矩形、菱形、正方形辅助线的作法专训

1、矩形、菱形、正方形辅助线的实践训练一、连接法问题1，(2014陕西，第九问题3点)图，菱形abcd中ab=5，如果超过对角线ac=6.点a设为aebc，则垂线为e时，ae的长度为()a. 4b.c.d.5问题2，(2015安徽，第九问题4分钟)图，矩形abcd中ab=8，bc=4.点e在边ab上，点f在边cd上，点g，h在对角线ac上。 如果四边形egfh是菱形，则ae的长度是()a.2b.3c.5d.6问题3、图中，在矩形abcd中，ab=4、ad=6、m、n分别是ab、cd的中点，p是ad上的点，而且pnb=3cbn .(1)寻求证据： uuuuur=2uuuuur(2)求线段ap的长度问

2、题4、(2015山东德州，第20题8点)如图所示，在平面直角坐标系中，矩形oabc的对角线ob、ac与点d相交，beac、aeob(1)证明四边形aebd是菱形(如果oa=3，oc=2，则求出通过点e反比函数解析式.试验点：反比函数综合问题.分析： (1)证明四边形aebd是平行四边形，根据矩形的性质得到da=db，就可以证明四边形aebd是菱形(2)连接de，将ab交给f，根据菱形的性质将ab和de垂直二等分求出ef、af，将得到点e的坐标的通过点e的反比函数解析式代入y=，代入点e坐标求出k的值即可.解答： (1)证明： hhhhhhb，ohhhk四边形aebd是平行四边形四边形oabc是

3、矩形ur=ac，db=ob，ac=ob，ab=oc=2ar=db四边形aebd是菱形(2)解：把de、ab连接到f上，就变成了图像四边形aebd是菱形ab和de相互垂直地二等分aar=3，oc=2ef=df=oa=，af=ab=1，3=点e坐标用(，1 )表示通过点e的反比函数解析式为y=将点e (，(1)代入k=时通过点e的反比函数解析式为： y=点评：本问题是反比函数的综合问题，考察了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性质、坐标和图形的特征及反比函数解析式的求出方法，主题综合性强，有一定的难度，特别是在(2)中，需要求出点e的坐标作为辅助线来得到结果问题5，(2015江苏泰州，第25题1

4、2分钟)如图所示，正方形abcd的边长为8cm，e、f、g、h分别是ab、bc、cd、da上的可动点，ae=bf=cg=dh。(1)求证据：四边形efgh是正方形(2)判断直线eg是否通过定点，说明理由(3)求出四边形efgh的面积的最小值。试验点：四边形综合问题.分析： (1)从正方形的性质得到了a=b=c=d=90、ab=bc=cd=da、ah=be=cf=dg、从sas得到了aeh=bfe=cgf=dhg、eh=fe=gf=gh、aeh=bfe，四边形efgh为菱形、(2)连接ac、eg，以交点为o首先证明aoe -cog，得到oa=oc，证明o是对角线ac、bd的交点，即o是正方形的中

5、心(3)假设四边形efgh的面积为s，be=xcm，则bf=(8，x ) cm，根据毕达哥拉斯定理，s=x2(8，x )2=2(x，4 )232，s是x的二次函数，容易得到四边形efgh的面积的最小值.解答： (1)证明： 922000000000000000000000a=b=c=d=90，ab=bc=cd=daaaaar=aaaaamammhr=be=cf=dg在aeh、bfe、cgf、dhg中2222222喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓地653eh=fe=gf=gh，aeh=bfe四边形efgh是菱形喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓青蛙6aeh=90hef=90四边形efgh是正方形(2)解：直线eg通过一个

6、定点，该定点为正方形的中心(ac、bd的交点)的理由如下连接ac、eg，交点为o的图所示：四边形abcd是正方形hhk hb hk hroae=在aoe和cog中，2222222喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓地653oa=oc，也就是说o是ac的中点正方形的对角线互相平分。o是对角线ac、bd的交点，即o是正方形的中心(3)解：设四边形efgh的面积为s，be=xcm，则bf=(8，x ) cm根据毕达哥拉斯定理，ef2=be2 bf2=x2 (8，x ) 2s=x2(8-x)2=2(x-4)23220s有最小值在x=4的情况下，s的最小值=32四边形efgh的面积的最小值是32cm2分数评价：本题是四边形

7、的综合主题，正方形的性质和判定、菱形的判定、全等三角形的判定和性质、毕达哥拉斯定理、二次函数的最大值等知识调查的本题综合性强，有一定的难易度，特别是在(2)(3)中，需要将三角形的全等作为辅助线来证明，用二次函数得到结果问题6、(12点) (2015内蒙古赤峰25，12点)如图所示，四边形abcd是边长为2，锐角等于60的菱形纸片，小芳先生将三角形纸片的一个顶点重叠在该菱形顶点d上，顺时针旋转三角形纸片，将其两侧分别设为点e、f、f(1)继续旋转三角形纸片，ceaf时，如图2所示的小芳的结论成立或成立，证明不成立时，请说明理由(2)再次旋转三角形纸片，点e、f分别位于cb、ba的延长线上时，请

8、如图3所示直接写入de和df的数量关系(3)关于ef，设def的面积为y，ce=x，则求出y和x的关系式，表示x为什么取值，y有最小值，最小值是多少试验点：几何转换综合问题分析： (1)如图1所示，连接bd，根据问题的条件首先证明adf=bde，证明adfbde(asa )，得到df=de(2)如果回答图2，则与bd连接.根据问题的条件，首先证明adf=bde，证明adfbde (asa )，得到df=de(3)根据(2)中的adfbde，由于sadf=sbde、af=be .所以def的面积变化为y=sbef sabd .a :解： (1)df=de .理由如下如果回答图1，则连接bd .四

9、边形abcd是菱形pr=ab。另外a=60abd是等边三角形ad=bd，adb=60dbe=a=60喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓地653uuuuuuuuuuuuuuu2喀喀喀喀喀喀喀喀地pk=de；(2)df=de .理由如下看图2，连接bd.的四边形abcd是菱形pr=ab。另外a=60abd是等边三角形ad=bd，adb=60dbe=a=60喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓地653uuuuuuuuuuuuu在adf和bde中2喀喀喀喀喀喀喀喀地ps=de；由(3)可知，是adf -bde .sadf=sbde，af=be=x .根据问题，y=sbefsabd=(2x ) xsin 60s in 60=(x1

10、)2.即y=(x 1)2 .0该抛物线的开口方向向上x=0即点e、b重叠时，y的最小值=点评：本问题考察几何变换综合问题，在解题过程中利用三角形的全等判定和性质、菱形的性质及等边三角形的判定和性质，为了促进角和角(边和边)的相互变换，将未知角转换为已知角(将未知边转换为已知边)很重要。二、中心对称法(倍长法)问题1、(2014山东临沂，第25题11分)【问题情况】如图1所示，四边形abcd为正方形，m为bc边上的一点，e为cd边的中点，ae将dam二等分.【探索展示】(1)证明： ps=ps；(2) ps=ps成立吗？ 如果成立，请提交证明书。如果不成立，请说明理由。【扩张】(3)如果四边形a

11、bcd是长度和宽度不相等的矩形，其他条件不变，请如图2所示，探索(1)、(2)的结论是否成立，分别进行判断。 没有必要证明。试验点：四角形综合问题平分线的定义平行线的性质全等三角形的判定和性质长方形的性质正方形的性质主题：综合主题探究型分析： (1)从平行线和中点两个条件延长ae、bc与点n相交，如图1(1)所示，容易证明ade -nce，有ad=cn，只要证明am=nm即可(把faae交cb的延长线作为点f，证明易证am=fm、fb=de即可，为了证明fb=de，只要证明它们所在的两个三角形全等即可(3)在图2(1)中，模仿(1)中的证明构想，可以证明am=ad mc成立的图2(2)中，采用

12、反证法，模仿(2)中的证明构想，可以证明am=de bm不成立。解答： (1)证明：延长ae、bc与点n相交，如图1(1)所示四边形abcd是正方形hhb hb。uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu1222222卡卡卡卡卡苍蝇6dae=mae。enc=mae。ps=mn。在ade和nce中喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓ps=ps。pr=mn=nc mc=ps(2)am=de bm成立。证明：通过点a为afae，交叉cb的延长线在点f，如图1(2)所示.四边形abcd是正方形ttthtttttthttk111111航空航空航空航空6fae=90。uuuuuuuuuuuuuuu在abf和ade中

13、喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓aaaaaaaaaaaak=aaaaaaaaaaaaaaahhhhhbaed=bae。喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓地653uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu=uuuuuuuuuuuuuuuuuuuu=tttittttttttttttrttf=fam。ps=ps。ps=ps ps=ps ps。(3)结论am=ad mc仍成立证明：把ae、bc交给点p，如图2(1)所示四边形abcd是矩形的hhb hb。uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu1222222卡卡卡卡卡卡苍蝇6dae=mae。pps=ps。pr=mp。在ade和pce中adepce(aas )

14、ps=电脑。ps=pk=ps=ps结论am=de bm不成立证明：假设am=de bm成立通过点a是aqae，交叉cb的延长线处于点q，如图2(2)所示.四边形abcd是矩形的ttttttk=ttk=ttthhk。111111航空航空公司653qae=90。=90-bae=。q=90 qab=90dae喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓hr hhhkaed=bae。喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu=uuuuuuuuuuuuuuuuuuuu=qamq=qam。ps=qm。am=qb bm。aar=arps=de。在abq和ade中喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓6ps=ps。因为与条件“abad”矛盾，所以假设不成立am=de bm不成立问题2，(2014黑龙江绥化，第26题9分)在菱形abcd和正三角形bgf中，abc=60，p在df的中点连接、如图2所示，在点f位于ab延长线上的情况下，写出你的推测并证明线段pc、pg处于怎样的数量关系.(3)如图3所示，点f在cb的延长线上时，线段pc、pg有什么样的数量关系，写下你的预测(不需要证明)。试验点：四边形综合问题分析： (1)将gp正交dc延长到点e，利用ped -pgf得到pe=pg，de=