新课标人教A版高中数学必修1知识点总结

1、高中数学必修高中数学必修 1 1 知识点总结知识点总结 第一章第一章集合与函数概念集合与函数概念 【1.1.11.1.1】集合的含义与表示】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N 或 N 表示正整数集， Z 表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a与集合M的关系是aM，或者aM，两者必居其一. （4）集合的表示法 自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. 描述法：x|x具有的性质，其中x为集合的代表元素. 图示法：用

2、数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集(). 【1.1.21.1.2】集合间的基本关系】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 名称记号意义 (1)AA A 中的任一元素都属 于 B (2) 性质示意图 A B 子集 （或 B A) AB A (3)若A B且B C，则AC (4)若A B且B A，则A B （1） A（A 为非空子集） A(B)A(B) B BA A 或 真子集 （或 BA） A B，且 B 中至 少有一元素不属于 A B BA A (2)若AB且BC，则 AC 集合 相

3、等 A 中的任一元素都属 A B 于 B， B 中的任一元素 都属于 A (1)AB (2)BA A(B)A(B) （7）已知集合 真子集. A 有n(n 1)个元素，则它有2n个子集，它有2n 1个真子集，它有2n1个非空子集，它有2n2非空 【1.1.31.1.3】集合的基本运算】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 名称记号意义性质示意图 交集 AI B x| x A,且 xB x| x A,或 xB 并集 AUB AI A A （2）AI （3）AI B A AI B B （1）AUA A （2）AU A （3）AUB A AUB B （1） 1AI (2AU( U A) U U A

4、) A AB B A A B B 补集 UA x| xU,且x A 痧 U (AI B) ( U A)U(? U B) 痧 U (AUB) ( U A)I (? U B) 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 不等式解集 | x| a(a 0)x| a x a | x| a(a 0) 把 x| x a 或x a axb 看 成 一 个 整 体 ， 化 成 | x| a ， |ax b| c,| ax b| c(c 0) | x| a(a 0)型不等式来求解 （2）一元二次不等式的解法 判别式 b24a

5、c 二次函数 0 0 0 y ax2bxc(a 0) 的图象 O O 一元二次方程 ax2bxc 0(a 0) 的根 bb24ac x 1,2 2a （其中x1 x 1 x 2 b 2a 无实根 x 2 ) x|x ax2bxc 0(a 0) 的解集 x| x x 1 或x x2 b 2a R ax2bxc 0(a 0) 的解集 x| x 1 x x 2 1.21.2函数及其表示函数及其表示 【1.2.11.2.1】函数的概念】函数的概念 （1）函数的概念 设 的数 记作 A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定 ）叫做集合 f (x)

6、和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B 以及A到B的对应法则 f f : A B A到B 的一个函数， 函数的三要素:定义域、值域和对应法则 只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 （2）区间的概念及表示法 设a,b是两个实数，且a b，满足a x b的实数x的集合叫做闭区间，记做a,b；满足a x b的实数 x 的集合叫做开区间，记做 (a,b)；满足a x b，或a x b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做 a,b)，(a,b；满足x a,x a,x b,x b的实数x的集合分别记做a,),(a,),(,b,(,b) 注意：注意：对于集合x|a x b与区间(

7、a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须 a b （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： f (x)是整式时，定义域是全体实数 f (x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数 f (x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合 对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1 y tan x 中，x k 2 (k Z) 零（负）指数幂的底数不能为零 若 f (x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集 对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知 等式a f (x)的定义域为a,

8、b，其复合函数fg(x)的定义域应由不 g(x) b 解出 对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论 由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义 （4）求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这 个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值 的常用方法： 观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值 配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函

9、数的值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值 判别式法：若函数y f (x)可以化成一个系数含有 y 的关于x的二次方程a(y)x2 b(y)xc(y) 0 ，则在 a(y) 0时，由于x, y为实数，故必须有 b2(y)4a(y)c(y) 0，从而确定函数的值域或最值 不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值 换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问 题 反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值 数形结合法：利用函数图象或几何方

10、法确定函数的值域或最值 函数的单调性法 【1.2.21.2.2】函数的表示法】函数的表示法 （5）函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图 象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系 （6）映射的概念 设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则 f ，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它 ）叫做集合A到B的映射，记作 f : A B 对应，那么这样的对应（包括集合 给定一个集合 A，B 以及A到B的对应法则 f A到集合B 的映射，且a A,bB如果元

11、素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的 象，元素a叫做元素b的原象 1.31.3函数的基本性质函数的基本性质 【1.3.11.3.1】单调性与最大（小）值】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性 定义及判定方法 函数的 性 质 定义图象判定方法 如果对于属于定义域 I 内某 个区间上的任意两个自变量 的值 x 1、x2,当 x x x x 时，都 1 12 2 有 f(xf(x )f(x)f(x ) )，那么就说 1 12 2 f(x)在这个区间上是增函数增函数 函数的 单调性 如果对于属于定义域 I 内某 个区间上的任意两个自变量 的值 x 1、x2，当 x x f(x ) )，那

12、么就说 1 12 2 f(x)在这个区间上是减函数减函数 （1）利用定义 y y y=f(X)y=f(X) f(x )f(x ) 1 （2）利用已知函数的 f(x )f(x ) 2 单调性 （3） 利用函数图象 （在 某个区间图 o o x x 1 x x 2 x x 象上升为增） （4）利用复合函数 （1）利用定义 y y f(x )f(x ) 1 y=f(X)y=f(X) f(x )f(x ) 2 （2）利用已知函数的 单调性 （3） 利用函数图象 （在 某个区间图 x x 2 o o x x 1 x x 象下降为减） （4）利用复合函数 在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数

13、的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数 减去一个增函数为减函数减去一个增函数为减函数 对于复合函数对于复合函数 y fg(x)，令 ，令u g(x)，若，若 y f (u) 为增，为增，u g(x)为增，则为增，则 y fg(x)为增；若 为增；若 y f (u)为减， 为减，u g(x)为减，为减，则则y fg(x)为增；为增；若若y f (u)为增，为增，u g(x)为减，为减，则则y fg(x)为为 减；若减；若y f (u)为减，为减，u g(x)为增，则为增，则y fg(x

14、)为减为减 y y （2）打“”函数 a f (x) x(a 0)的图象与性质 x f (x)分别在(, a、 a,)上为增函数， 分别在 a,0) 、(0, a上为减函数 （3）最大（小）值定义 一般地，设函数y f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的xI，都有 o ox x f (x) M ； （2）存在x0I，使得 记作 f (x 0 ) M 那么，我们称M是函数 f (x) 的最大值， f max (x) M ，如果存在实数m满足： （1）对于任意的xI，都有（2） f (x) m； 一般地，设函数y f (x)的定义域为I 存在x0I，使得 f (x 0 )

15、m 那么，我们称m是函数 f (x)的最小值，记作f max (x) m 【1.3.21.3.2】奇偶性】奇偶性 （4）函数的奇偶性 定义及判定方法 函数的 性 质 定义图象判定方法 如果对于函数 f(x)定义域内 任意一个 x，都有 f( f(x)=x)= f(x)f(x),那么函数 f(x)叫做奇函奇函 数数 函数的 奇偶性如果对于函数 f(x)定义域内 任意一个x， 都有f( f(x)=x)=f(x)f(x), 那么函数 f(x)叫做偶函数偶函数 （1）利用定义（要先 判断定义域是否关于 原点对称） （2）利用图象（图象 关于原点对称） （1）利用定义（要先 判断定义域是否关于 原点对称

16、） （2）利用图象（图象 关于 y 轴对称） 若函数 f (x)为奇函数，且在x 0处有定义，则f (0) 0 奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反 在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或 商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数 补充知识函数的图象补充知识函数的图象 （1）作图 利用描点法作图： 确定函数的定义域；化解函数解析式； 讨论函数的性质（奇偶性、单调性） ；画出函数的图象 利用基本函数图象的变换作图： 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函

17、数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象 平移变换 h0,左移h个单位k0,上移k个单位 y f (x) y f (x h) y f (x) y f (x) k h0,右移|h|个单位k0,下移|k|个单位 伸缩变换 01,伸 y f (x) y f (x) 1,缩 0A1,缩 y f (x) y Af (x) A1,伸 对称变换 y轴x轴 y f (x)y f (x) y f (x)y f (x) 直线yx原点 y f (x) y f (x)y f (x) y f1(x) 去掉y轴左边图象 y f (x) y f (| x|) 保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象 保留x轴上方图象

18、y f (x) y | f (x)| 将x轴下方图象翻折上去 （2）识图 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、 对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、 奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系 （3）用图 函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的 重要工具要重视数形结合解题的思想方法 第二章第二章基本初等函数基本初等函数( () ) 2.12.1指数函数指数函数 【2.1.12.1.1】指数与指数幂的运算】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 如果x n n a,aR,xR,n 1，且n N ，那么

19、x叫做a的n次方根当n是奇数时，a的n次方根用 符号 a 表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号 na 表示，负的n次方根用符号 na 表示；0 的n次方 根是 0；负数a没有n次方根 式子 na 叫做被开方数 a 为任意实数； a 叫做根式， 这里n叫做根指数，当n为奇数时，当n为偶数时，a 0 n 根式的性质：( （2）分数指数幂的概念 a (a 0) a)n a；当n为奇数时，nan a；当n为偶数时， nan|a| a (a 0) m n 正数的正分数指数幂的意义是：a nam(a 0,m,nN , 且n 1)0 的正分数指数幂等于 0 正数的负分数指数幂的意义是：a m n

20、1 m 1 ( )n n ( )m(a 0,m,nN ,且n 1) 0 的负分数指数幂没 aa 有意义注意口诀：注意口诀：底数取倒数，指数取相反数 （3）分数指数幂的运算性质 ar as ars(a 0,r,sR) (ar)s ars(a 0,r,sR) r (ab) arbr(a 0,b 0,rR) 【2.1.22.1.2】指数函数及其性质】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称 定义函数 指数函数 y ax(a 0 且a 1)叫做指数函数 a 10 a 1 x x y y 图象 y y a a (0,1)(0,1) y y a ax x y y y y 1 1y y 1 1 (0,1)

21、(0,1) O O 定义域 值域 x x R (0,) O O x x 过定点 奇偶性 单调性 图象过定点(0,1)，即当x 0时，y 1 在R上是减函数 非奇非偶 在R上是增函数 ax1 (x 0) 函数值的 变化情况 ax1 (x 0) ax1 (x 0) ax1 (x 0) ax1 (x 0) ax1 (x 0) a 变化对 图象的影响在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低 2.22.2对数函数对数函数 【2.2.12.2.1】对数与对数运算】对数与对数运算 （1）对数的定义 若ax N(a 0,且a 1)，则x 叫做以a为底N的对数，记作x loga N ，其中a叫

22、做底数，N叫做真数 负数和零没有对数 对数式与指数式的互化：x （2）几个重要的对数恒等式 log a N ax N(a 0,a 1,N 0) log a 1 0，log a a 1，log a ab b （3）常用对数与自然对数 常用对数：lgN，即log10 （4）对数的运算性质如果a 加法：loga N ；自然对数：lnN，即log e N （其中e 2.71828） 0,a 1,M 0,N 0，那么 M log a N log a (MN) 减法：loga M log a N log a M log a Mn(nR) alogaN N M N 数乘：nlog a log ab Mn l

23、og b Nn (b 0,且b 1)log a M(b 0,nR) 换底公式：loga N log b ab 【2.2.22.2.2】对数函数及其性质】对数函数及其性质 （5）对数函数 函数 名称 定义 图象 函数 对数函数 y log a x(a 0 且a 1)叫做对数函数 a 10 a 1 y y x x 1 1 y y loglog a a x x y y x x 1 1 y y loglog a a x x (1,0)(1,0) O O(1,0)(1,0)x xO Ox x 定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性在(0,)上是增函数 (0,) R 图象过定点(1,0)，即当x 1时， 非

24、奇非偶 在(0,)上是减函数 y 0 log a x 0 (x 1) 函数值的 变化情况 log a x 0 (x 1) log a x 0 (x 1) log a x 0 (0 x 1) log a x 0 (x 1) log a x 0 (0 x 1) a 变化对 图象的影响 (6)反函数的概念 设函数 在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高 y f (x)的定义域为A，值域为C，从式子y f (x) 中解出 x ，得式子x (y)如果对于y在C (y) ，x在A中都有唯一确定的值和它对应， 那么式子x (y)表示x是y的函数，中的任何一个值， 通过式子x 函数x

25、(y) 叫做函数y f (x)的反函数，记作x f 1(y) ，习惯上改写成 y f1(x) （7）反函数的求法 确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式 将x y f (x)中反解出x f 1(y) ； f1(y) 改写成 y f1(x) ，并注明反函数的定义域 （8）反函数的性质 原函数 函数 y f (x)与反函数y f 1(x) 的图象关于直线y x对称 y f (x)的定义域、值域分别是其反函数y f 1(x) 的值域、定义域 y f (x) 的图象上，则P(b,a)在反函数 y f1(x) 的图象上若P(a,b)在原函数 一般地，函数y f (x)要有反函数则它必须为单调函数

26、 2.32.3幂函数幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数y x叫做幂函数，其中x为自变量，是常数 （2）幂函数的图象 （3）幂函数的性质 图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象 关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1) 单调性：如果 0 ，则幂函数的图象过原点，并且在0,)上为增函数如果 0，则幂函数的图象在(0,) y 轴 q p 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与 奇偶性：

27、当为奇数时， 幂函数为奇函数， 当为偶数时， 幂函数为偶函数 当 q p q （其中 p,q互质，p 和qZ） ， p 是偶函数，若若 则 p 为奇数q为奇数时，则y x是奇函数，若 p 为奇数q为偶数时，则y x p 为偶数q为奇数时， y x q p 是非奇非偶函数 图象特征：幂函数 在直线 y x,x(0,) ，当 1时，若0 x 1，其图象在直线y x 下方，若 x 1，其图象 y x上方，当1时，若0 x 1，其图象在直线y x上方，若x 1，其图象在直线y x下方 补充知识二次函数补充知识二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 一般式： f (x) ax2bxc(a 0) 顶点式

28、： f (x) a(xh)2k(a 0)两根式： f (x) a(x x 1)(x x2 )(a 0) （2）求二次函数解析式的方法 已知三个点坐标时，宜用一般式 已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式 若已知抛物线与 x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求 （3）二次函数图象的性质 二次函数 f (x)更方便 f (x) ax2bxc(a 0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x b , 顶点坐标是 2a b4acb2 (,) 2a4a 当a 0时，抛物线开口向上，函数在(, bbb 上递减，在,) 上递增，当x 2a2a2a 时， 4acb2 f m

29、in (x) 4a 时， ； 当a 0时， 抛物线开口向下， 函数在(, bbb 在当x 上递增，,) 上递减， 2a2a2a 4acb2 f max (x) 4a 二次函数 f (x) ax2bxc(a 0)当 b24ac 0时，图象与x 轴有两个交点 M 1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2 |x 1 x 2 | （4）一元二次方程ax2 |a| bxc 0(a 0) 根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整， 且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系

30、统地来分析一元二次方程实根的分布 设一元二次方程ax2 bxc 0(a 0) 的两实根为x1,x2，且x1 x 2 令 f (x) ax2bxc ，从以下四个方 面来分析此类问题：开口方向：a对称轴位置：x kx 1x2 y b 判别式：端点函数值符号 2a b 2a x2 y f (k) 0 a 0 x k x1 O x2 x k x1 O x b x 2a x 1x2k f (k) 0 a 0 y a 0 f (k) 0 y x O b 2a x1 Ox2 k xx1 a 0 x2 k x x b 2a f (k) 0 x 1kx2 af(k)0 y a 0 y f (k) 0 x1 Ok

31、 x2 xx1O k x2 a 0 x f (k) 0 k 1x1x2k2 y f (k1) 0 a 0 y x f (k 2 ) 0 x2 k2 b 2a O k1 x1 xO k1 x1 x2 k2 x x b 2a f (k1) 0 a 0 f (k2) 0 有且仅有一个根 x 1（或 x2）满足k1x1（或 x2）k2 f(k 1)f(k2) 0，并同时考虑f(k 1)=0 或 f(k2)=0 这两 种情况是否也符合 y f (k1) 0 a 0 y f (k1) 0 Ok1 x1 k 2 x2 xO x1 k1 x2 k 2 x f (k 2 ) 0 a 0 f (k 2 ) 0 k 1x1k2p1x2p2 此结论可直接由推出 （5）二次函数 f (x) ax2bxc(a 0) 在闭区间p,q上的最值 设 f (x)在区间p,q上