《凸函数的性质及其应用研究》5300字（论文）

3凸函数的性质及其应用研究目录1引言 [8].证明：先证，为此考虑内的严格凹函数，注意应用Jensen不等式，有函数在内严格递增，由上式得，严格凹，等号当且仅当时成立.再证.事实上，对个正数，有，，即综上，对个正数总有，且等号当且仅当时成立.例５证明不等式此处都是正数，且不全相等，表示函数.证明由函数在区间内的凹性及以上詹森不等式的另一种表达式，以及实数不全相等，有在内严格递增，因此有又由函数在内严格凸的，有综合本节中的例子可知，所用到证明方法在证明的不等式时.可以将Jensen不等式推广为积分的形式进行分析证明，不仅可以使不等式的证明变得简化，还能证明一些及其有趣的积分不等式.7.2利用凸性证明三角形中有关内角和边的不等式由凸函数的定义及其几个常用性质定理可知，关于三角形内角和边的相关不等式，其证明方法上，往往是需要掌握三角恒等式和相关技巧的基础上进行的，然而一般在证明过程中都比较麻烦和困难的.因此在证明方法上就需要掌握不等式和三角形性质，然后再利用凸函数相应性质巧妙的构造出所需不等式，这样就可以使证明过程更加简洁明了、通俗易懂.例1（1）在中，证明：.（2）设为正数，且证明：证明（1）取则.由判定定理2知在是凹函数.而.由判定定理3得所以，当且仅当时上述不等式取等号.（2）令，则，即故本小节中，在知道函数上凸性和下凸性相关性质的前提下，用证明三角形内角和边的不等式的例子，说明了利用函数凸性在证明三角不等式中的作用.由凸函数的在不等式中的广泛应用可知，充分运用凸函数的相关性质来证明不等式，在不等式的证明方法中占有举重若轻的地位。因此这就需要考察细心观察能力，从而巧妙地构造出合适的凸函数,然后再利用凸函数的相关性质及几个判定定理,把一些简单的不等式，积分不等式、三角不等式等转变为探究相应函数的性质动态.最后使不等式得到证明和在相关方面得以很好的应用.8结论本文中主要是对凸函数的定义，几种等价定义，判定定理，简单性质进行探究，特别是凸函数的补充性质的探究，在补充性质的探究中主要讨论了在闭区间上凸函数的上确界存在性和一致有界.从定义方面讲，文中主要从几个等价定义、直观几何解释几个方面来介绍凸函数定义，在应用方面讲，重点是运用几个典型例子说明了凸函数在证明不等式中的广泛应用.站在前人的肩上，从其探究成果前提下有效的建立起凸函数框架来分析论证不等式，并推理证明出一些著名不等式.最终经过举例论证的形式，精巧地构造出凸函数，这样就可以充分利用函数相关性质，使大多数关于证明不等式的问题得以解决.然而在证明不等式时，运用到的证明方法多种多样、丰富多彩，并且在证明时有一定的技巧性，这就使用证明过程没有那么容易、直接.因此文中把一些运用了巧妙构造不等式的来证明的不等式的方法与利用了凸函数相关性质和等价定义来证明不等式二者综合起来，采纳其中优点，相互补充，不断反思、归纳总结.然后给出利用凸函数解决问题的一些典型例子，比如利用凸性证明三角形中有关内角和边的不等式.综上所述，可以得知对凸函数定义、相关性质的研究是永无止境的.参考文献华东师大学数学系.数学分析［M］.第三版(上册).北京：高等教育.2001.华东师大学数学系.数学分析［M］.第三版(上册).北京：高等教育.2001.周雪艳，张喜善.凸函数的性质及其在不等式证明中的应用［J］.山西财经大学学报.2000，22(S):175-176.杜厚维.凸函数的性质及其应用［J］.长江大学，2007:173-174田俐萍，王凤琼.凸函数的某些性质及其奇异边值问题的应用［J］.四川大学学报(自然科学版)2001，38(3):329-331.崔献军．关于函数凸性在论证不等式中的应用［J］．邯郸师专学报，1999（03）：11-12.刘琼.对数凸函数的Jensen型和Hadamard型不等式［J］.邵阳学报，邵阳，2005，3.高婷婷，张明会.利用函数凸性证明不等式［J］.河北北方学院学报.2019，35(11):1-5.费绍金.利用凸函数的性质证明几何命题［J］.沈阳工程学院学报(自然科学版)2009，5(1):95-96.周再禹．巧用函数凸性证明不等式［J］．兰州教育学院学报，