一阶偏微分方程基本知识.doc

1、竞争产品一阶偏微分方程的基础知识在本章中，我们将讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解，因为它们可以简化为常微分方程的第一次积分，所以我们将首先介绍常微分方程的第一次积分。1一阶常微分方程的首次积分1.1第一积分的定义从第三章，我们知道了常微分方程的阶(1.1)在转变中(1.2)下面，它等价于下面的一阶微分方程系统(1.3)第三章介绍了方程组(1.3)通解的概念和解法。然而，除了具有常数系数的线性方程之外，很难找到(1.3)的一般解。然而，在某些情况下，所谓的“可积组合”方法可以用来寻找一般的积分。下面用一个例子说明“可积组合”法，然后介绍一阶常微分方程“一次积分”的概念和性质，以及

2、用一次积分法求解方程(1.3)的问题。让我们从几个例子开始。例1求解微分方程(1.4)解决方法：将第一个公式的两端相乘，将第二个公式的两端相乘，然后将它们相加得到,这个微分方程可以用变量T和来分离，所以不难找到它的解(1.5)是一个积分常数。(1.5)第一个积分叫做(1.4)。注意，第一次积分(1.5)的左端不等于作为x、y和t的函数的常数；从上面的推导可以看出，微分方程系统(1.4)的解等于一个常数，这里的常数应该随解而变化。因为方程(1.4)是一个二阶方程组，一次积分(1.5)不足以确定它的解。为了确定(1.4)的解，需要找到另一个第一积分。将第一个公式的两端相乘，将第二个公式的两端相乘，

3、然后从第一个公式中减去第二个公式，得到,也就是说，,即。通过集成获得(1.6)积分常数在哪里？(1.4)的一般解可以通过首先积分(1.5)和(1.6)来确定。因此，使用从(1.5)和(1.6)导出的极坐标或者。因此，我们得到方程组(1.4)的通解如下嘿。(1.7)例2求解微分方程(1.8)其中是一个给定的常数。利用方程的对称性，可以得到解,从而获得第一积分(1.9)其中积分常数。同样，我们有,由此，获得另一个第一积分(1.10)其中积分常数。利用第一个积分(1.9)和(1.10)，我们可以把U和V表示为W，并把它们代入原方程组(1.8)的第三个公式，得到(1.11)其中常数a和b取决于常数和常

4、数注意(1.11)是一个变量可分方程，第三个第一积分是通过分离变量并对它们积分得到的(1.12)积分常数在哪里？因为方程组(1.8)是三阶的，所以三个第一积分(1.9)、(1.10)和(1.12)在理论上足以确定它的通解然而，由于椭圆积分出现在公式(1.12)中，上述通解的具体表达式不能写成。现在我们考虑一般的阶常微分方程，(1.13)其中右端函数是连续的，对是连续可微的。定义1:让函数在的子域中是连续的，并且该对是连续可微的。假设它是沿着微分方程(1.3)的区域G中的任意积分曲线，它不是常数函数v取一个常数值；即,或者在那个时候，有=常数，这里的常数取决于积分曲线，所以叫做=摄氏度(1.14

5、)是微分方程(1.13)在g区的第一次积分.其中c是一个任意常数，它有时被称为(1.13)的第一个积分。例如，(1.5)和(1.6)是微分方程(1.4)在某一区域的第一个积分。这里，对区域g有一个限制，它要求第一个积分(1.5)和(1.6)必须是单值连续可微函数。因此，原点不能包含在区域g中，并且不能有包含原点的循环。类似地，等式(1.9)、(1.10)和(1.12)是等式(1.8)的第一个积分。对于高阶微分方程(1.1)，可以通过变换(1.2)将其转化为等价的微分方程组。因此，第一积分的定义可以自然地移植到n阶方程(1.1)中。它的第一积分的一般形式可以写成。(1.15)例如，设一个二阶微分

6、方程组,通过将方程的两端相乘，你可以得到,然后积分得到第一个积分。一般来说，一阶常微分方程有一个独立的第一积分。如果你得到一个独立的一阶常微分方程的第一积分，你就能得到一阶常微分方程的通解。1.2第一积分的性质和存在性关于第一个积分的性质，我们列出下列定理，但没有证明。定理1如果一个函数在G区域是连续可微的，并且它不是常数，那么(1.16)是微分方程(1.13)在g区域的第一个积分，当且仅当(1.17)是关于变量的恒等式。这个定理实际上为我们提供了一个判断函数是否是微分方程(1.13)的第一积分的有效方法。因为根据第一积分的定义，为了判断函数是否是G中微分方程(1.13)的第一积分，我们需要知

7、道G中(1.13)的所有积分曲线。这实际上是由困难引起的。定理1避免了这个缺点。定理2如果微分方程(1.13)的第一个积分(1.14)已知，微分方程(1.13)可以降一阶。让微分方程系统(1.13)有N个第一积分(1.18)如果他们的雅可比行列式在某个区域G，(1.19)据说他们在g区是相互独立的.定理3:如果微分方程(1.13)的n个独立的第一积分(1.18)是已知的，则在G区(1.13)的通解可以由它们得到(1.20)其中有n个任意常数(在允许的范围内)，上述通解代表微分方程(1.13)的所有解.关于第一个积分的存在，我们有如果定理4成立，则存在一个邻域，这使得微分方程(1.13)在该区域

8、中具有n个独立的第一积分。定理5微分方程(1.13)最多只有N个独立的第一积分。定理6假设(1.18)是区域G中微分方程(1.13)的n个独立的第一积分，然后是区域G中微分方程(1.13)的任何第一积分=摄氏度，它可以用(1.18)表示，即,其中是一个连续可微的函数。为了得到第一次积分和下一节的应用，人们经常把方程组(1.3)改写成对称形式,这时，自变量和未知函数的状态是完全相等的。更一般地说，人们经常写上面的对称(1.21)并将内部差值设置为零，例如，如果设置(1.21)相当于。(1.22)请注意，等式(1.22)等价于自变量和未知函数，因此在等式集合(1.21)中只有n-1个未知函数，并且

9、有n个自变量。不难证明，对于系统(1.21)，定理1改写如下：如果函数连续可微不是常数，那么=C是(1.21)的第一个积分，当且仅当它是一个关系。(1.23)成为g中的一个恒等式。如果可以得到(1.21)的n-1个独立的第一积分，则可以通过组合它们得到(1.21)的一般积分。当方程写成对称形式后，利用比例的性质可以方便地求出第一个积分。例3中得到的一般积分。该解分离前两个公式的变量并对它们进行积分，得到方程的第一个积分(1.24)其中是一个任意常数，然后用比例的性质来得到,将两侧积分，得到第一积分(1.25)其中是一个任意常数。(1.24)和(1.25)是相互独立的，原始方程的一般积分可以通过

10、组合它们得到嘿。例4中得到的一般积分。利用比例的性质，我们可以得到确实有两个第一积分是分别积分得到的通过组合它们，可以得到原系统的一般积分，其中它是一个任意常数。例5解决两体问题，即解方程其中常数是相对静止的天体的质量。现在找到两体问题的运动轨迹。用x乘第二个公式的两边，用y乘第三个公式的两边，然后减去，得到也就是说，,通过整合获得(1.26)这里有一个任意常数，可以用类似的方法得到所有这些都是任意常数。将(1.26)、(1.27)和(1.28)的两边分别乘以X、Y和Z，然后将三个公式相加得到(1.29)这是一个平面方程。解释两体问题的轨迹位于(1.29)所示的平面内。因此，两体问题的轨迹是一

11、条平面曲线。重新选择坐标平面，并选择轨迹线所在的平面作为(x，y)平面，因此两体问题的运动方程为从这两个公式可以看出,上述公式可以写成两边积分得到第一个积分其中a是积分常数。引入极坐标后，上述公式可以简单运算后写成(1.32)另一方面，y乘以(1.30)，x乘以(1.31)，然后减去这两个表达式。,也就是说，,积分后得到另一个第一积分,进入极坐标，你得到。(1.33)如果，则由(1.32)和(1.33)求解,让我们把 和B合并，仍然记住它是B，那么上面的公式可以写成(1.34)记住，上面的公式是没有意义的，所以它总是被设置。积分(1.34)并获得这是另一个积分常数。两体问题轨迹的极坐标方程由上述公式得到。(1.35)从平面几何来看，它是一条二次曲线。它的怪癖是。当时，轨道是一个椭圆；当时，轨迹是抛物线；当时，轨迹是双曲线。从(1.35)可知，r取决于常数，其中系统常数是多少；a和b由初始条件决定。如果是这样，从(1.33)可知它等于一个常数，这意味着运动轨迹是一条射线，这是显而易见的。这个例子表明，虽然两体问题的解x=x(t