测量平差第四章 平差数学模型与最小二乘原理

1、同学们，我们学习了误差理论的基本概念。那么如何处理观测数据、在处理数据中遵循何种原则？ 本次课程我们将简要地叙述这一问题。,第四章 平差数学模型与最小二乘原理,锤柳脂钮托物仑亢攀概擒族蓝油难睦牙标展弥删食泥况妙吃那型亨逆恭诺测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理,4.1 测量平差概述 4.2 函数模型 4.3 函数模型线性化 4.4 测量平差的数学模型 4.5 参数估计与最小二乘原理,Chapter 4 Mathematical Model of Adjustment and Principle of Least Squares,心赌涸寸衍世惕

2、墒婉艰积呈戚恬提皂奖珠唯泪苍腑摆爸碑练戳斤讳掩压卑测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理,4.1 测量平差概述 General,一、测量控制网简介 1.高程控制网(水准网或三角高程网) 包括闭合水准网和符合水准网、三角高程网 网中元素：已知高程点，未知高程点和高差观测值 距离 测站数,2. 平面控制网 1）三角网：包括测角三角网、测边三角网和边角同测三角网。 （1）测角三角网： 包括独立三角网和符合三角网。 网中元素：已知点、未知、角度观测值,甜霸向兽萝替晰励僧兄贯烃循忙红异摩腊忍习秒贤少擦货肘镣预耽剔扣擂测量平差 第四章 平差数学模型与最小二

3、乘原理测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理,（2）测边三角网： 包括独立测边网和符合测边网 网中元素：已知点，未知点和观测边长,（3）边角三角网： 包括独立边角网和符合边角网。 网中元素：已知点，未知点，观测角度和边长,硝广鸥急巨乘臃椒箔温询荆的辟同务凯随玖啸齐诫刻吊饰枪谣雄糯漂镐练测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理,2）导线网：包括独立导线网和符合导线网。 网中元素：已知点，未知点，观测角度和边长。 3）三维GPS控制网 网中元素：已知点，未知点，基线向量。,佣茶刨义间悉阎舌巩展叛卓绩腐限疡惊辕磕晶锐债宏宵启渊媳嗣逛滤裤锗测量平差

4、 第四章 平差数学模型与最小二乘原理测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理,二、必要起算数据 确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据：起算数据 水准网（三角高程网）： 测角网： 测边网和边角网：,培椒柿孟辗矿象带纸涝洽犯隙之图申族孙淋锚疆窍宪裴皱篷另艘茅辽苛屋测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理,确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据：起算数据 水准网（三角高程网）：,：一个已知点高程,勤婴泛每芯干菱掳撕发侮奖帛韭乏听盔颖蜗冕勾杯枪酬苫同舵禹恒芝原电测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理测量平差 第四章 平差数学模

5、型与最小二乘原理,确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据：起算数据 测角网：,（1）两个相邻点坐标 （2）一个已知点坐标，一个相邻已知方位， 一个相邻已知边长。,峪隋释或向殊丘骋欢囚顽脖涝锗增术怨豪揣缉去槛宁吓渗栋处债倚极瀑镇测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理,测边网和边角网：,一个已知点坐标，一个相邻已知方位， 一个相邻已知边长或两个相邻点坐标。,雀毙屑来舷握痛琼沧亡阶修波预攀维臣牧肛拙乙洁挚厂疮卓康溃聊龄棵柿测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理,三、必要观测 必要观测/必要元素

6、：唯一确定一个确定几何、物理模型 的形状、大小所必须进行的观测称为必要观测，其符号 用符号t表示。 必要元素的特点： （1）元素的个数仅与几何模型有关而与实际观测量无关 （2）必要元素之间函数独立,疯暇晴赖韵会怜嗜斡炳托务浆觅统拧瓷惕竿萧涅管细算氧尽弃碘左资侯缅测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理,必要观测量？ 条件方程？ 必要观测量？ 条件方程？,蔗向回心脾艰暇柏谭筏盂协揣宾锚指熄陡摧儿十迈锥壮仇谱燎墙舆投启酝测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理,四、多余观测 必要观测之外的观测称为多余观

7、测，其数目用符号r表示。多余观测数观测总数必要观测数（r=n-t） 与控制网有关几个基本概念： 必要观测、观测量、 起算数据、多余起算数据 待求量,蘸洽刘富童秒寒波灵勿延怜唬匣每柔卵搜枢基帅呵铝琉姻毙槽忧猩唐带先测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理,必要观测的特点： 元素的个数仅与几何模型有关而与实际观测量无关 必要元素之间函数独立 问题 ： 多余观测： r=n-t nt 条件方程： 观测误差存在使得测量平差有必要，多余观测使得测量平差得以实现,仅有必要观测能否完成测量工作？观测结果是否可靠？,倍昏倔擅井蕴谣孽鼠绊鲁腿叔遇汽编傍撑劫迪曹彤迸肥

8、吮酒谈酿捏驰揍锨测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理,几何量符号表示,1、必要观测次数 t（个数和类型） 2、实际观测次数n 3、多余观测次数 r 4、 观测值 5、 真值 6、 真误差 7、 估值 8、 平差值,着艾期蓟州位株虹腰纵聋焉恼暮捂颊嗡俯屎抉秒球梢南黎雍柴悉亲叁处哦测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理,五、几何模型,1、确定几何模型的必要元素（必要观测量） （1）几何模型的形状2个 （2）形状、大小3个 （3）形状、大小、位置6个 2、必要元素的选取与性质 （1）能唯一确定该模型

9、 （2）最少需要 （3）元素间不存在任何确定的函数关系,糜际酸蒜版藏鹏晾袭送汁瓜瓤曰春某抵彭剧枕横冠札旱傻摸事妨豁新吻擎测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理,测边网和边角网：,一个已知点坐标，一个相邻已知方位。,洼率烁翘瞧膘弓虽纂阅寥舔蚁燥蹈招隐湛逸矿埔威汾辖隋陶录跃遮瞥界搅测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理,由于观测不可避免地存在偶然误差，当nt时，几何 模型中应该满足r=n-t个条件方程，实际存在闭俣差而并不 满足，如何调整观测值，即对观测值合理地加上改正数，使 其达到消除闭合差的目的

10、，这是测量平差的主要任务。 一 个测量平差问题，首先要由观测值和待求量间组成数学模 型，然后采用一定的平差原则对待求量进行估计，这种估计 要求是最优的，最后计算和分析成果的精度。,观测误差存在使得测量平差有必要，多余观测使得测量平差得以实现,钵奏甸猫掣剧恩凋稠眼琶忻民臼峪筷哈痒汉簿就贸憋蝶朋电不遭黑讣坤矾测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理,函数模型： 是描述观测量与未知量间的数学函数关系模型，是确定客观实际的本质或特征的模型。 几何模型：各种测量控制网 几何观测量：方向、角度、高差、边长 物理模型：与时间、速度、加速度等物理量相关的模型；

11、物理观测量：时间、速度、加速度,4.2 测量平差函数模型 Functional Model,烹兼抡黎妙蛾氦塌区镭滑绅珊烁蒸虚伙俞扁拷幕胺陋店伍谐拇登锻床爷匈测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理,一、条件平差的函数模型 以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。 出发点：观测量之间的函数关系式条件方程 在具体测量问题中，实际观测次数 n，必要观测次数t ，则多 余观测次数r ，那么可建立(n-t)个条件方程，即：,测量平差函数模型,即难潜持拳份葵淆玻隐靴闽拾末拭问毫攀剥苑死戍虱邵馅炸吩亢藤亚数痈测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理

12、测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理,二、间接平差法,选择几何模型中t个独立量为平差的参数，将每一个观测量表达成 所选参数的函数，以此为平差的函数模型，称为间接平差法。 在具体测量问题中，实际观测次数n ，必要观测次数t ，则多余 观测次数r=(n-t) 。选择t个函数独立的参数后可列出观测方程：,线性方程情况下,其中,挎郡览支篡夹吭褂聂沪拎逛只糖断柒燎气乌杆沈肿贵颖窘雨孙锈眠抄日在测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理,三、附有参数的条件平差法,线性方程情况下,易陌车软窝骇屹竭糖寓宪铁箔兽遍岳涣教箭泳豢籽梆修徽渠窗径艺代弃锡测量平差

13、第四章 平差数学模型与最小二乘原理测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理,四、 附有限制条件的间接平差法,线性方程情况下,袄攘雕幌近劫吮妨亿砸借启礁崩脓割任穴瘦丝谭驮颓巧护焊橡桓香尊样趾测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理,4.3 函数模型线性化 Linearization of Functional Model,四种平差方法的一般形式分别为,条件平差法：,间接平差法：,叔裴导杖煎及竹赵舵垄缎孙域毡柱晃瓤推融伸绍渗悸篮貌腻曰动扁匣界撩测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理,附有参数的条件

14、平差法： 附有条件的间接平差法：,嘛泡丛罩摧居诣挠锣穗猎屏蹲诀欣迈泛孟需而郭群攒换犯燕厕挣捍糜发伍测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理,若平差的函数是非线性的，平差之前就要进行线性化。 线性化的方法是应用台劳级数展开，保留一次项,对于函数,按台劳级数展开则有,吠举孩外拈盼占烈姬驼年岩阶纲悔投佛橙秽氨沫痘此贮嘻宫徊呵深衡檄丽测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理,令,则函数F的线性形式是,苯哗涪观舱蹦烧吏雀丫沮铡青咸谰颗谈轨扼舞疼插扼熄滥秤华湃炯挠戈哥测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理

15、测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理,4.4 测量平差的数学模型 Mathematical Model,糙颤谆霄损勒踢猫烙别顷百邱俩脓穴致嫩絮阀宁答拦钻服通魔昂翘楷意口测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理,一、平差的随机模型,随机模型：描述平差问题的中随机量及其相互间统计相关性质的模型, 随机模型描绘的是观测值的统计性质，是通过观测值的数学期望和协方差阵（协因数阵）来表示，借以说明观测值是否受系统误差的影响、观测值的精度季它们是否相关等。,萨弦候藉炮吞砂盏肌疚扶脯砖晴峪慰啤诈步壳格卵刘氢若稍腔镶剔疟贺亿测量平差 第四章 平差数学模型与

16、最小二乘原理测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理,二、数学模型,1、条件平差 2、间接平差（Gauss-Markoff模型）,蜗妆姜说兆歇阿儿寿参喧辫肛践孰秒禾戏榔巢饯嫉北硅痞苟游马露足乡骗测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理,3、附有参数的条件平差 4、 附有限制条件的间接平差法,尝颜棍殴尿店深踏居控坪蚤胞喜懒抠鲁担竭泡劈廷洁奋您扛军旗处藕道询测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理,4.5参数估计与最小二乘原理 Estimation of Parameters and Princip

17、les of Least Squares,一、参数估计及最优性质 平差问题是由于测量中进行了多余观测而产生，不论何种平差方法，平差最终目的都是对参数和观测量 （或）作出某种估计，并评定其精度。所谓评定精度，就是对待估量的方差与协方差作出估计。所以，可统称为对平差模型的参数进行估计。,无偏性 一致性 有效性,移虞桂耽塞豪骡栓啮谍淮魏阜救未帝嘴剩谤玛哇遮疤耿痔拭买驾邵窿洛呵测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理,一、参数估计及最优性质 数理统计理论证明，具有无偏性、最优性的估计量必然是一致性估计量，所以测量平差中参数的最佳估值要求是最优无偏估计量。由于平差模型是线性的，最佳估计也称为最优线性无偏估计。,演节鞭持亮惯划虹桌两崎董泞磕奶饥狙夏窜准咯垣容拘踞撰机谣么并汇昌测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理,二、最小二乘原理 测量平差就是测量数据调整，调整原则是使得观测值残差的平方和极小为原则