中考压轴题存在性的探究

1、,第二部分题型研究,题型五函数与几何图形的综合题,云南中考热点题型剖析,函数与几何图形综合的存在性问题，通常分为5个类型：（1）探究特殊三角形的存在性；（2）探究面积最值的存在性；（3）探究面积等量关系的存在性；（4）探究三角形相似的存在性；（5）探究特殊四边形的存在性.,例1如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A,B,C三点的抛物线上.（1）求抛物线的解析式；,例1题图,【思路分析】已知点A坐标，且OA，OC，OB的关系可确定A、B、C三点坐标，用三点式即可求出抛物线解析式.解：由A（4，0）可知OA4，OAOC4OB.OC4OB4.C(0

2、，4),B(-1,0).,设抛物线的解析式为yax2+bx+c（a0），a-b+c=0从而得方程组16a+4b+c=0c=4a-1b3c4此抛物线的解析式为y=-x2+3x+4.,解得,突破设问二次函数的解析式的确定.【备考指导】1.确定二次函数的解析式一般用待定系数法，由于二次函数解析式有三个待定系数a，b，c（a，h，k或a,x1,x2），因而确定二次函数解析式需要已知三个独立的条件:(1)已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式.即：y=ax2+bx+c（a0）；,（2）已知抛物线的顶点坐标和另外一点坐标时，选用顶点式.即:y=a(x-h)2+k（a0）;（3）已知抛物线与x轴有两个交

3、点（或横坐标x1,x2）时，选用交点式.即：y=a(x-x1)(x-x2)（a0）.,2.用待定系数法求二次函数解析式的步骤：（1）设二次函数的解析式；（2）根据已知条件，得到关于待定系数的方程组；（3）解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式.【针对训练】见本书第1、3、5、7、8、9、10、12、14、15、18、19题的第（1）问.,（2）是否存在点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.,【思路分析】由设问以AC为直角边出发，分两种情况讨论，设出P点坐标，再根据直角三角形的性质、点坐标特征求点P坐标.,解：存在.理由

4、：第一种情况，当以点C为直角顶点时，过点C作CP1AC交抛物线于点P1，过点P1作y轴的垂线，垂足为M.,ACP190，MCP1+ACO90，ACO+OAC=90，MCP1OAC.OAOC.MCP1OAC=45，MCP1MP1C，MCMP1.,设P1（m,-m2+3m+4）,则m=-m2+3m+4-4.解得m1=0(舍去)，m22，-m2+3m+4-4+6+46，即P1（2，6）.第二种情况，当以点A为直角顶点时，过点A作AP2AC交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足为N，AP2交y轴于F.,P2Nx轴，CAO=45，OAP2=45，FP2N45，AOOF，P2NNF.设P2（n,-n

5、2+3n+4），则-n-（-n2+3n+4）-4.,解得：n-2,n4（舍）.-n2+3n+4-6.P2（-2，-6）.综上所述，存在点P使得ACP是以AC为直角边的直角三角形，点P的坐标为（2，6）或（-2，-6）.,突破设问探究特殊三角形的存在性.【备考指导】1.在解答直角三角形的存在性问题时，具体方法如下：（1）先假设结论成立，根据直角顶点的不确定性，分情况讨论；（2）找点：当所给定长未说明是直角三角形的斜边还是直角边时，需分情况讨论；具体方法如下：,当定长为直角三角形的直角边时，分别以定长的某一端点作定长的垂线，与数轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；当定长为直角三角形的斜边时

6、，以此定长为直径作圆，圆弧与所求点满足条件的数轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；,（3）计算：把图形中的点坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三角形的各个边（表示线段时，注意代数式的符号）.再利用相似三角形的性质得出比例式，或者利用勾股定理进行计算，或者利用三角函数建立方程求点坐标.【针对训练】见本书第12、15、17题第（3）问.,2.拓展设问：除了探究直角三角形外，还常常探究等腰三角形的存在性，这个和直角三角形的类似：（1）假设结论成立；（2）找点：当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下：,当定长为腰时，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某

7、一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与数轴或抛物线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与数轴或抛物线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在；,当定长为底边时，根据尺规作图作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与数轴或抛物线有交点时，那交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与数轴或抛物线无交点时，满足条件的点不存在；以上方法即可找出所有符合条件的点.,（3）计算：在求点坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图形中没有相似三角形，可以通过添加辅助线构造相似三角形，有时也可利用直角三角形的性质进行求解.【针对训练】见本书第5、11题第（3）问.,(3)过动点

8、P作PE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线，垂足为F.连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标.,例1题解图,（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F.连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标.解：连接OD，由题意知，四边形OFDE为矩形，则ODEF，根据垂线段最短.当ODAC时，OD最短，即EF最短.由（1）知，在RtAOC中，OCOA4.则,根据等腰三角形性质，D为AC中点.又DFOC，DFOC2，点P的纵坐标为2，从而得-x2+3x+4=2.解得当EF最短时，点P的坐标分别为或,例2（2014昆明）如图，在平

9、面直角坐标系中，抛物线yax2+bx-3(a0)与x轴交于点A(-2，0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式；,例2题图,【思路分析】用待定系数法求出抛物线的解析式，把点A、B代入抛物线解析式联立方程组，求出系数a、b,即可求出抛物线的解析式.解：把A(-2，0)，B(4,0)代入y=ax2+bx-3，4a-2b-3=0a=16a+4b-3=0，b=抛物线的解析式为,得,解得,（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动.其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.当PBQ存在时，

10、求运动多少秒使PBQ的面积最大，最大面积是多少？,【思路分析】求这个三角形的面积，首先想到的是用三角形面积的基本公式，作PB边上的高，然后证BHQBOC，利用相似三角形的性质求出高.当PBQ存在时，设运动时间为t秒，用t表示出SPBQ，得到一个二次函数的解析式，当t=时，SPBQ最大.,解：设运动时间为t秒，则AP=3t,BQ=t，PB=6-3t.由题意得，C点坐标为(0,-3)，在RtBOC中,BC=5，如解图，过Q点作QHAB,垂足为H，,H,例2题解图,QHCO，BHQBOC，HQ=t，当PBQ存在时，0t2，,当运动时间为1秒时，PBQ面积最大，最大面积为.,当时，SPBQ最大，,突破

11、设问探究面积最值的存在性.【备考指导】探究最值的存在性问题:(1)是与抛物线有关的三角形或是与抛物线有关的四边形，抛物线三角形就是三角形的三个顶点都在抛物线上，同样，抛物线四边形就是四边形的四个顶点都在抛物线上，要求三角形或四边形的面积的最大值或是最小值.,解决这类问题的基本步骤：1.首先要确定所求三角形或四边形面积最值，可设动点运动的时间t或动点的坐标（t,at2+bt+c）；2.求三角形面积最值时要用含t的代数式表示出三角形的底和高，此时就应先证明涉及到底和高的三角形与已知线段长度的三角形相似，从而求得用含t的代数式表示的底和高；,求四边形的面积最值时，常用到的方法是利用割补法将四边形分成

12、两个三角形，从而利用三角形的方法求得用含t的代数式表示的线段；3.用含有未知数的代数式表示出图形面积；,4.用二次函数的知识来求最大值或是最小值.【针对训练】见本书第4、11、18题第（2）问，第9题第（3）问.拓展设问：线段最值问题.(2)无论是线段和的最小值或是周长的最小值，还有两条线段差的最大值.,解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”，最常见的基本图形就是“水渠问题”，即已知一条直线和直线同旁的两个点，要在直线上找一点，使得这两个点与这点连接的线段之和最小，解决问题的方法就是通过轴对称作出对称点来解决；【针对训练】见本书第12题第（2）问、第13、18题第（3）问.,（3）当

13、PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使SCBKSPBQ52,求K点坐标.【思路分析】如解图，过点K作KEy轴，交BC于点E，求BCK面积的最简单的方法是用含EK的代数式来表示三角形的面积.设点K的坐标,即可得到EK与m的关系，再由SCBK=SCEK+SBEK可求出点K的坐标.,解：设直线BC的解析式为y=kx+c(k0),把B(4,0),C(0,-3)代入y=kx+c得4k+c=0k=0k+c=-3c=-3,解得,E,K,例2题解图,直线BC的解析式为y=x-3.点K在抛物线上，设K点坐标为(m,),过点K作KEy轴，交BC于点E，如解图,则E点坐标为(m,m-3),由（2）知当

14、PBQ的面积最大时，SPBQ=,SCBKSPBQ=52,SCBK=,又SCBK=SCEK+SBEK=EKm+EK(4-m)=4EK=2(-m2+m)=-m2+3m,-m2+3m=,解得：m1=1,m2=3.K1(1,-),K2(3,-).【难点突破】本小问的难点有两个：第一个难点是求出EK的长，解题的关键是要巧妙的设出点K的坐标，利用直线BC的解析式求出点E的坐标即可；第二个难点是在求抛物线上的内接三角形时，计算这个三角形的面积需用割补法来求.,突破设问探究面积等量关系的存在性.【备考指导】探究面积等量关系的存在性问题：对于图形的运动产生的相等关系问题，解答时应认真审题，仔细研究图形，分析动点

15、的运动状态及运动过程；,解题过程的一般步骤：（1）弄清其取值范围，画出符合条件的图形；（2）确定其存在的情况有几种，然后分别求解，在求解计算中一般由函数关系式设出图形的动点坐标并结合图形作辅助线，画出所求面积为定值的三角形；,（3）过动点作有关三角形的高或平行于y轴、x轴的辅助线，利用面积公式或三角形相似求出有关线段长度或面积的代数式，列方程求解，再根据实际问题确定方程的解是否符合题意，从而证得面积等量关系的存在性.【针对训练】见本书第2题第（2）问，第7题第（4）问，第14题第（3）问，第15题第（2）问.,例3（2014东营改编）如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B.把AO

16、B沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=-x2+bx+c与直线BC交于点D（3，-4）.,例3题图,（1）求直线BD和抛物线的解析式；【思路分析】由直线方程y=2x+2可求出B点坐标，把B、D两点代入y=-x2+bx+c中即可求出抛物线解析式，由B、D两点可求出直线BD的方程.解：设直线BD的解析式为：y=kx+m（k0）,把B（0，2），D（3，-4）代入得m=2k=-23k+m=-4m=2，直线BD的解析式为y=-2x+2.把x=0代入y=-2x+2，得y=2,B(0,2)，,解得,把B（0，2），D（3，-4）代入y=-x2+bx+c,得c=2b=1-9+3b+c=-4c=2，抛物

17、线的解析式：y=-x2+x+2.,解得,（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；,【思路分析】与BOC相似的MON，只有两个直角顶点可以确定对应，所以要分两种情况讨论，再利用MON的两条直角边恰好是点M的坐标，与BOC的两直角边对应成比例，便可列出方程，求解即可，注意是否符合条件.,解：由（1）知C（1，0），设点M（n，-n2+n+2），BOC=MNO=90，点O与点N对应，可分两种情况讨论，当MNOBOC时，则-n2+n+2=2n,解得n1=-2(不合题意，舍去)，

18、n2=1,M1(1,2)；,当ONMBOC时，则2（-n2+n+2）=n,解得n1=(不合题意，舍去)，n2=,M2综上所述，M点的坐标为（1，2）或,【易错分析】易忽略其中的一种情况而出错.,突破设问探究三角形相似的存在性.【备考指导】探究三角形相似的一般思路：解答三角形相似的存在性问题时，要具备分类讨论的思想及数形结合思想,要先找出三角形相似的分类标准，一般涉及到动态问题要以静制动，动中求静，具体如下：,（1）假设结论成立，分情况讨论.探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应角（尤其是以文字形式出现让证明两个三角形相似的题目），或者涉及到动点问题，因动点问题中点位置的不确定，此时

19、应考虑不同的对应关系，分情况讨论；,（2）确定分类标准：在分类时，先要找出分类的标准，看两个相似三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后，再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有，则分别按三种角对应来分类讨论；,（3）建立关系式，并计算.由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来（其长度多借助勾股定理运算），整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通过计算得出相应的点的坐标.【针对演练】见第3题第（3）问，第4题第（3）问，第7题第（4）问，第13题第（4）问，第14题第（2）问.,（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点

20、P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H.是否存在这样的点P，使四边形BOHP是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.,【思路分析】点P在抛物线上，可设出点P的坐标，从而可表示出点H的坐标，因为作PHx轴.所以可得PHOB.要证四边形BOHP是平行四边形，只需证PHOB，再利用PH的长可列方程求出P点坐标.解：存在.,理由如下：P点在抛物线上，设P（m，-m2+m+2），H的横坐标为m，又H在BD上，BD的解析式为y-2x+2，H的纵坐标为-2m+2，H（m，-2m+2），,例3题解图,PHBO，要使四边形BOHP是平行四边形，只需证PHBO，又P点在H点上方，PH-m

21、2+m+2-（-2m+2）-m2+3m，又B（0，2），OB2，-m2+3m2，,解得：m12，m21，当m2时，P点坐标为（2，0），当m1时，P点坐标为（1，2），存在点P（2，0）或P（1，2）使四边形BOHP为平行四边形.,【难点突破】（2）（3）小题都是先设了符合条件的点的横坐标为未知数，纵坐标相应表示出来，再利用相似三角形和平行四边形的判定得到对应边的关系式，列出方程求得结果.,突破设问探究特殊四边形的存在性.【备考指导】在解答平行四边形的存在性问题时，具体方法如下：（1）假设结论成立；（2）探究平行四边形通常有两类，一类是已知两定点去求未知点坐标，一类是已知给定的三点去求未知点的

22、坐标.,第一类时，以两定点连线所成的线段作为要探究平行四边形的边或对角线画出符合题意的平行四边形；第二类，分别以已知三个定点中的任意两个定点确定的线段为探究平行四边形的边或对角线画出符合题意的平行四边形.,（3）建立关系式，并计算.根据以上分类方法画出所有的符合条件的图形后，可以利用平行四边形的性质进行计算，也可利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性质进行计算，要具体情况具体分析，有时也可以利用直线的解析式联立方程组，由方程组的解为交点坐标的性质求解.,【针对训练】见本书第8题第（3）问，第16题第（2）问.拓展设问：此外，还会涉及考查探究是否存在点使得四边形为菱形或矩形；1.在解答菱形的存在性问题时，具体方法如下：（1）假设结论成立；,（2）分情况讨论：探究菱形时，通常有两大类，一类是已知三个定点去求未知点坐标，一类是已知两个定点去求未知点坐标.第