2025年高考数学考试易错题专题01集合与常用逻辑用语(学生版+解析)

专题01集合与常用逻辑用语目录题型一：集合易错点01忽视集合中元素的互异性易错点02未弄清集合的代表元素易错点03遗忘空集题型二常用逻辑用语易错点04判断充分性必要性位置颠倒易错点05由命题的真假求参数的取值范围题型一：集合易错点01：忽视集合中元素的互异性典例（24-25高三上·云南·期中）已知集合，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用子集关系来求解参数，最后要检验元素的互异性.【详解】因为，所以，由，所以或，解得或或1，经检验集合中元素的互异性，把或舍去，所以.故选：A.【易错剖析】本题易忽略集合元素的互异性而错选D.【避错攻略】类型1集合与元素关系的判断(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．【提醒】若集合是有限集，可将集合中的元素化简并一一列出，再与有限集内的元素进行逐个对照，确定是否存在与其相等的元素，进而判断集合与元素的关系；若集合是无限集，可将元素变形，看能否化为集合中元素的形式，也可以代入集合的约束条件，判断是否满足，若满足则属于该集合，否则不满足.类型2根据元素与集合以及集合间关系求参数第一步：求解，根据集合中元素的确定性，解出字母的所有取值；第二步：检验，根据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验；第三步：作答，此处所有符合题意的字母取值（范围）.易错提醒：集合中元素的三个性质，一定要理解透彻并掌握其基本作用：(1)确定性：判断对象能否构成集合的依据．(2)互异性：常用于检验解的合理性，如求解集合中元素含有参数的问题，先根据其确定性列方程，求出值后，再根据其互异性检验．(3)无序性：常用于判断集合相等．1．（24-25高三上·湖南长沙·期中）已知集合.若，则实数的取值集合为（

）A． B．C． D．2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若，则中所有元素之和为（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知集合，，若中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为（

）A． B． C． D．1．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则满足的实数a的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（

）A．2 B．3 C．0或3 D．3．（2024·四川攀枝花·二模）已知集合，若，则实数a组成的集合为（

）A． B． C． D．4．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知，集合，，若，且的所有元素和为12，则（

）A． B．0 C．1 D．25．已知，，若集合，则的值为（

）A．-2 B．-1 C．1 D．26．（24-25高三上·四川成都·期中）已知集合，若对都有，则为（

）A．1 B． C．2 D．1或27．已知为实数，，集合中有一个元素恰为另一个元素的倍，则实数的个数为（

）A． B． C． D．8．（2024·贵州·模拟预测）已知集合，，，若，则的子集个数为（

）A．2 B．4 C．7 D．89．（多选）（24-25高三上·江西新余·阶段练习）若集合，则实数的取值可以是（

）A．2 B．3 C． D．510．（多选）（23-24高三上·福建宁德·期中）设集合，，且，则的值可以为（

）A． B．3 C．0 D．111．（2024·安徽·三模）已知集合，若的所有元素之和为12，则实数.易错点02：未弄清集合的代表元素典例（2024·湖南衡阳·一模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据对数型函数求值域得A，根据二次函数求得函数定义域得B，根据交集运算得解.【详解】为函数的值域，令或，，为函数的定义域，即，因为，所以函数定义域为，故，故选：D.【易错剖析】本题易忽略集合的代表元素，没有注意到集合A表示的是函数的值域，而集合B表示的是函数的定义域而出错.【避错攻略】在进行集合间运算时，常用的方法为列举法和赋值法：方法1列举法列举法就是通过枚举集合中的所有元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法。【具体步骤】第一步：定元素，确定已知集合中的所有元素，利用列举法或画数轴写出所有元素或范围；第二步：定运算，利用常见不等式或等式解未知集合；第三步：定结果。方法二：赋值法高考对集合的基本运算的考查以选择题为主,所以我们可以利用特值法解题,即根据选项之间的明显差异,选择一些特殊元素进行检验排除,从而得到正确选项.【具体步骤】第一步：辨差异，分析各选项,辨别各选项的差异；第二步：定特殊，根据选项的差异,选定一些特殊的元素；第三步：验排除，将特殊的元素代入进行验证，排除干扰项；第四步：定结果，根据排除的结果确定正确的选项。易错提醒：在进行集合的运算时，一定要先观察集合的代表元素，因为代表元素决定了集合的性质，通过集合的代表运算可以确定集合是数集还是点集、代表元素是实数还是整数，另外在进行补集运算时，一定要注意全集的性质，不要想当然的认为是R.1.（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知集合，，则（

）A． B． C． D．[1，4]2.（24-25高三上·江苏盐城·期中）已知集合，，则（

）A．A B．B C． D．3.（24-25高三上·山东·期中）集合，，则（

）A． B． C． D．1．（2024·浙江温州·模拟预测）设集合，，则（

）A． B．C． D．2．（24-25高三上·陕西汉中·期中）已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．3．（2024·广东肇庆·一模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．4．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知集合，，则的元素个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．无数5．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．6.（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）设，，则（）A． B． C． D．7.（24-25高三上·山东济宁·期中）已知集合，，则（

）A． B． C． D．易错点03：遗忘空集典例（24-25高一上·重庆万州·期中）已知集合，，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由并集的定义可知得到，讨论集合是否为空集，得到对应的参数的范围，再求并集得到结果.【详解】因为，所以.若，则，即；若，则解得.综上所述，的取值范围是.故选：B【易错剖析】因为空集是任何集合的子集，根据包含关系求参数时一定分析集合为空集的情况，本题易忽略对的讨论而错选C..【避错攻略】1.当已知求参数时，一定要分析集合为空集的情况；2.若集合为不等式的解集，往往借助于数轴进行分析；【具体步骤】第一步：化简，化简所给集合；第二步：画图，用数轴表示所给集合；第三步：列示，根据集合端点间关系列出不等式(组)；第四步：求解，解出不等式(组的解；第五步：检验，通过返回代入验证端点是否能够取到.3.若集合为正整数集或抽象集合，可借助于韦恩图分析，若集合是点集，可借助于曲线的图像分析.易错提醒：已知集合关系求参数时，除去要分析空集的情况，还一定要分析端点值能否取得，可采用代入检验的方法加以区分，避免出错.1.集合，，若，则实数a的取值集合为（

）A． B． C． D．2.设集合，集合，若，则实数的取值范围为（

）A． B．C．D．3.（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）设集合，.(1)若，求的取值范围.(2)若，求的取值范围.1．（2024·河南·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．设集合，，若，则（

）A． B． C． D．3．（23-24高一上·广东肇庆·阶段练习）已知，集合，，，则实数（

）A．或 B．或0 C．或0 D．或或04．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）集合，，且，则实数的取值范围为（

）A．或 B． C． D．5．（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合.若则实数m的取值范围为（

）A． B． C．或 D．6．已知集合，，若，则实数a取值集合为（

）A． B． C． D．7．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知集合，若，则实数取值范围为（

）A． B． C． D．8．（24-25高三上·上海青浦·阶段练习）已知集合，，若，则m的取值范围是．9．（24-25高三上·河北·阶段练习）已知集合，若，则m的取值范围是.10．（24-25高三上·河南·开学考试）已知集合，若，则实数的取值范围为.11．（2024·江苏常州·三模）集合，，若，则实数m的取值范围为．题型二：常用逻辑用语易错点04：判断充分性必要性位置颠倒典例命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】求解命题“”为真命题时，即可根据真子集求解命题“”为真命题,则对恒成立，所以，故，所以命题“”为真命题的充分不必要条件需要满足是的真子集即可，由于是的真子集，故符合，故选：D【易错剖析】本题易混淆A是B的充分条件和A的充分条件是B的区别而出错.【避错攻略】1掌握充分、必要条件的概念及类型(1)如果pq，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果pq，但q⇏p，则p是q的充分不必要条件；(3)如果pq，且qp，则p是q的充要条件；(4)如果qp，且p⇏q，则p是q的必要不充分条件；(5)如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分又不必要条件.【解读】p是q的充分条件，是指以p为条件可以推出结论q，但这并不意味着由条件p只能推出结论q．一般来说，给定条件p，由p可以推出的结论是不唯一的．“p是q的充分条件”与“q是p的必要条件”表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同．（3）p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”，要判断p是否为q的充要条件，需要进行两次判断：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p．若p能推出q，q也能推出p，就可以说p是q的充要条件，否则，就不能说p是q的充要条件．2.灵活运用判断充分、必要条件的方法(1)定义法：直接利用定义进行判断；(2)图示法：多个条件间关系的判断时，可以用用“⇔”、“⇒”、“⇐”将条件彼此相连，然后再判断它们之间的关系.(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合,那么若p⊆q,则p是q的充分不必要条件；若p⊇q,则p是q的必要不充分条件；若p＝q,则p是q的充要条件,尤其对于数的集合,可以利用小范围的数一定在大范围中,即小⇒大,会给我们的解答带来意想不到的惊喜．(4)举反例：要说明p是q的不充分条件,只要找到x0∈{x|p},但x0∉{x|q}即可．易错提醒：在判断充分、必要条件时，一定要先对条件进行等价化简，然后再结合合适的方法进行判断，为避免位置颠倒出错，可先用推出符号标注好判断的方向再进行分析.1.已知命题：，，则为真命题的一个充分不必要条件是（）A． B． C． D．2.（24-25高三上·云南·期中）“，”成立的充分必要条件是（

）A． B． C． D．3.（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．1．（24-25高三上·青海西宁·期中）已知，，则使成立的一个充分条件是（

）A． B．C． D．2．使“”成立的一个充分不必要条件是（

）A．， B．，C．， D．，3．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知，使成立的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）直线与圆有公共点的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．5．（2024·天津和平·二模）若，下列选项中，使“”成立的一个必要不充分条件为（

）A． B． C． D．6．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线，和平面，，，，则的必要不充分条件是（

）A． B． C． D．7．（2024·四川成都·模拟预测）已知，为实数，则使得“”成立的一个必要不充分条件为（

）A． B．C． D．8．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）设.下列选项中，的充要条件是（

）A． B． C． D．9．（24-25高三上·山东德州·期中）已知：，：，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．10．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（

）A． B． C． D．11．（24-25高三上·辽宁·期中）已知集合，集合，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．易错点05：由命题真假求参数范围典例（24-25高三上·福建龙岩·期中）命题“”为假命题，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】存在性命题为假等价于“”为真，应用参变分离求解即可.【详解】解：因为命题“”为假命题等价于“”为真命题，所以，所以只需.设，则在上单增，所以.所以，即.故选：A【易错剖析】对全称量词和存在量词理解不到位，不能在恒成立和有解之间进行合理的转化而出错.【避错攻略】1.根据命题的真假求参数的取值范围的方法步骤:第一步：先判断命题是恒成立问题还是有解（存在）问题;第二步：转化为函数的最值问题或方程解的问题;第三步：求解参数的取值范围.2.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.易错提醒：写出命题的否定，然后再根据否命题的真假求参数，是等价转化思想在解题过程中的运用，可以有效避免命题为假不易判断的问题.1.（23-24高三下·广东·开学考试）已知，；，．若为假命题，为真命题，则的取值范围为（

）A． B．C． D．2.（24-25高三上·河南·阶段练习）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．3.（24-25高三上·江西·阶段练习）命题“，使（且）成立”是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．1．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2024·四川·模拟预测）已知命题“”为真命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知命题p：，；q：，.均为真命题，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2024·四川凉山·二模）已知命题“，”是假命题，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．5．（24-25高三上·江苏南通·期中）若命题“，不等式成立”是假命题，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（24-25高三上·福建·阶段练习）命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．7．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知命题p：．若p是假命题，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立.(1)若为真命题，求实数的取值范围；(2)若命题与命题至少有一个是真命题，求实数的取值范围.专题01集合与常用逻辑用语目录题型一：集合易错点01忽视集合中元素的互异性易错点02未弄清集合的代表元素易错点03遗忘空集题型二常用逻辑用语易错点04判断充分性必要性位置颠倒易错点05由命题的真假求参数的取值范围题型一：集合易错点01：忽视集合中元素的互异性典例（24-25高三上·云南·期中）已知集合，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用子集关系来求解参数，最后要检验元素的互异性.【详解】因为，所以，由，所以或，解得或或1，经检验集合中元素的互异性，把或舍去，所以.故选：A.【易错剖析】本题易忽略集合元素的互异性而错选D.【避错攻略】类型1集合与元素关系的判断(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．【提醒】若集合是有限集，可将集合中的元素化简并一一列出，再与有限集内的元素进行逐个对照，确定是否存在与其相等的元素，进而判断集合与元素的关系；若集合是无限集，可将元素变形，看能否化为集合中元素的形式，也可以代入集合的约束条件，判断是否满足，若满足则属于该集合，否则不满足.类型2根据元素与集合以及集合间关系求参数第一步：求解，根据集合中元素的确定性，解出字母的所有取值；第二步：检验，根据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验；第三步：作答，此处所有符合题意的字母取值（范围）.易错提醒：集合中元素的三个性质，一定要理解透彻并掌握其基本作用：(1)确定性：判断对象能否构成集合的依据．(2)互异性：常用于检验解的合理性，如求解集合中元素含有参数的问题，先根据其确定性列方程，求出值后，再根据其互异性检验．(3)无序性：常用于判断集合相等．1．（24-25高三上·湖南长沙·期中）已知集合.若，则实数的取值集合为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用集合的基本运算及集合中元素的互异性可确定选项.【详解】由及集合中元素的互异性可得或，故实数的取值集合为.故选：A.2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若，则中所有元素之和为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】由，求出或，再分类讨论由集合的互异性可求出，即可得出答案.【详解】由得或，解得：或，若，则，不符合题意；若，，从而，所以中所有元素之和为4，故选：C．3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知集合，，若中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】中恰有三个元素，则两集合中有一个相同元素，分类讨论列方程求解并检验即可.【详解】因为中恰有三个元素，所以或或，结合集合中元素的互异性，解得或或（舍去）或.故选：D．1．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则满足的实数a的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据集合运算得集合关系，结合集合元素的性质分类讨论求解即可.【详解】依题意，，若，解得（时不满足集合的互异性，舍去），若，解得（时不满足集合的互异性，舍去），综上所述，或.故选：B2．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（

）A．2 B．3 C．0或3 D．【答案】B【分析】由题意可得或，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案.【详解】因为且，所以或，①若，此时，不满足元素的互异性；②若，解得或3，当时不满足元素的互异性，当时，符合题意.综上所述，.故选：B3．（2024·四川攀枝花·二模）已知集合，若，则实数a组成的集合为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意分和两种情况运算求解，注意集合的互异性.【详解】，则有或，解得或或，实数a组成的集合为.故选：D4．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知，集合，，若，且的所有元素和为12，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】先确定集合中可能的元素，根据两集合中元素的和求出的值，再根据集合中元素的互异性取值.【详解】集合中的元素可能为：，，因为，.若，则，，则，元素和不为12；若，则，，则，元素和不为12；当时，，因为中所有的元素和为12，所以，解得或（舍去）.综上：.故选：A5．已知，，若集合，则的值为（

）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】B【分析】结合已知条件，利用集合的互异性即可求解.【详解】∵集合，分母，∴，，且，解得，∴.故选：B.6．（24-25高三上·四川成都·期中）已知集合，若对都有，则为（

）A．1 B． C．2 D．1或2【答案】C【分析】得到，分和两种情况，求出，舍去不合要求的解，得到答案.【详解】由题意得，当时，解得或，当时，满足要求，当时，，，，中元素均与互异性矛盾，舍去，当时，，此时，中元素与互异性矛盾，舍去，综上，.故选：C7．已知为实数，，集合中有一个元素恰为另一个元素的倍，则实数的个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意分情况讨论并判断即可.【详解】由题意：当时，，此时集合，不成立；当时，，时不成立，时，集合，成立；当时，集合，成立；当时，或，时集合，不成立，时集合，成立；当时，，时集合，不成立，时集合，成立；当时，或，时集合，不成立，时不成立；故，故选：B.8．（2024·贵州·模拟预测）已知集合，，，若，则的子集个数为（

）A．2 B．4 C．7 D．8【答案】B【分析】本题根据B、C两集合相等，则元素相同，然后分类讨论求出参数m，进而求出两个集合，再求集合A、B的交集，然后可求子集的个数.【详解】由题意得，，又集合，若，则，此时，则，故子集个数为；若，则，此时显然集合不成立，舍去；若，，同理舍去.综上得：时，子集个数为4个；故选：B.9．（多选）（24-25高三上·江西新余·阶段练习）若集合，则实数的取值可以是（

）A．2 B．3 C． D．5【答案】BD【分析】根据集合中元素的互异性求解.【详解】集合，则，解得，可知BD符合题意，故选：BD.10．（多选）（23-24高三上·福建宁德·期中）设集合，，且，则的值可以为（

）A． B．3 C．0 D．1【答案】AC【分析】由子集的概念解出，并注意验证集合间元素是否满足互异性.【详解】因为，所以或，解得或.当时，，集合中的元素不满足互异性，故舍去.当时，符合题意.当时，也符合题意.故选：AC.11．（2024·安徽·三模）已知集合，若的所有元素之和为12，则实数.【答案】【分析】分类讨论是否为，进而可得集合B，结合题意分析求解.【详解】由题意可知：且，当，则；当，则；当，则；若，则，此时的所有元素之和为6，不符合题意，舍去；若，则，此时的所有元素之和为4，不符合题意，舍去；若且，则，故，解得或（舍去）；综上所述：.故答案为：.易错点02：未弄清集合的代表元素典例（2024·湖南衡阳·一模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据对数型函数求值域得A，根据二次函数求得函数定义域得B，根据交集运算得解.【详解】为函数的值域，令或，，为函数的定义域，即，因为，所以函数定义域为，故，故选：D.【易错剖析】本题易忽略集合的代表元素，没有注意到集合A表示的是函数的值域，而集合B表示的是函数的定义域而出错.【避错攻略】在进行集合间运算时，常用的方法为列举法和赋值法：方法1列举法列举法就是通过枚举集合中的所有元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法。【具体步骤】第一步：定元素，确定已知集合中的所有元素，利用列举法或画数轴写出所有元素或范围；第二步：定运算，利用常见不等式或等式解未知集合；第三步：定结果。方法二：赋值法高考对集合的基本运算的考查以选择题为主,所以我们可以利用特值法解题,即根据选项之间的明显差异,选择一些特殊元素进行检验排除,从而得到正确选项.【具体步骤】第一步：辨差异，分析各选项,辨别各选项的差异；第二步：定特殊，根据选项的差异,选定一些特殊的元素；第三步：验排除，将特殊的元素代入进行验证，排除干扰项；第四步：定结果，根据排除的结果确定正确的选项。易错提醒：在进行集合的运算时，一定要先观察集合的代表元素，因为代表元素决定了集合的性质，通过集合的代表运算可以确定集合是数集还是点集、代表元素是实数还是整数，另外在进行补集运算时，一定要注意全集的性质，不要想当然的认为是R.1.（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知集合，，则（

）A． B． C． D．[1，4]【答案】A【分析】先化简集合，再利用交集定义即可求得.【详解】故故选：A2.（24-25高三上·江苏盐城·期中）已知集合，，则（

）A．A B．B C． D．【答案】C【分析】根据题意可知集合表示点集，而集合A表示数集，即可根据交集的定义求解.【详解】由可得,故，故选：C3.（24-25高三上·山东·期中）集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由补集定义可得答案.【详解】因为，，所以，.故选：D.1．（2024·浙江温州·模拟预测）设集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解即可.【详解】依题意，，，所以.故选：A2．（24-25高三上·陕西汉中·期中）已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求解集合，然后利用补集的定义即可求解【详解】根据题意，集合，因为，所以.故选：B3．（2024·广东肇庆·一模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式可得，再由交集运算可得结果.【详解】由不等式，得，所以，又，可得.故选：A4．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知集合，，则的元素个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．无数【答案】C【分析】根据集合的元素类型，列方程组求解集即可得元素个数.【详解】因为集合，，则联立，解得或，故，集合中有2个元素.5．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，将集合化简，再结合交集的运算，即可得到结果.【详解】或，，所以，故选：C6.（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）设，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】联立集合A与集合B的方程组，解方程组可得答案.【详解】根据题意知联立集合A与集合B方程组得，解之可得或，所以.故选：A7.（24-25高三上·山东济宁·期中）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根据偶次方根的被开方数非负求出集合，再求出集合，最后根据集合的运算法则计算可得.【详解】由可得，解得或，所以，又，则，所以，所以，所以.故选：D.易错点03：遗忘空集典例（24-25高一上·重庆万州·期中）已知集合，，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由并集的定义可知得到，讨论集合是否为空集，得到对应的参数的范围，再求并集得到结果.【详解】因为，所以.若，则，即；若，则解得.综上所述，的取值范围是.故选：B【易错剖析】因为空集是任何集合的子集，根据包含关系求参数时一定分析集合为空集的情况，本题易忽略对的讨论而错选C..【避错攻略】1.当已知求参数时，一定要分析集合为空集的情况；2.若集合为不等式的解集，往往借助于数轴进行分析；【具体步骤】第一步：化简，化简所给集合；第二步：画图，用数轴表示所给集合；第三步：列示，根据集合端点间关系列出不等式(组)；第四步：求解，解出不等式(组的解；第五步：检验，通过返回代入验证端点是否能够取到.3.若集合为正整数集或抽象集合，可借助于韦恩图分析，若集合是点集，可借助于曲线的图像分析.易错提醒：已知集合关系求参数时，除去要分析空集的情况，还一定要分析端点值能否取得，可采用代入检验的方法加以区分，避免出错.1.集合，，若，则实数a的取值集合为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】首先求出集合，依题意可得，再分、、三种情况讨论因为，，所以，又当，则，当，即，解得，当，即，解得，综上可得实数a的取值集合为，故选：D2.设集合，集合，若，则实数的取值范围为（

）A． B．C．D．【答案】D【解析】结合是否为空集进行分类讨论可求的范围当时，，则，即当时，若，则或解得或，综上，实数的取值范围为故选：D3.（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）设集合，.(1)若，求的取值范围.(2)若，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，分和两种情况进行讨论，结合，列出不等式，即可求解；（2）根据题意，分和两种情况进行讨论，结合，列出不等式，即可求解；【详解】（1）解：由集合，且因为，可分和两种情况进行讨论：当时，可得，解得，此时满足；当，因为，则满足或，解得，综上可得，实数的取值范围为.（2）解：由集合，且,因为，可分和两种情况进行讨论：当时，可得，解得，此时满足；当，因为，则满足，解得，综上可得，实数的取值范围为.1．（2024·河南·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由集合的包含关系，对集合是否是空集分类讨论即可求解.【详解】集合，若，则若，则满足题意；若，且，则，综上所述，实数的取值范围是.故选：2．设集合，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式化简集合B，再利用集合的包含关系求解即得.【详解】显然，由，得，当时，即，解得，满足，则；当时，则，解得；所以.故选：C3．（23-24高一上·广东肇庆·阶段练习）已知，集合，，，则实数（

）A．或 B．或0 C．或0 D．或或0【答案】D【分析】求出集合中方程的解确定，即可求出，根据，分两种情况和讨论即可．【详解】由题可知，，则或，因为，所以当时，，则，符合题意；当时，，由知，或，即或，综上所述，实数为0或1或，故选：D．4．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）集合，，且，则实数的取值范围为（

）A．或 B． C． D．【答案】A【分析】首先化解集合，又，即可得到或，解得即可.【详解】由，即，解得，所以，又，显然，因为，所以或，解得或，即实数的取值范围为或.故选：A5．（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合.若则实数m的取值范围为（

）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】已知，这意味着集合与集合在中的补集没有交集，那么集合是集合的子集.接下来通过分析集合的边界与集合边界的关系来确定的取值范围.【详解】.因为，所以.由于，要满足，当，即，解得.当，则有.解得：.综上，m的取值范围为.故选：A.6．已知集合，，若，则实数a取值集合为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意知，分别讨论和两种情况，即可得出结果.【详解】由，知，因为，，若，则方程无解，所以；若，，则，因为，所以，则；故实数取值集合为.故选：D.7．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知集合，若，则实数取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据集合计算，利用求参数的取值范围.【详解】由得，.由得，，∴或，∴，解得.故选：A.8．（24-25高三上·上海青浦·阶段练习）已知集合，，若，则m的取值范围是．【答案】【分析】解绝对值不等式可得集合A，由得，讨论B为空集和不为空集情况，解相应不等式，即得答案.【详解】解，即，即，由，得;当时，即，符合题意；当时，需满足，解得，综合可得，故答案为：9．（24-25高三上·河北·阶段练习）已知集合，若，则m的取值范围是.【答案】或【分析】化简集合,由两集合交集为空集，列出不等式即可求解.【详解】因为所以或解得：或故答案为：或10．（24-25高三上·河南·开学考试）已知集合，若，则实数的取值范围为.【答案】【分析】求出集合，根据集合的包含关系列不等式组求解可得.【详解】因为，所以，当时，，不满足题意；当时，由解得，依题意有，解得，即实数的取值范围为.故答案为：11．（2024·江苏常州·三模）集合，，若，则实数m的取值范围为．【答案】【分析】结合B是否为空集进行分类讨论可求的范围．【详解】由，且，当时，，则，即，当时，若，则，解得，综上，实数的取值范围为．故答案为：．题型二：常用逻辑用语易错点04：判断充分性必要性位置颠倒典例命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】求解命题“”为真命题时，即可根据真子集求解命题“”为真命题,则对恒成立，所以，故，所以命题“”为真命题的充分不必要条件需要满足是的真子集即可，由于是的真子集，故符合，故选：D【易错剖析】本题易混淆A是B的充分条件和A的充分条件是B的区别而出错.【避错攻略】1掌握充分、必要条件的概念及类型(1)如果pq，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果pq，但q⇏p，则p是q的充分不必要条件；(3)如果pq，且qp，则p是q的充要条件；(4)如果qp，且p⇏q，则p是q的必要不充分条件；(5)如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分又不必要条件.【解读】p是q的充分条件，是指以p为条件可以推出结论q，但这并不意味着由条件p只能推出结论q．一般来说，给定条件p，由p可以推出的结论是不唯一的．“p是q的充分条件”与“q是p的必要条件”表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同．（3）p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”，要判断p是否为q的充要条件，需要进行两次判断：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p．若p能推出q，q也能推出p，就可以说p是q的充要条件，否则，就不能说p是q的充要条件．2.灵活运用判断充分、必要条件的方法(1)定义法：直接利用定义进行判断；(2)图示法：多个条件间关系的判断时，可以用用“⇔”、“⇒”、“⇐”将条件彼此相连，然后再判断它们之间的关系.(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合,那么若p⊆q,则p是q的充分不必要条件；若p⊇q,则p是q的必要不充分条件；若p＝q,则p是q的充要条件,尤其对于数的集合,可以利用小范围的数一定在大范围中,即小⇒大,会给我们的解答带来意想不到的惊喜．(4)举反例：要说明p是q的不充分条件,只要找到x0∈{x|p},但x0∉{x|q}即可．易错提醒：在判断充分、必要条件时，一定要先对条件进行等价化简，然后再结合合适的方法进行判断，为避免位置颠倒出错，可先用推出符号标注好判断的方向再进行分析.1.已知命题：，，则为真命题的一个充分不必要条件是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】先分离参数求出的取值范围，则为真命题的一个充分不必要条件应该是的一个真子集，由题设命题为真，即在上恒成立，所以，则为真命题的一个充分不必要条件应该是的一个真子集，故选：A2.（24-25高三上·云南·期中）“，”成立的充分必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】讨论是否为0，当时，显然无解，故，用表示出方程的解，令结果大于0，求得的取值范围.【详解】当即时，，，所以；当即时，，.故选：C.3.（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先分情况求不等式的解集，再根据集合的包含关系求参数的取值范围.【详解】设不等式的解集为，，因为不等式成立的充分条件是，，所以，所以，所以.由，所以.由可得.故选：D1．（24-25高三上·青海西宁·期中）已知，，则使成立的一个充分条件是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用充分条件的定义，结合基本不等式、二次函数性质判断．【详解】对于A，取，，显然有成立，但不成立，不符合题意.对于B，由，得，所以，可推出，符合题意.对于C，，可得，不符合题意.对于D，由，得，因为，，所以，所以，不能推出，不符合题意.故选：B．2．使“”成立的一个充分不必要条件是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据不等式的关系结合充分不必要条件分别进行判断即可．【详解】对于A，若，，当时，成立，所以“，”“”，A不满足条件；对于B，，，则，即，所以“，”“”，若，则，不妨取，，，则，所以“，”“”，所以“，”是“”的充分不必要条件，B满足条件；对于C，若，则，使得，即，即“”“，”，所以“，”是“”的充分条件，C不满足条件；对于D，若，，则，即，当且仅当时，等号成立，所以“，”“”，D不满足条件.故选：B.3．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知，使成立的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式性质求解即得.【详解】对于A，，A不是；对于B，当时，由，得，B不是；对于C，，可能有，如，C不是；对于D，由，得，则；若，则，D是.故选：D4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）直线与圆有公共点的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出当直线与圆有公共点时的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】圆的圆心为，半径为，若直线与圆有公共点，则，解得，因为，，，所以，直线与圆有公共点的一个充分不必要条件是为.故选：B.5．（2024·天津和平·二模）若，下列选项中，使“”成立的一个必要不充分条件为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，等价于，若所求必要条件对应的范围为，则，由此判断即可得到本题的答案．【详解】不等式等价于，使“”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为，则是的真子集，由此对照各项，可知只有A项符合题意．故选：A．6．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线，和平面，，，，则的必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由线面垂直的性质定理与判定定理可得结论.【详解】因为，所以，当时，由线面垂直的性质定理可知；只有当且时才能得到.所以的必要不充分条件是.故选：.7．（2024·四川成都·模拟预测）已知，为实数，则使得“”成立的一个必要不充分条件为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用不等式的性质、结合对数函数、幂函数单调性，充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】对于A，，不能推出，如，反之，则有，即是的既不充分也不必要条件，A错误；对于B，由，得，即，不能推出，反之，则，因此是的必要不充分条件，B正确；对于C，，是的充分必要条件，C错误；对于D，由，得，反之不能推出，因此是的充分不必要条件，D错误.故选：B.8．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）设.下列选项中，的充要条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，分和，利用基本不等式，求出的取值范围，即可求出结果.【详解】令，当时，，当且仅当，即时，取等号，当时，，当且仅当，即时，取等号，所以或，当且仅当时取等号，故的充要条件是且，故选：D.9．（24-25高三上·山东德州·期中）已知：，：，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先解分式不等式，根据充分不必要条件的定义结合集合间的基本关系计算即可.【详解】由可得，解之得或，设：，对应，：，其解集对应，则是的充分不必要条件等价于A是B的真子集，所以.故选：A10．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据充分不必要条件转化为，即可求解.【详解】由于的一个充分不必要条件是，故是的充分不必要条件，故，故，故选：D11．（24-25高三上·辽宁·期中）已知集合，集合，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】解不等式，确定集合，通过讨论的范围，确定集合，根据题意推出集合是集合的真子集，由此列出不等式组，即可求得答案．【详解】由题可知，，若，则，若时，则.因为是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集，显然时成立，当时，则，且这两个不等号不能同时取到，故解得且，综上所述：.故选：B.易错点05：由命题真假求参数范围典例（24-25高三上·福建龙岩·期中）命题“”为假命题，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】存在性命题为假等价于“”为真，应用参变分离求解即可.【详解】解：因为命题“”为假命题等价于“”为真命题，所以，所以只需.设，则在上单增，所以.所以，即.故选：A【易错剖析】对全称量词和存在量词理解不到位，不能在恒成立和有解之间进行合理的转化而出错.【避错攻略】1.根据命题的真假求参数的取值范围的方法步骤:第一步：先判断命题是恒成立问题还是有解（存在）问题;第二步：转化为函数的最值问题或方程解的问题;第三步：求解参数的取值范围.2.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.易错提醒：写出命题的否定，然后再根据否命题的真假求参数，是等价转化思想在解题过程中的运用，可以有效避免命题为假不易判断的问题.1.（23-24高三下·广东·开学考试）已知，；，．若为假命题，为真命题，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据全称命题以及特称命题的真假，结合二次函数的最值以及一元二次方程的判别式，即可求得答案.【详解】由题意知，为假命题，则，为真命题，当时，的图象的对称轴为，此时其最大值为，则；又，为真命题，即，即得，综合可得的取值范围为，故选：A2.（24-25高三上·河南·阶段练