沪科版八年级上册数学全册教案（2021年8月修订）

11.1平面内点的坐标

第1课时平面直角坐标系及点的坐标

1.理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念，认识并能画出平面直角

坐标系；

2.理解各象限内及坐标轴上的点的坐标的特征；（重点）

3.会用象限或坐标轴说明直角坐标系内点的位置，能根据点的位置确定横、纵坐标的

符号.（难点）

教暮速B

一、情境导入

我们已经学过了数轴，知道数轴上的点与实数一一对应，在建立了数轴之后，我们就可

以确定直线上点的位置，如图.

ACBD

-7-6-5-4-3-2-101234567

那么，如何确定平面内点的位置呢？

二、合作探究

探究点一：认识平面直角坐标系

颐1如图所示，点｛、点8所在的位置是（）

A.第二象限，y轴上

B.第四象限，y轴上

C.第二象限，x轴上

D.第四象限，x轴上

解析：根据点在平面直角坐标系中的位置来判定.点/在第四象限，点8在x轴正半轴

上.故选D.

方法总结：两坐标轴上的点不属于任何一个象限，象限是按逆时针方向排列的.

探究点二：各象限内及坐标轴上的点的坐标的特征

［类型一］已知点的坐标判断点所在的象限

胸口设点”（a,"为平面直角坐标系内的点.

（1）当a>0,伙0时，点M位于第几象限？

（2）当数>0时，点"位于第几象限？

（3）当a为任意有理数，且从0时，点"位于第几象限？

解析：（1）横坐标为正，纵坐标为负的点在第四象限；（2）由a»0知a,6同号，则点"

在第一或第三象限；（3）沃0,则点材在x轴下方.

解：（1）点材在第四象限；

（2）可能在第一象限（a>0,6>0）或者在第三象限（a〈0,80）；

（3）可能在第三象限（a<0,伙0）或者第四象限（a>0,伙0）或者y轴负半轴上.

方法总结：熟记各象限内点的坐标的符号特征：（+,+）表示第一象限内的点，（一，

十）表示第二象限内的点，（一，一）表示第三象限内的点，（+,一）表示第四象限内的点.

［类型二］根据点所在的象限求字母的取值范围

m在平面直角坐标系中，点P5,卬一2）在第一象限内，则以的取值范围是.

解析：根据第一象限内点的坐标的符号特征，横坐标为正，纵坐标为正，可得关于勿的

一元一次不等式组解得加>2.故答案为m>2.

\m-2>0.

方法总结:求点的坐标中字母的取值范围的方法：根据各个象限内点的坐标的符号特征，

列出关于字母的不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可求出相应字母的取值范围.

［类型三］坐标轴上点的坐标特征

硒！点小®+3,加+1）在x轴上，则4点的坐标为（）

A.（0,-2）B.（2,0）

C.（4,0）D.（0,-4）

解析：点4（勿+3,"/+1）在x轴上，根据x轴上点的坐标特征知0+1=0,求出0的值

代入卬+3中即可.故选B.

方法总结：坐标轴上的点的坐标特点：x轴上的点的纵坐标为0,y轴上的点的横坐标

为0.根据点所在坐标轴确定字母取值，进而求出点的坐标.

［类型四］由点到坐标轴的距离确定点的位置

碉已知点。到x轴的距离为2,到y轴的距离为1.如果过点尸作两坐标轴的垂线，

垂足分别在x轴的正半轴上和了轴的负半轴上，那么点一的坐标是（）

A.（2,-1）B.（1,-2）

C.（-2,-1）D.（1,2）

解析：由点一到x轴的距离为2,可知点P的纵坐标的绝对值为2,又因为垂足在y轴

的负半轴上，则纵坐标为一2：由点P到y轴的距离为1,可知点P的横坐标的绝对值为1,

又因为垂足在x轴的正半轴上，则横坐标为1.故点户的坐标是（1,-2）.故选B.

方法总结：本题的易错点有三处：①混淆距离与坐标之间的区别；②不知道与“点P到

x轴的距离”对应的是纵坐标，与“点尸到y轴的距离”对应的是横坐标；③忽略坐标的符

号出现错解.若本例题只已知距离而无附加条件，则点〃的坐标有四个.

［类型五］已知点的坐标在坐标系中描点

在如图的直角坐标系中描出卜列各点：

力（4,3）,夙一2,3）,<7（-4,-1）,〃（2,-3）.

解析：本题关键就是已知点的坐标，如何描出点的位置，以描点8(—2,3)为例，即在

x轴上找到坐标一2,过一2对应的点作x轴的垂线，再在y轴上找到坐标3,过3对应的点

作y轴的垂线，与前垂线的交点即为6(—2,3),同理可描出其他三个点.

解：如图所示:

方法总结：在直角坐标系中描出点P(a,6)的方法：先在x轴上找到数a对应的点M

在y轴上找到数6对应的点乂再分别由点材、点N作x轴、y轴的垂线，两垂线的交点就

是所要描出的点A已知坐标平面上的点的坐标，描出对应点的位置，反过来在坐标平面上

给一点，找出它对应的坐标，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键.

三、板书设计

‘定义：原点、坐标轴

平面直角坐标系［定义与符号特征

＜占的坐标(

及点的坐标八I点的坐标的确定

、描点

靖

通过平面直角坐标系的有关内容的学习，反映平面直角坐标系与现实世界的密切联系，

让学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用，提高学生参加数学学习的

积极性.

第11章平面直角坐标系

11.1平面内点的坐标

第1课时平面直角坐标系及点的坐标

一、教学内容

本节主要学习平面上点坐标的有关概念，能从平面直角坐标系中写出点的坐标，及能

根据坐标确定坐标中点的位置。

二、教学目标

1、通过实际.问题抽象出平面直角坐标系及其相关概念，使学生认识平面直角坐标系

原点、横轴和纵轴等，会由坐标描点，由点写出坐标；让学生体会到平面上的点与有序,

实数对之间的对应关系；

2、经历画平面直角坐标系，由点写出坐标和由坐标描点的过程，进一步渗透数形结

合的数学思想；

3、培养学生自主探究与合作交流的学习习惯。

三、教学重点

正确认识平面直角坐标系，会准确地由点写出坐标，由坐标描点。

四、教学难点

各象限内坐标的符号及各坐标轴上点坐标的特点，平面上的点与有序实数对之间的对

应关系。

五、教学关键：充分体会有序实数对在实际中的应用

六、教学准备：多媒体教学课件.、三角尺

七、教学方法：探讨、合作

八、教学过程：

（-）设置问题情境：

1、回顾一下数轴的概念，及实数与数轴有怎样的关系？（学生回答）

2、情境：（多媒体显示）

BA

----------1~1~।~।_।_1__!----»

-2—101234

(1)如图所示请指出数轴上A、B两点所表示的数；直线表一条笔直公路，向冻为

正方向，原点为学校位置，A、B是位于公路旁两学生家的位置，你能说出它们的位置吗？

这说明了什么？

引申：确定一个点在直线上的位置，只需要一个数据，这个实数可称为点在数轴上

的坐标。怎样确定平面上一个点的位置呢？

(2)上电影院看电影，电影票上至少要有几个数据才能确定你的位置?

(3)在教室里，怎样确定一个同学的位置？

(二)观察交流，构建新知

北

中

山

书球事枭北小丽能根据小明的

路提示从左图中找出音

北京东路

中乐喷泉的位置吗？

山

南

路

小明：音乐喷泉在中山北路

西边50米，北京西路北边30米。

观察、交流、思考，回答教科书第2页的两个问题。

思考：1、确定平面上一点的位置需要什么条件？

2、既然确定平面上一点的位置需要两个数，那么能否用两条数轴建立模型来

表示平面上任一点的位置呢？

教师在学生回答的基础上，边操作边讲出：为了确定平面上一个点的位置，我们先

在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，水平的数轴叫x轴或横轴，取向右为正

方向，垂直的数轴叫y轴或纵轴，取向上为正方向，两轴交点0为原点，这样就建立了

平面直角坐标系。这个平面叫做坐标平面。

有了坐标平面，平面内的点就可以用一个有序实数对来表示。

引导观察：如左图中点P可以这样表示：由

P向X轴作垂线，垂足M在X轴上的坐标是

-2,点P向y轴作垂线，垂足N在y轴的坐

p----3--N

标是3,于是就说点P的横坐标是-2,纵坐

2

标3,把横坐标写在纵坐标前面记作（-2,

1,A

M；

II3）,即P点坐标（-2,3）.

-2-10|

23引导练习：写出点A、B、C的坐标。

C

学生相互交流，得出正确答.案。

B

（强调点的坐标的有序性和正确规范书写）

教师提问：已知平面内任意一点，可以写出它

的坐标；反之，给出一点的坐标，你能在上图

中描出吗？

：I)E2）F（-4,-1）

（注意引导学生进行逆向思维）

教师提问：请同学们想「想：原点0的坐标、x轴和y轴上的点坐标有什么特点？

学生发现：0点坐标（0,0）,一轴上点的纵坐标为0,y轴上点横坐标为0。试一

试：描点：G（0,1）,H（1,0）（注意区别）

（三）观察思考，探究规律

教师讲解：两条坐标轴把坐标平面分成四个部分：右上部分叫第一象限，其他三个

部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限、和第四象限。坐标.轴不属于任何象限。

学生活动：观察、认知上图中各象限内已描出各点的坐标特点：第一、二、三、四

象限内的点的坐标符号分别是：（+,+）、（一，+）、（一，一）、（+,一）

（四）随堂练习

1、完成教材第3和第4页的1、2两个问题

2、多媒体展示的练习题。

（五）课堂小结：（投影显示，学生归纳）

本节课我们学习了平面直角坐标系。学习本节我们要掌握以下三方面的知识内容:

1、能够正确画出直.角坐标系。

2、能在直角坐标系中，根据坐标找出点，由点求出坐标。坐标平面内的点和有序实数

对是---对应的。

3、掌握象限点、.x轴及y轴上点的坐标的特征：

第一象限：（+,+）第二象限：（一，+）

第三象限：（一，一）第四象限：（+,-）

x轴上的点的纵坐标为0,表示为（x,0）

y轴上的点的横坐标为0,表示为（0,y）

（六）布置作业

1、习题11.1第1、2题

2补充：点P（m,4-m）是第二象限的点，求m的取值范围。

3、已知三点A（0,4）、B（-3,0）、C（3,0）现以A、B、C为顶点画平行四边形，写

出符合条件的D点坐标。

第2课时坐标平面内的图形

i.在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置，并能求出顺次连接所得图形的

面积；(重点)

2.能建立适当的直角坐标系，描述图形的位置；(难点)

3.通过用直角坐标系表示图形的位置，使学生体会平面直角坐标系在实际问题中的应

用.

皴鲜速昌

一、情境导入

某小区里有一块如图所示的空地，打算进行绿化，小明想请他的同学小慧提一些建议,

小明要在电话中告诉小慧同学如图所示的图形，为了描述清楚，他使用了直角坐标系的知

识.你知道小明是怎样叙述的吗？

E3D

5-----------------B

2

c父A

二、合作探究

探究点一：在坐标平面内描点作图

硒I在平面直角坐标系中(每个小方格的边长为单位1)描出下列各点，并将各点用线

段依次连接起来：4(0,2),6(—1,-2),C(2,0),〃(一2,0),£(1,-2),4(0,2)；观

察得到的图形，你觉得它的形状像什么？

解析：根据网格结构找出各点的位置，然后顺次连接即可.

解：如图所示，形状像五角星.

方法总结：本题考查了坐标与图形性质，在平面直角坐标系中准确找出各点的位置是解

题的关键.

探究点二：坐标平面内图形面积的计算

砾如图，已知点/（2,-1）,8（4,3）,<7（1,2）,求△49C的面积.

Ay

解析：本题宜用补形法.过点/作X轴的平行线，过点C作y轴的平行线，两条平行线

交于点£,过点6分别作x轴、y轴的平行线，分别交用的延长线于点〃，交所的延长线

于点F,然后根据S△制=S长方即BM7-—S^m—S&CEA-S△即I即可求出△:ABC的面积.

解：本题宜用补形法.如图，过点/作X轴的平行线，过点C作y轴的平行线，两条平

行线交于点£,过点6分别作x轴、y轴的平行线，分别交原的延长线于点。，交用的延

长线于点五’."(2,-1),8(4,3),以1,2),:.BD=3,CD=1,CE=3,AE=1,AF=2,BF

111

=4,：.SNM-SQ总睡LS411K-Sncu-SABFA=BD、DE—jDC•DB—~CE•AE—~AF•BF=12—1.5

-1.5-4=5.

方法总结：主要考查如何利用简单方法求坐标系中图形的面积.已知三角形三个顶点坐

标，求三角形面积通常有三种方法：

方法一：直接法，计算三角形一边的长，并求出该边上的高；

方法二：补形法，将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差;

方法三：分割法，选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算面积的三角形.

探究点三：建立适当的直角坐标系描述图形的位置

［类型—］根据点的坐标确定直角坐标系

hrfrr

砸1右图是一个围棋棋盘（局部），把这个围棋棋盘放置在一个平面直角坐标系中，白

棋①的坐标是（一2,-1）,白棋③的坐标是（一1,-3）,则黑棋❷的坐标是.

解析：由已知白棋①的坐标是（-2,—1）,白棋③的坐标是（一1,—3）,可知y轴应在

从左往右数的第四条格线上，且向上为正方向，x轴在从上往下数第二条格线上，且向右为

正方向，这两条直线的交点为坐标原点，由此可得黑棋②的坐标是（1,-2）.故答案为（1,

-2）.

方法总结：根据点的坐标确定平面直角坐标系时，先将点的坐标进行上下左右平移得到

原点的坐标，过这个点的水平线为x轴、铅直线为y轴.

［类型二］根据几何图形建立直角坐标系并求点的坐标

硒！长方形的两条边长分别为4,6,建立适当的直角坐标系，使它的一个顶点的坐标

为（-2,-3）.请你写出另外三个顶点的坐标.

解析：以点（—2,—3）向右2个单位，向上3个单位建立平面直角坐标系，然后画出长

方形，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可.

解：如图建立直角坐标系，•••长方形的一个顶点的坐标为/（一2,—3）,.•.长方形的另

方法总结：由已知条件正确确定坐标轴的位置是解决本题的关键，当建立的直角坐标系

不同，其点的坐标也就不同，但要注意，一旦直角坐标系确定以后，点的坐标也就确定了.

三、板书设计

.在坐标平面内描点作图

坐标平面＜

坐标平面内图形面积的计算

内的图形

.建立适当的直角坐标系描述图形的位置

通过学习建立直角坐标系的多种方法，让学生体验数学活动充满着探索性与创造性，激

发学生的学习兴趣，感受数学在生活中的应用，增强学生的数学应用意识，让学生认识数学

与人类生活的密切联系，提高他们学习数学的兴趣.

12.1平面内点的坐标

第2课时坐标平面内的图形

教学思学习目标：

路1.在给定的平面直角坐标系中，会由坐标描点并按要求连线，识别图形，

(纠错计算面积。

栏)2.根据实际问题建立合理的直角坐标系解决一些简单的实际问题,发展数

形结合思想和运用数学解决问题的能力。

学习重点：描点、连线、看图、解决问题。

学习难点：正确认识坐标的形成，为画图做好准备。

☆自主学习☆

一、链接：

1.在直角坐标系中，各象限内的点的坐标符号有什么特点？

己知点M3a—9,1—a)在第三象限,且它的坐标都是整数，则a

k

4

2.在图1中，描出下列各点：

A(-3,-3)B(2.5,0)

C(1.5,1)D(2,-3.5)A

104X

E(0,4)F(-3,1)

-Z

-4

图1

二、导读：认真预习课本，思考以下题目：

1.计算三角形、平行四边形的面积公式是什么？

关键是怎样在坐标平面内找到它们的底和高？

如果遇到不规则的图形怎么办？

2.你看到一个有趣的多边形图，而你的好同学没看到，你怎审专用坐标方法

向他描述，让他能准确地画出这个图形呢？

☆合作探究☆

1.建立平面直角坐标系，并描出下列各点：

A(2,0),B(l,3),C(-2,-2),D(l,-2)；然后依次连接A-B-C-C

-A；

请你观察一下，得到的是什么图形，算出它的面积.

2.在如图所示的直角坐标系中，四边形ABCD的各个顶点的坐标分别是

A(0,0),B(2,5),C(9,8),D(12,0)求出这个四边形的面积.

☆归纳反思☆

通过本节课的学习，我有以下收获：

1.在坐标系中，求多边形的面积,常通过向坐标轴作垂线,将多边形分割成直

角三角形、直角梯形、长方形等的面积和继续计算.

2.___________________________________________________________

☆达标检测☆

1.坐标平面内点M(a,6)在第三象限，那么点N(6,—a)在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.点P(加，4-«)是第二象限的点，求m的取值范围.

3.如图，三角形A0B中，A,B两点的坐标分别为(2,4),(6,2),求三角形

A0B的面积.

4.如图4,这是某市部分简图，小明现在的位置是在火车站，若小明想到图

中其他几个地方去，请你用电话准确告诉他，试试看！

11.2图形在坐标系中的平移

教学BH

1.使学生掌握平面直角坐标系中的点或图形平移引起的点的坐标的变化规律；（重点、

难点）

2.使学生看到平面直角坐标系是数与形之间的桥梁，感受到代数与几何的相互转化，

初步建立空间观念.

投卷逾a

一、情境导入

同学们会下棋吗？棋子的移动，什么在变，什么不变？那么在棋盘上推动棋子是否可以

看成图形在平面上的平移？

二、合作探究

探究点一：平面直角坐标系中点的平移

硒I将点（1,2）向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到对应点的坐标是

解析：向左平移1个单位，横坐标减1,向下平移2个单位，纵坐标减2,于是点（1,

2）变为（0,0）.故答案为（0,0）.

方法总结：根据平移前后图形的坐标关系：①上加下减（纵坐标变化），左减右加（横坐

标变化）.②正加负减，即向x（y）轴正方向平移，横（纵）坐标增加；负方向平移，横（纵）坐

标减小.

探究点二：平面直角坐标系中图形的平移

［类型一］已知平移方向与距离，确定平移后图形的位置

砾如图，将三角形4%先向下平移5个单位，再向左平移3个单位得到三角形

A'B'C,求三角形/S'C的顶点坐标，并画出三角形4B'C.

解析：按照点的平移规律求出平移后点的坐标，向下平移5个单位，即横坐标不变，纵

坐标减5;向左平移3个单位，即纵坐标不变，横坐标减3,再画出图形即可.

解：用箭头表示平移，则有：

4(3,5)-(3,0)f(0,0),

8(0,3)f(0,—2)-*B'(—3,—2),

C(2,0)-*(2,—5)-*C'(—1,-5).

画出三角形HB'C如上图.

方法总结：画平移后的图形，应先求出平移后各关键点的坐标，再描点连线即可.

【类型二］由坐标的变化确定平移过程

砸1在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的平行四边形/腼，点力的坐

标是(0,2).现将这张胶片平移，使点4落在点4(5,—1)处，则此平移可以是()

A.先向右平移5个单位，再向下平移1个单位

B.先向右平移5个单位，再向下平移3个单位

C.先向右平移4个单位，再向下平移1个单位

D.先向右平移4个单位，再向下平移3个单位

解析：由点4(0,2)变化到点"(5,一1)知横纵坐标的变化规律，可得出平移方向与

距离，即由横坐标加5,纵坐标减3,得出此平移可以是先向右平移5个单位，再向下平移

3个单位.故答案为B.

方法总结：①可用排除法，对照备选选项，逐一分析，选择出正确答案.②由坐标定平

移口诀：坐标变化定平移，横变纵定左右移，横坐标变大向右移，纵变横定上下移，纵坐标

变大向上移，横变纵变两次移.③左右(上下)平移的距离，就是平移前后两点横(纵)坐标差

的绝对值.

三、板书设计

纵坐标不变

丁工,《横坐标加上一个正数O向右平移

图形在坐平移

l横坐标减去一个正数C向左平移

标系中的V

，,J横坐标不变

平移沿n海

《纵坐标加上一个正数O向上平移

平移

［纵坐标减去一个正数O向下平移

本节课的教学过程中，无论是从情境中引入，还是对新知的探究及拓展，始终在努力调

动学生学习的积极性.通过探究归纳出点或图形的平移引起的点的坐标的变化规律，积累数

学活动经验，提高学生科学思维素养；体验数学活动充满探索性与创造性，激发学生学习数

学的兴趣，使学生经历数学思维过程获得成功体验.

11.2图形在坐标系中的平移

教学BH

1.使学生掌握平面直角坐标系中的点或图形平移引起的点的坐标的变化规律；（重点、

难点）

2.使学生看到平面直角坐标系是数与形之间的桥梁，感受到代数与几何的相互转化，

初步建立空间观念.

投卷逾a

一、情境导入

同学们会下棋吗？棋子的移动，什么在变，什么不变？那么在棋盘上推动棋子是否可以

看成图形在平面上的平移？

二、合作探究

探究点一：平面直角坐标系中点的平移

硒I将点（1,2）向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到对应点的坐标是

解析：向左平移1个单位，横坐标减1,向下平移2个单位，纵坐标减2,于是点（1,

2）变为（0,0）.故答案为（0,0）.

方法总结：根据平移前后图形的坐标关系：①上加下减（纵坐标变化），左减右加（横坐

标变化）.②正加负减，即向x（y）轴正方向平移，横（纵）坐标增加；负方向平移，横（纵）坐

标减小.

探究点二：平面直角坐标系中图形的平移

［类型一］已知平移方向与距离，确定平移后图形的位置

砾如图，将三角形4%先向下平移5个单位，再向左平移3个单位得到三角形

A'B'C,求三角形/S'C的顶点坐标，并画出三角形4B'C.

解析：按照点的平移规律求出平移后点的坐标，向下平移5个单位，即横坐标不变，纵

坐标减5;向左平移3个单位，即纵坐标不变，横坐标减3,再画出图形即可.

解：用箭头表示平移，则有：

4(3,5)-(3,0)f(0,0),

8(0,3)f(0,—2)-*B'(—3,—2),

C(2,0)-*(2,—5)-*C'(—1,-5).

画出三角形HB'C如上图.

方法总结：画平移后的图形，应先求出平移后各关键点的坐标，再描点连线即可.

【类型二］由坐标的变化确定平移过程

砸1在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的平行四边形/腼，点力的坐

标是(0,2).现将这张胶片平移，使点4落在点4(5,—1)处，则此平移可以是()

A.先向右平移5个单位，再向下平移1个单位

B.先向右平移5个单位，再向下平移3个单位

C.先向右平移4个单位，再向下平移1个单位

D.先向右平移4个单位，再向下平移3个单位

解析：由点4(0,2)变化到点"(5,一1)知横纵坐标的变化规律，可得出平移方向与

距离，即由横坐标加5,纵坐标减3,得出此平移可以是先向右平移5个单位，再向下平移

3个单位.故答案为B.

方法总结：①可用排除法，对照备选选项，逐一分析，选择出正确答案.②由坐标定平

移口诀：坐标变化定平移，横变纵定左右移，横坐标变大向右移，纵变横定上下移，纵坐标

变大向上移，横变纵变两次移.③左右(上下)平移的距离，就是平移前后两点横(纵)坐标差

的绝对值.

三、板书设计

纵坐标不变

丁工,《横坐标加上一个正数O向右平移

图形在坐平移

l横坐标减去一个正数C向左平移

标系中的V

，,J横坐标不变

平移沿n海

《纵坐标加上一个正数O向上平移

平移

［纵坐标减去一个正数O向下平移

本节课的教学过程中，无论是从情境中引入，还是对新知的探究及拓展，始终在努力调

动学生学习的积极性.通过探究归纳出点或图形的平移引起的点的坐标的变化规律，积累数

学活动经验，提高学生科学思维素养；体验数学活动充满探索性与创造性，激发学生学习数

学的兴趣，使学生经历数学思维过程获得成功体验.

12.1函数

第1课时变量与函数

i.了解常量与变量的含义，能分清实例中的常量与变量；初步理解函数的概念，了解

自变量与函数的意义；（重点）

2.通过动手实践与探索，让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，以提高分析

问题和解决问题的能力；

3.引导学生探索实际问题中的数量关系，培养对学习的兴趣和积极参与数学活动的热

情.（难点）

一、情境导入

在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题.如图是某地一天内的气

温变化图.

从图中我们可以看到，随着时间力（时）的变化，相应地气温7CC）也随之变化.那么在

生活中是否还有其他类似的数量关系呢？

二、合作探究

探究点一：变量与常量

硒I写出下列各问题中的关系式中的常量与变量：

（1）分针旋转一周内，旋转的角度〃（度）与旋转所需要的时间认分）之间的关系式n=

6r；

（2）一辆汽车以40千米/时的速度向前匀速直线行驶时，汽车行驶的路程s（千米）与行

驶时间t（时）之间的关系式s=40t.

解析：根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为

常量，即可答题.

解：（1）常量：6,变量：n,t；

⑵常量:40,变量：s,t.

方法总结：确定在该过程中哪些量是变化的，而哪些量又是不变的，数值发生变化的量

为变量，数值始终不变的量称之为常量.

探究点二：函数的相关概念

【类型一】识别函数

砾下列关系式中，哪些y是x的函数，哪些不是？

(1)尸*;(2)尸f+z；(3)/=x；⑷尸±4

解析：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次

看每一个x的值是否对应唯一确定的y值.

解：(1)此关系式只有两个变量，且每一个x值对应唯一的一个y值，故y是x的函数；

(2)此关系式中有三个变量，因此y不是x的函数；

(3)此关系式中虽然只有两个变量，但对于每一个确定的x值(x〉0)对应的都有2个y

值，如当x=4时，y=±2,故y不是x的函数；

(4)对于每个确定的x值(x〉0)对应的都有2个y值，如当x=9时，了=±3,故y不是

x的函数.

方法总结：由函数的定义可知在某个变化过程中，有两个变量x和y,对于每一个确定

的“值，y值都有且只有一个值与之对应，当“值取不同的值时，y的值可以相等也可以不

相等，但如果一个x的值对应着两个不同的y值，那么了一定不是x的函数.根据这一点，

我们可以判定一个关系式是否表示函数.

［类型二］判断函数关系

胸❸判断下列变化过程中，两变量存在函数关系的是()

A.x,y是变量，尸±25

B.人的身高与年龄

C.三角形的底边长与面积

D.速度一定的汽车所行驶的路程与时间

解析：选项A中根据x每取一个值y有两个值与其对应，故不存在函数关系，故此选项

错误；

选项B中人的年龄变但身高不一定变，故人的身高与年龄不存在函数关系，故此选项错

伏；

选项C中高不能确定，共有三个变量，故不存在函数关系，故此选项错误；

选项D中速度一定的汽车所行驶的路程与时间，存在函数关系，故此选项正确.故选D.

方法总结：判断函数关系时，应先看问题中是否仅有两个变量，再看一个变量是否随着

另一个变量的变化而变化，最后看给定一个自变量的值，因变量的值是否有唯一的值与它对

应.

［类型三］自变量和因变量

mA,6两地相距50千米，明明以每小时5千米的速度由1到B,若他与点8的距离

为y,到的时间为*请你写出在这个变化过程中的自变量和因变量.

解析：因为这个变化过程中，他与点8的距离为y随时间的变化而变化的，所以自变量

是时间x,因变量是他与点8的距离y.

解：在这个变化过程中，自变量是时间x,因变量是他与点8的距离二

方法总结：在判断自变量和因变量时，要分清哪个量是主动变化的，哪个量是被动变化

的，主动变化的量是自变量，被动变化的量是因变量.

【类型四】求函数值

3

（W0根据下图所示的程序计算变量y的值，若输入自变量X的值为玄则输出的结果是

）

7913

A.~B.-C.-D.-

3

解析：根据输入的数所处的范围，应将*=引代人尸一x+2,即可求得y的值.x=

3331

1<XW2,则将x=5代入y=—x+2,得尸一j+2=].故选C.

方法总结：（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，

而对应的自变量可以是多个.（2）函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代

入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的

值.

三、板书设计

变量与函数

错误！

变量和函数是用来描述我们所熟悉的变化的事物以及自然界中出现的一些变化现象的

两个重要的量，对于我们所熟悉的变化，在用了这两个量的描述之后更加鲜明.函数的概念

是学好本章的基础，教学中立足于学生的认知基础，激发学生的认知冲突，提升学生的认知

水平，使学生在原有的知识基础上迅速迁移到新知上来.

第12章一次函数

12.1函数

第1课时变量与函数

一、素质教育目标

（-）知识教学点：

1.使学生了解函数的意义，会举出函数的实例，并能写出简单的函数关系式；

2.了解常量、变量的意义，能分清实例中出现的常量，变量与启变量和函数.

（二）能力训练点：培养学生观察、分析的能力.

（三）德育渗透点：

1.通过常量、变量、函数概念的学习，培养学生会运用运动”变化的观点思考问

题；2.通过例题向学生进行生动具体的知,识来源于实践反过来又作用于实践的辩证

唯物主义教育；

3.通过函数的教学，使学生体会事物是互相联系和有规律变化着的.

二、教学重点、难点和疑点

1.教学重点：是在了解函数、常量、变量的基础上，能指出实例中的常量、变量，

并能写出简单的函数关系式.因为函数关系式是画函数图象的基础.

2.教学难点：是对函数意义的正确理解.因为它是判断一个式子是否是函数的依

据.

3.教学疑点：

①常量中写不写1;

②常量的数值包不包括号；

③x=4中的常量是6还是

三、教学步骤

（-）明确目标

在前面我们已经知道本章将学习有关一种量随另一种量变化的一些基本问题，这其实

是函数问题.今天这节课我们就来学习数学中的一个重要的基本概念一一函数.

（二）整体感知

请同学们先看两个实际问题：（出示幻灯）

问题1:某粮店在某一段时间内出售同一种大米，请大家思考：在整个的售米过程中

出现了哪些量？其中哪些量是变化的？这其中有没有不变的量？

由学生.讨论，回答.

答：共出现了米的千克数、每千克米的价格、总价三个量，其中千克数和总价是随着

顾客的需购量的不同而变化的，但每千克米的价钱即单价是不变的.

问题2：我们生活在美丽的海滨城市，我们知道大海的脾气是捉摸不透的，她有时暴

躁不安，有时却温柔善良.试想，当海上,风平浪静时，若我们将一块石头投入海中，我们

将会发现水面上有怎样的变化？

答：水面上出现一圈圈圆形的水波纹，如图13-6.（出示幻灯）

那么，在这一变化过程中，圆的半径r,周长C和面积S是怎样变化的呢？圆的周长

和直径2r的比值又是怎样的呢？

第一个问题很简单，学生可直接得到答案，针对第二个问题的回.答结果可再提问：你

是怎样得到圆的周长和直径2r的比值是不变的呢？这个比值是什么呢？

由上面的两个例子我们可以看到，在某一具体过程中有些量是可以取不同的数值的，

如以.上两例中的大米的千克数、总价、圆的半径r周长C以及面积S,我们称之为变量；

而有些量在整个过程.中都保持不变，例如米的单价与圆周率“，我们称之为常量.

但请大家注意：常量和变量并不是绝对的，而是相对的.例如：（出示幻灯）

（1）从大连到北京，如果我们乘坐火车，且火车的速度保持不变，在这一过程中，

哪些量是变量，哪些量是常量？

这个问题的答案有很多种，引导学生回答：随着时间的不同，距北京的距离不同；但

速度是不变的.

（2）从大连到北京，如果我们一部分人坐火车，一部分人乘飞机，在这一过程中，

哪些量是变量，那些量是常量？

引导学生回答：距离不变，但随着两种交通工具速度的不同，到北京的时间也不同.

这两个问题都可由学生讨论、回答.通过这两个问题可以向学生进行对立统一的辩证

唯物主义教育.

在日常生活中，工农业生产和科学实验中，常量和变量是普遍存在的，但数学所要研

究的是某一变化过程中的两个量之间的关系，即它们是怎样互相制约、互相联系的.例

如：大米的千克数与总价，圆的半径与面积之间的关系，这就是我们今天要学习的数学中

一个很重要的基本概念一一函数.

现在，我们就来研究什么叫函数？

首先，我们来看问题1:在售米的过程中，米的千克数和总价，这两个量有什么关系？

给学生一定的时间讨论，由学生回答后加以总结：对于米的千克数，每确定一个值，

就有唯一的总价与它相对应.

提问：(1)大家试想，若每千克大米售价2.40元，我们用字母n表示大米的千克

数，字母m表示总价，那么n与m之间有怎样的关系式呢？

(2)若买5千克大米，应付多少钱？若买25千克大米呢？

这两问主要是为了让学生从实际问题体会，一下对应的关系.

再来看问题2：(1)请大家考虑，若已知圆的半径为r,我们应怎样计算它的面积

呢？

(2).半径r与面积S有怎样的关系呢？

总结.：对于每一个半径r的值，面积S都有唯一的确定值与它相对应.

类似于这种变量间相互依存的关系还有很多，我们就不再一一例举.由上面两个例子

中的共同特点，你能否总结出函数的概念呢？

教师提出问题之后，先由学.生讨论，再由一名同学给出他的叙述方式，交由大.家讨

论，若完全正确，则教师可以加以肯定表扬之后，再强调其中的，关键词语，然后板书；若

回答的不完善，可由其他同学再接着补充，直到补充正确、完整之后(若学生不能总结完

整，教师可适当给以提问性的铺垫)再强调关键词语，然后板书.此处是本节课的重点和

难点，一定不能操之过急.

板书：一般地，设在一个变化过程中有两个量x与y,如果对于x的每一个值，y都

有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.

2

例1用总长为60nl的篱笆围成矩形场地，求矩形面积S(m)与一边长L(m)之间

的关系式，并指出式中的常量与变量，函数与自变量.(出示幻灯)

此题较简单，可由学生独立完成，完成之后，可适当给予几个数值加以计,算，强化学

生对定义中“唯一的”的理解.

练习：1,2,3.口答.

2.补充：（出示幻灯）

下列表达式是函数吗？若是函数，指出自变量与函数，若不是函数,，请说明理由：

（l）y=2x+3；（2）y=-^—■；（3）y=Jx-2；（4）x2+y2=1.

x-1

由学生加以讨论回答.

答：（1）,、（2）、（3）是函数，其中x是自变量，y是x的函数；

（4）不是函数.因为对于每一个x的值，y不是有唯一.的值与它对应.（注意学生

在说明原因时的语言，一定要正确.）

提问：由练习（4）说明了什么问题？

（三）重点、难点的学习与目标完成过程

函数的概念是本章的一个重点，而函数的概念又是从两个量之间的关系得到的，因此

本节课从两个实际问题入手，首先让学生分清什么是常量，什么是变量，接着让学生总结

变量之间的关系，从而得出函数的概念，为.了使学生能正确地理解函数的概念中的“唯一

的”这三个字的含义，可给出数字，让学生代入式子中加以验证，最后又给出一道补充练

习题，让学生能更深层次地理解这.个概念.

（四）总结、扩展

.教师提问，学生思考回答：

1.这节课我们主要学习了哪些知.识？

2.你能否举出函数的例子？

这个问题的答案不确定，主要是为了让学生熟悉函数的概念，在学生举例的过程中，

若发现问题，应及时加以纠正.

3.这节课我们还学习了常量和变量，请你回答：自变量和函数是什么量？

四、布置作业

第2课时函数的表示方法

1.了解和掌握函数表示方法中的列表法、解析法和图象法，理解这三种表示方法的优

缺点；

2.体会用描点法画函数图象的一般步骤，初步掌握用描点法画函数图象；（重点）

3.理解和掌握函数中自变量取值范围的确定，能用这种表示函数的方法解决简单的实

际问题；

4.能从函数的图象中获得相关的信息，能结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化

规律进行初步预测.（难点）

一、情境导入

汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶里程为skm,行驶时间为小.

先填写下表：

-h|1|2|3|4|5|

s/km

在以上这个过程中，变化的量是,不变化的量是.试用含力的式子表

示s.

二、合作探究

探究点一：自变量的取值范围

硒1函数y=正毕中，自变量x的取值范围是（）

A.%>—2且xWlB.且xWl

C.入》一2且xWlD.x^\

解析：根据算术平方根的性质和分式的意义，被开方数大于等于0,分母不为0,列不

x+2》0,

等式组可求得自变量x的取值范围.根据题意得解得x2一2且故选C.

[*一1r0,

方法总结：函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑：①当函数表达式是整式时，自

变量可取全体实数；②当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0;③当函数表达式

有算术平方根的表达式时，考虑被开方数为非负数.在实际问题中，自变量的取值还要使实

际问题有意义.

探究点二：列表法和解析法

【类型一】列表法

«一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s（m）与

时间Ms）的数据如下表：

时间/（S）1234・・・

距离s（m）281832・・・

写出用t表示s的函数表达式：.

解析：观察表中给出的t与s的对应值，再进行分析，归纳得出函数表达式.1=1时,

s=2X/；［=2时，s=2X2*t=3时,s=2X32;t=4时,s=2X42;…，所以s与t的

函数表达式为s=2备其中t20.故答案为s=2/(t20).

方法总结：本题以列表法表示时间t