高考数学一轮复习9.2.ppt

1、9.2点与直线、直线与直线的位置关系,知识梳理,1.两直线的位置关系,平面内两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况.,(1)两直线平行,对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1l2.,对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1l2.,答案：k1=k2,且b1b2A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C10,(2)两直线垂直,对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1l2k1k2=.,对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1l2.,答案：1A1A2+B1B2=0,2.两直线的交点

2、,设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,将这两条直线的方程联立,得方程组若方程组有唯一解,则l1与l2,此解就是两直线交点的坐标;若方程组无解,则l1与l2;若方程组有无数个解,则l1与l2.,答案：相交平行重合,3.有关距离,(1)两点间的距离,平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离|P1P2|=.,(2)点到直线的距离,平面上一点P(x0,y0)到一条直线l:Ax+By+C=0的距离d=.,答案：(1),(2),设l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(C1C2),则l1与l2之间的距离d=.,(3)两平行线间的距离,已知l

3、1,l2是平行线,求l1,l2间距离的方法:,求一条直线上一点到另一条直线的距离;,答案：,4.对称问题,(1)中点坐标公式,设A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点坐标为.,(2)中心对称,若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得.,答案：(1),(2),可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中A0,x1x2).,(3)轴对称,若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则线段P1P2的中点在对称轴l上,而且连接P1P2的直线垂直于对称轴l.由方程组,2.点P在直线x+y-4=0上,O为坐标原

4、点,则|OP|的最小值为().,A.B.2C.D.2,1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是().,A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0,C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0,基础自测,答案：A,答案：B,4.若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+by=0相交于一点,则b=().,A.-1B.-C.2D.,答案：B,3.已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a=().,A.2B.1C.0D.-1,答案：D,5.求与直线x-y+2=0平行,且它们之间的距离为3的直线方程.,解:设与直线x-y+2=0平行的直线方程为x-y+m=0,根据平

5、行线间的距离公式,得|2m|2=32|2-m|=6m=-4或m=8,即所求的直线方程为x-y-4=0,或x-y+8=0.,1.研究两直线的位置关系时,若直线方程的系数含有变量应注意什么?,提示:在利用斜率、截距研究两直线的位置关系时,若直线方程中y的系数含有字母参数,则斜率可能有不存在的情况.此时,应对其按y的系数为零(斜率不存在)和不为零(斜率存在)两种情况进行讨论.利用斜率相等研究两条直线平行时,要注意重合的情形.,思维拓展,2.运用距离公式时应注意什么?,提示:点到直线的斜率公式适用于任何形式的直线方程,在运用该公式时,应首先把直线方程化为一般式;在运用两平行线间的距离公式时,要注意先把

6、两直线方程中x,y的系数化成相等的形式.,一、两直线的平行,【例1】直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,则m的值为().,A.2B.-3,C.2或-3D.-2或-3,答案：C,解析:解法一:当m=-1时,l1:2x+4=0,l2:-x+3y-2=0显然l1与l2不平行;,当m-1时,因为l1l2,所以应满足-=-且-,解得m=2或m=-3.,解法二:若l1l2,需23-m(m+1)=0,解得m=-3或m=2.,当m=-3或2时,-2(m+1)-120.,m=-3或2为所求.,设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1l2A1B

7、2-A2B1=0且B1C2-B2C10.,方法提炼1.判定两直线平行的方法:,(1)判定两直线的斜率是否存在,若存在,可先化成斜截式,若k1=k2,且b1b2,则两直线平行;若斜率都不存在,还要判定是否重合.,(2)直接用以下方法,可避免对斜率是否存在进行讨论:,2.与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(mC),这也是经常采用的解题技巧.,请做针对训练1,二、两直线的垂直,【例2】求经过点A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程.,解:解法一:直线2x+y-10=0的斜率不为0,直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k.,直线l与直线2x+y-10=0垂

8、直,k(-2)=-1.k=.,又l经过点A(2,1),所求直线l的方程为y-1=(x-2),即x-2y=0.,解法二:设与直线2x+y-10=0垂直的直线方程为x-2y+m=0.,直线l经过点A(2,1),2-21+m=0.m=0.,所求直线l的方程为x-2y=0.,2.与Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0,这也是经常采用的解题技巧.,请做针对训练2,方法提炼1.判定两直线垂直的方法:,(1)判定两直线的斜率是否存在,若存在,可先化成斜截式,若k1k2=-1,则两直线垂直;若一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,两直线也垂直.,(2)直接用以下方法,可避免对斜率是否

9、存在进行讨论:设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1l2A1A2+B1B2=0.,三、距离公式的应用,【例3-1】已知直线l过两直线3x+4y-5=0,2x-3y+8=0的交点P,且与A(2,3),B(-4,5)两点距离相等,求直线l的方程.,解:解方程组得,故交点P(-1,2).,(1)当直线l的斜率存在时,设l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.,由题意得=,解得k=-,直线l方程为y-2=-(x+1)即x+3y-5=0.,(2)当直线l的斜率不存在时,则l的方程为x=-1,此时也符合题目要求.,综合(1)(2)知,所求直线方程为x+3

10、y-5=0或x=-1.,【例3-2】已知直线l过点P(3,1),且被两平行线l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0截得的线段长为5,求直线l的方程.,解：解法一:若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=3,此时与l1,l2的交点分别是A(3,-4),B(3,-9),截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意.,当直线l的斜率存在时,则设直线l的方程为y=k(x-3)+1,分别与直线l1,l2的方程联立,由,解得A.,由,解得B.,由两点间的距离公式,得,+=25,解得k=0,即所求直线方程为y=1.,综上可知,直线l的方程为x=3,或y=1.,解法二:因为两平行线间的距离d=,如图

11、,直线l被两平行线截得的线段长为5,设直线l与两平行线的夹角为,则sin=,所以=45.,因为两平行线的斜率是-1,故所求直线的斜率不存在,或为0.,又因为直线l过点P(3,1),所以直线l的方程为x=3,或y=1.,方法提炼运用点到直线的距离公式时,需把直线方程化为一般式;运用两平行线的距离公式时,需先把两平行线方程中x,y的系数化为相同的形式.,请做针对训练3,四、对称问题,【例4-1】已知直线l1:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求:,(1)点A关于直线l1的对称点A的坐标;,(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l1的对称直线l2的方程;,(3)直线l1关于点A对称的直线l3

12、的方程.,解:(1)设A(x,y),由已知得,解得故A.,(2)在直线m上取一点,如M(2,0),则M关于l1的对称点必在l2上.,设对称点为M(a,b),则由,得M.,设m与l1的交点为N,由得N(4,3).,又l2过N点,由两点式得直线l2的方程为9x-46y+102=0.,(3)解法一:在l1:2x-3y+1=0上任取两点,如M(1,1),N(4,3).,则M,N关于点A的对称点M,N均在直线l3上.,易知M(-3,-5),N(-6,-7),由两点式可得l3的方程为2x-3y-9=0.,解法二:l1l3,可设l3的方程为2x-3y+c=0(c1).,点A到两直线的距离相等,由点到直线的距

13、离公式得=,得c=-9,l3的方程为2x-3y-9=0.,解法三:设P(x,y)是l3上任一点,则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P(-2-x,-4-y).,P在直线l1上,2(-2-x)-3(-4-y)+1=0.,整理得2x-3y-9=0.,【例4-2】已知直线l1:2x+y-4=0,求l1关于直线l:3x+4y-1=0对称的直线l2的方程.,解:方法一:由得l1与l的交点为P(3,-2),显然P也在l2上.,设l2的斜率为k,又l1的斜率为-2,l的斜率为-,则=,解得k=-.,故l2的直线方程为y+2=-(x-3),即2x+11y+16=0.,方法二:在直线l1上取一点A(2,0),又设点A关于直线l的对称点为B(x0,y0),则,解得B.,故由两点式可求得直线l2的方程为2x+11y+16=0