯西函数；fx=lnx0xe，曲线fx=lnx0xe过原点的切线为，又（e,1）不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B与O共线，所以函数fx=lnx0xe不是；fx=cosx；显然都是柯西函数.故选：B【点睛】本题主要考查柯西不等式，考查学生对新概念的理解和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分9.曲线在点0,f0处的切线方程为_【答案】xy+2=0【解析】【分析】本题首先可以求出曲线的导函数，然后将带入曲线中计算出纵坐标，再然后将带入

10、曲线的导函数中求出曲线在这一点处的切线斜率，最后根据点斜式方程即可得出结果。【详解】因为曲线，所以将带入曲线中可得f(0)=2，带入导函数中可得，所以曲线在点(0,2)处的切线方程为y2=x，即。【点睛】本题考查了曲线的某一点处的切线方程的求法，首先可以根据曲线方程计算出切点坐标，然后根据曲线的导函数计算出切线斜率，最后根据点斜式方程即可得出切线方程，考查计算能力，考查对导数的理解，是简单题。10.若变量满足则目标函数则目标函数的最大值为_【答案】28【解析】【分析】本题首先可以通过不等式组在平面直角坐标系上画出可行域，然后将目标函数化为直线方程的斜截式，通过数形结合即可得出最优解，最后带入目

11、标函数中即可得出结果。【详解】如图所示，根据不等式组x-y+20,x+y-20,3x-y-60,可画出可行域并求出可行域的三个顶点坐标为B(2,0)、C(0,2)、，然后画出函数的图像，通过对函数y=x4平移可知过点时目标函数取最大值，最大值为。【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题。11.将数列3，6，9，按照如下规律排列，记第m行的第个数为am,n，如，若，则_【答案】44【解析】【分析】本题首先可以通过数列来确定2020是

12、数列的第673项，然后通过计算前多少行共有多少个数来确定第673项在哪一行，最后即可得出的值并计算出结果。【详解】由题意可知，数列是一个首项为3、公差为3的等差数列，令数列为数列，则有，2020是数列的第673项，再由图可知：前1列共有1个数；前2列共有1+2=3个数；前3列共有1+2+3=6个数；前4列共有个数；前36列共有1+2+3+36=666个数；前37列共有个数；所以2020是第37列第7个数，故m+n=44。【点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查数列的某一项的项数以及数列的前项和，考查推理能力以及计算能力，考查学生从题意中获取信息并寻找规律的能力，是中档题。12.已知函数，实数满

13、足0mn，且，若在区间m2,n上的最大值是2，则的值为_【答案】【解析】【分析】利用函数的单调性可得|lnm2|2，或2，分别检验两种情况下的最大值是否为2，可得结论【详解】由题意得lnn，n，且0m10，（1）求数列an的通项公式；（2）若an0nN*，令bn=1anan+2，求数列bn的前n项和Tn【答案】(1) 或an=n.(2) Tn=342n+32(n+1)(n+2).【解析】分析：（1）an=Sn-Sn-1=an2+an2-an-12+an-12，即(an+an-1)(an-an-1-1)=0an=-an-1或an=an-1+1，an=(-1)n-1或an=n；(2) 由an0，可

14、得an=n，利用裂项相消法求和即可.详解： （1）当n=1时，2S1=a12+a1，则a1=1当n2时，an=Sn-Sn-1=an2+an2-an-12+an-12，即(an+an-1)(an-an-1-1)=0an=-an-1或an=an-1+1an=(-1)n-1或an=n（2）由an0，an=n，16.设函数f(x)=3sin(x+)(0,-22)的图象的一个对称中心为(12,0)，且图象上最高点与相邻最低点的距离为24+12(1)求和的值；(2)若f(2+12)=34(02)，求cos(+4)的值【答案】（1）=2，=-6；（2）30-28【解析】【分析】1根据图象上相邻两最高点与最低

15、点之间的距离由勾股定理列方程可得，再根据对称中心列式可解得；根据已知等式解得sin，再得，由和角的余弦公式可得【详解】解：1由图象上相邻两最高点与最低点之间的距离为24+12得()2+12=12+24=2函数fx=3sinx+的图象的一个对称中心为12,0212+=k,kZ-22=-62由知：fx=3sin2x-6 0b0)又点(3,12)在椭圆C上，所以3a2+14b2=1,a2-b2=3,，解得a2=4,b2=1,因此，椭圆C的方程为x24+y2=1因为圆O的直径为F1F2，所以其方程为x2+y2=3（2）设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x00,y00)，则x02+y02=3，所以直

16、线l的方程为y=-x0y0(x-x0)+y0，即y=-x0y0x+3y0由x24+y2=1,y=-x0y0x+3y0,，消去y，得(4x02+y02)x2-24x0x+36-4y02=0（*）因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以=(-24x0)2-4(4x02+y02)(36-4y02)=48y02(x02-2)=0因为x0,y00，所以x0=2,y0=1因此，点P的坐标为(2,1)因为三角形OAB的面积为267，所以12ABOP=267，从而AB=427设A(x1,y1),B(x2,y2)，由（*）得x1,2=24x048y02(x02-2)2(4x02+y02)，所以AB2=(x1-

17、x2)2+(y1-y2)2=(1+x02y02)48y02(x02-2)(4x02+y02)2因为x02+y02=3，所以AB2=16(x02-2)(x02+1)2=3249，即2x04-45x02+100=0，解得x02=52(x02=20舍去），则y02=12，因此P的坐标为(102,22)综上，直线l的方程为y=-5x+32点睛：直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用“设而不求”思想求解；二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，适用于已知直线与椭圆的一个交点的情况.20.已知函数g(x)=alnx，f(x)=x3+x2+bx.（1）若f(

18、x)在区间1,2上不是单调函数，求实数的范围；（2）若对任意x1,e，都有g(x)x2+(a+2)x恒成立，求实数的取值范围；（3）当b=0时，设F(x)=f(x),x1g(x),x1，对任意给定的正实数，曲线y=F(x)上是否存在两点，Q，使得POQ是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由.【答案】（1）16b5；（2）;（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到，若不是单调函数，则不恒成立；（2）含参数不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是分离参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单，常用到两个结论：（1），（2）.（3）与函数有关的探索问题：第一步：假设符合条件的结论存在；第二步：从假设出发，利用题中关系求解；第三步，确定符合要求的结论存在或不存在；第四步：给出明确结果；第五步：反思