工程力学静力学课件2

1、2.1 力的平移定理,第2章 力系的简化与合成,力的平移定理: 作用在刚体上的力F 可以平行移动到刚体内任意一点但必须附加一个力偶,其力偶矩等于原来的力F对平移点之矩.,向一点平移时所得的附加力偶矩等于原力对平移点之矩.,对非自由体也有类似的情形，如支承吊车梁的立柱，受有吊车梁传来的偏心荷载F，则根据力的平移定理，将F平移到轴线上后，应附加一力M=Fe。,2.2 力系的简化,2.2.1 汇交力系的简化 汇交力系是各种力系中最简单和最基本的力系， 其特征是力系中各力作用线都汇交于同一点。 容易看到，若连续运用力的平行四边形法则或 力的三角形法则，将力系中各力依次两两相加， 总可以将一个汇交力系最

2、终合成为一个力， 它就是汇交力系的合力。,力的平行四边形法,力的三角形法,力的多边形法,平面汇交力系合成的几何法,几何法,力的多边形法则:以力多边形求合力的作图方法.,推广到n个力,式中，Fx、Fy、Fz为汇交力系中各分力在x、y、z轴上的投影。,2.2.1.2 汇交力系合成的解析法,有n个力的汇交力系F1、F2、Fn,其合力为FR,FRx、FRy、FRz为合力在Oxyz的三个坐标轴上的投影,按矢量投影定理，将上式两边向直角坐标系的三个坐标轴上投影，得到,分别为合力为FR与x、y、z轴正向的夹角。,式中:,合力FR的大小和方向,对于平面汇交力系，采用平面直角 坐标系Oxy，此时，由于力系中各力

3、 在z轴上的投影均为零，上述各公式 可得到相应的简化,例:长方体上作用有三个力，F1=500N，F2=1000N， F3=1500N，力的方向如图2.4所示，图中AC=2.5m， CD=4m，BD=3m。求合力的大小、方向。,，,，,，,解:由几何关系可知，,分别按直接投影法和二次投影法计算各力 在坐标轴上的投影分量,，,F2z=0,F1x=0，F1y=0，F1z=500N，,计算合力的大小与方向,，,，,，,2.2 .2 力偶系的简化,力偶系的合成问题可以转化成为各个力偶矩矢量的合成问题设刚体上有n个力偶作用，其力偶矩矢分别为M1、M2、Mn,合力偶之力偶矩矢量M为:,简写为:,若合力偶矩矢

4、量M在x、y、z三个坐标轴上的投影分别为: Mx、My、Mz，则M可表示为:,按矢量投影定理，将上式两边向直角坐标系的三个坐标轴上投影，得到,式中: 为力偶系中各分力偶矩矢量在x、y、z 轴上的投影。,力偶矩矢量M的大小和方向,如果力偶系中各力偶均位于同一平面，则此力偶系 为平面力偶系，力偶系中的力偶以及合力偶都可用代 数值表示。合力偶矩等于各力偶矩的代数和，相应的 计算公式是:,式中: 表示合力偶矩矢量M的三个方向角。,例2.2 三角形块体上面作用有三个力偶,如图2.6所示。已知F1=5N，F2=15N，F3=20N， a=0.2m，求三个力偶的合成结果。,解: 计算合力偶矩矢量在x、y、z

5、轴上的投影,Mz=0,计算合力偶矩矢量的大小、方向,2.2.3 任意力系的简化,任意力系:力系中各个力的作用线在空间或者平面呈 任意分布形式。,M1,M2,M3,F3,F1,F3,z,x,y,F1,F3,F3,M1,M3,x,y,M2,2.2.3.1 空间任意力系的简化,设一空间空间任意力系,将各力平移至O点,可得到一个汇交于O点的空间汇交力系,以及附加力偶矩矢量表示的空间力偶系,其中:,空间汇交力系,空间力偶系,可以简写为,合力,合力力偶矩矢量,-与x、y、z轴正向的夹角。,空间任意力系向任一简化中心简化结果,-力系的主矢,主矩大小、方向,分别为主矩MO与x、y、z轴正向的夹角。,主矢、方向

6、,2.2.3.2 空间任意力系的简化结果分析,（2）若主矢 0，主矩MO0。 力系可简化为一合力偶，主矩与简化中心位置无关;,(1)若主矢 0，主矩MO0。 表明原力系为平衡系;,（3）若主矢 0，主矩MO0。 原力系和一个力等效，等于原力系的主矢;,(4）若主矢 0，主矩MO0。 力系还可进一步简化，,若主矢 0，主矩MO0。 力系还可进一步简化;,和力偶矩矢量为MO的力偶 在同一平面内,（a） MO,力系最终简化为一个合力FR,空间任意力系的合力对任一点的矩等于各分力对同一点的矩的矢量和.,空间任意力系合力矩理,用矢量运算方法证明空间任意力系合力矩理,（2.,简化中心O为原点,r -合力F

7、R作用点O的矢径用,故O点可看作是合力FR作用线上的一个动点，,将上式向各坐标轴投影，并移项整理，可以得到,式中，独立的两个方程即为力系的合力FR的作用线方程。,即,(b) MO，这时力系不能再进一步简化。,这种由一个力和一个在力垂直平面内的力偶组成的力系，称为力螺旋。,右手螺旋: 与力偶矩矢MO的指向相同图 (a).,左手螺旋: 与力偶矩矢MO的指向相反图 (b).,力螺旋的中心轴: 的作用线.,（c） 与MO 既不垂直，又不平行.,可将MO分解为 与平行及垂直的两个分矢量和 图(b),与 可合成为一作用线通过A点的一个力FR。,将 平行移至O点，使之与FR共线。得到一个力螺旋.,O、A两点

8、之间的距离,综上所述，空间任意力系若不平衡则可能简化为一个合力或者简化为一个合力偶，也可能简化为一个力螺旋,结论,2.2.3.3 平面任意力系的简化结果,平面任意力系中，各力的作用线都在Oxy 平面内， 所有的力在z轴上的投影都等于零，所以,主矢和方向,分别为主矢 与x、y轴正向的夹角。,主矩,O 为简化中心,1 平面任意力系的简化结果,2 简化结果分析,1 若,力系平衡.,2 若,力系合成一个力偶.合力矩等于原力系 对简化中心的主矩.与简化中心无关.,3 若,力系合成一个合力.为平面汇交力系.,4 若,力系最终可以简化为一个合力.,平面力系最终合成一个合力R.,合力矩定理,3 合力矩定理,合

9、力矩定理: 若平面力系可以合成一个合力时,则其合力对作用面内 任一点取矩,等于力系中各分力对同一点取矩的代数和.,证明:,证毕.,4 合力作用线的方程,结论: 平面任意力系不平衡时，则可能简化为 一个合力或者简化为一个合力偶。,式中: FRx、FRy为合力FR 在坐标轴上的投影。,例 如图2.13所示为平面一般力系各力作用线位置， 且F1=130N，F2= N，F3=50N，M=500Nm。图中尺 寸单位为m，试求该力系合成的结果。,解:,（1）以O点为简化化中心， 建立图示直角坐标系Oxy。,（3）计算主矩MO：,15x7y58=0,而合力FR与x轴的交点坐标为x=3.87m，合力作用线如图

10、所示。,（4）求合力FR的作用线：,由于主矢量、主矩都不为零所以这个力系简化的 最后结果为一合力FR。最后结果为一合力FR。,y = 0,x = 5815=3.87m,2.2.4 平行分布荷载的简化,线荷载集度:单位长度所受的力.单位为N/m或者kN/m,整个线荷载的合力大小为,式中，A为AB段上荷载图形的面积。,设合力FR的作用线与x轴交点之坐标为xc， 应用合力矩定理可得,以上结果表明：沿直线且垂直于该直线分布的同向平行线荷载，其合力的大小等于荷载图的面积，合力的方向与原荷载方向相同；合力的作用线通过荷载图形形心。,工程上常见的均布荷载,1 矩形分布荷载的合力 及其作用线位置如图所示。,2

11、 三角形分布荷载的合力 及其作用线位置如图所示。,2.3.1 平行力系的中心,平行力系中心:平行力系合力的作用点.,n个平行力:F1，F2，Fn,各矢径分别为:,式中，FR和Fi分别为平行力系的合力及各分力在单位 矢量p方向上的投影，当投影的方向与p的正向一致时 为正，否则为负。显然，,。,力系的合力,设p为平行力系力作用线方向的单位矢量，于是上式又可写成,由合力矩定理,由于,因为单位矢量p是非零矢量,分别为各力作用点的坐标。,向三个坐标轴上投影，则得,矢径rc的计算公式为,2.3.2 物体的重心,1 重心坐标一般公式,对x轴,对y轴,对z轴,重心坐标 一般公式,2 质心(质量中心)坐标公式,质心坐标公式,3 均质物体的重心公式(形心公式),形心公式,3 均质薄板的重心公式(薄板形心公式),薄板形心公式,也称为静矩形心公式,例 图示热轧不等边角钢的截面，已知 h=120mm，b=80mm，