广东省建文教育集团两学部2024-2025学年高三上学期12月第一次模拟数学试题（含答案）

第第页广东省建文教育集团两学部2024-2025学年高三上学期12月第一次模拟数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数z满足zi=1+i，则z⋅zA．1 B．2 C．2 D．42．已知命题p:∃x>0，x3=x2，A．p和q都是真命题 B．p和¬q都是真命题C．¬p和q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题3．记Sn为非零数列an的前n项和，若Sn+1=2SA．2 B．4 C．8 D．164．已知函数fx=2sinωx+φω>0,0<φ<π2的部分图象如图，A,B是相邻的最低点和最高点，直线A．fx=2sin1C．fx=2sinπ 第4题图 第5题图5．众数､平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.根据某小区1000户居民的月均用水量数据（单位：t），得到如图所示的频率分布直方图，记该组数据的众数为p，中位数为m，平均数为x，则（）A．m<p<x B．p<x<m C．m<6．将函数fx=sin2x−π6的图象上所有点的横坐标变为原来的1A．0,π8 B．π8,π47．已知定义在R上的函数fx满足fx+1为奇函数，且y=f2x的图象关于直线x=1对称，若fA．−1 B．0 C．1 D．28．椭圆x2A．223 B．23 C．31二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9．在复平面内，复数z1,z2对应的向量分别为A．z1⋅zC．若z1−z2=z110．已知圆锥的顶点为P,AB为底面圆O的直径，∠APB=120∘,PA=2，点C在圆O上，点G为AC的中点，PGA．该圆锥的侧面积为3B．该圆锥的休积为πC．AC=D．该圆锥内部半径最大的球的表面积为1211．“∞”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点F1−a,0，F2A．若F1F2=12B．若C上的点到两定点F1、F2的距离之积为16，则点−4,0在C．若a=3，点3,y0在CD．当a=3时，C上第一象限内的点P满足△PF1F2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知log4a+2loga13．若存在a,b,c∈π,2π（a,b,c互不相等），满足sinωa+sinωb14．已知函数fx=ex四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且b2（1）若2sinB=3sinC（2）若b+c=3,cosA=116．已知二阶行列式abcd=ad−bc，三阶行列式a1（1）计算12（2）设函数f(x)=x①若f(x)的极值点恰为等差数列an的前两项，且an的公差大于0，求②若fx0=0,a∈(−2,−1)且a≠x017．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PD=2，平面PAD⊥平面ABCD,E为AD（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；（2）求平面PBE与平面PAB夹角的余弦值.18．已知函数fx（1）当a=0时，求函数fx的图象在点1,f（2）讨论函数fx（3）设gx=lnx−ex−19．设数列an的前n项和为Sn，且（1）求数列an（2）在a1和a2之间插入1个数x11，使a1,x11,a2成等差数列；在a2和a3之间插入2个数x21（i）若Tn=x（ii）对于（i）中的Tn，是否存在正整数m,n,p(n<p)，使得Tm=

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：方法1：因为zi=1+i，所以z=1+ii=1−i,z=1+i方法2：因为zi=1+i，所以zi=1+i，

即故答案为：C.【分析】利用两种方法求解.

方法1：根据复数除法运算法则求出复数z，再利用共轭复数的定义结合复数乘法运算法则，从而可得复数z⋅z.

方法2：利用复数的模的性质求出z的值，再由共轭复数的性质z⋅z=|z2．【答案】B【解析】【解答】解：当x=1时，命题p:x3=当x=0时，命题q:x4>0故答案为：B.【分析】先判断命题的真假，再判断命题否定的真假即可.3．【答案】C【解析】【解答】解：在非零数列an中，S1=a1≠0，

由Sn+1因此a5=S故答案为：C.【分析】根据给定条件，利用等比数列定义判断出数列{Sn}是等比数列，再利用等比数列的通项公式得出Sn=4．【答案】C【解析】【解答】解：连接AB，函数fx=2sinωx+φω>0,0<φ<π由图象的对称性，可知点C也在函数fx的图象上，所以点C的坐标为−设BxB,2，由k=所以fx的最小正周期T满足T解得T=4，即2πω=4，解得ω=π2，所以fx=2sinπ所以f13=2sin解得φ=π故答案为：C.【分析】连接AB，函数fx与x轴交于点C，从而得出点C的坐标，则点C也在函数fx的图象上，再由两点求斜率公式得出点B的坐标，从而可得函数fx的周期，再根据正弦型函数的最小正周期公式求得ω的值，利用点B13,2是fx5．【答案】D【解析】【解答】解：观察频率分布直方图，发现是属于右边“拖尾”，

所以平均数x大于中位数为m，由于第一个小矩形面积为4×0.060=0.24<0.50，前2个小矩形面积之和为4×0.060+0.080所以中位数位于5,9之间，

故可得0.240+m−5×0.080=0.5，解得由频率分布直方图可知众数p=5+9故p<m<x故答案为：D.【分析】由频率分布直方图求众数、中位数和平均数的方法，从而比较出p，m，x6．【答案】C【解析】【解答】解：依题意可得gx若gx单调递减，则π解得π6观察选项可知，只需写出在0,π易知当k=0时，单调递减区间为π6,5π可得π4,3π故答案为：C.【分析】根据正弦型函数的图象变换得出函数gx的解析式，再利用换元法和正弦函数的单调性，从而得出正弦型函数的单调区间，进而由集合的包含关系逐项判断，从而找出函数g7．【答案】C【解析】【解答】解：由fx+1为奇函数，知fx的图象关于点1,0对称，则由f0=−1，得由y=f2x的图象关于直线x=1对称，则fx的图象关于直线所以f4=f0综上所述，f1由上可知fx+f2−x=0，所以f4+x=−f2+x所以i=150故答案为：C.【分析】根据奇函数的性质和函数图象的对称性，从而求得f1=f3=0、f2=1、f48．【答案】B【解析】【解答】因为椭圆x2所以椭圆的焦点在y轴上，且m=3所以椭圆的离心率为9−53故答案为：B.

【分析】由条件确定焦点在y轴上，列方程求m=39．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：设z1=a+bi,z2=c+di对于A，当z1=1+i,z则z1对于B，因为z1a1所以z1对于C，当z1=1,z2=i满足z1−z对于D，当z1=1+i,z又因为z1故答案为：ACD.【分析】利用举例法和复数的运算法则以及复数求模公式，即可判断选项A、选项C和选项D；再根据复数的运算法则和复数求模公式，从而判断出选项B，进而找出说法不正确的选项.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：由已知可得，∠DPO1=60°，PA=2，

易得等腰三角形PAB对于A，因为该圆锥的侧面积为π×3对于B，因为该圆锥的体积为V=1对于C，如图，取AC中点为G，连接GO,PG，

则∠PGO为PG与底面所成角为60∘，故GO=3对于D，当球与圆锥内切时，表面积最大，此时球心在圆锥的高上，设球心为O1，球的半径为r，过O1向PB作垂线，垂足为D，则OD=r，

又因为∠DPO1=60°所以球的表面积为4π[故答案为：BCD.【分析】利用已知条件和等腰三角形的结构特征以及圆锥的侧面积公式，则判断出选项A；利用圆锥的侧面积公式，则判断出选项B；取AC中点为G，连接GO,PG，从而得出∠PGO为PG与底面所成角，再结合弦长公式得出AC的长，则判断出选项C；利用∠DPO1=11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：因为原点O在C上，则OF1⋅OF则a2=x−a若F1F2=12，则曲线若OF1⋅OF2=16，则a=4若a=3，点3,y0在C上，则整理得y02+18因为S△PF1F2所以点P是曲线C:x2+y2联立曲线C和圆的方程，解得x=332，y=32，即P(故答案为：ACD.【分析】由题意得出OF1⋅OF2=a2，设x,y为C上任意一点，从而得到x2+y22=2a2x2−y2，再根据12．【答案】4【解析】【解答】解：由log4a+2log则log2a2−4log另解：由题意可知log4a+1利用基本不等式可得log4当且仅当12log2故答案为：4.【分析】利用两种方法求解.

方法一：根据题意结合对数的运算性质，从而可得log2a2−4log2a+4=0，从而解一元二次方程得出log13．【答案】9【解析】【解答】解：存在a,b,c∈π,2π（a,b,c互不相等），

满足sin则sinωa不妨设π≤a<b<c≤2π，且是相邻最值点，当sinωa=1,则a=π2+2kπ由k+54≤2k+当k=1时，94当k=2时，134当k≥3时，2k+1所以ω∈9当sinωa=−1,则a=−π2+2kπω由k+34≤2k−当k=2时，114当k≥3时，2k−1所以ω∈11综上所述，ω∈9故答案为：94【分析】由题意可得sinωa=sinωb=sinωc=1，不妨设π≤a<b<c≤2π，再分14．【答案】e【解析】【解答】解：依题意，ex−lnx+1−m即ex+x≥lnmx函数gx=ex+x则x≥lnmx，即ex≥mx，

因此m≤设ℎx=exxx>0，于是m是函数ℎx在(0,+∞)上的最小值，求导得ℎ'x函数ℎx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，且所以m=e.故答案为：e.【分析】根据给定条件，利用同构变形构造函数，借助求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数m的值.15．【答案】（1）解：因为2sinB=3又因为b2+c所以△ABC的面积S=12bcsinA=62sinA=64（2）解：因为b+c=3,b2+所以bc=2，

由余弦定理得a=b因为b+c=3,bc=2，所以b=1,c=2或b=2,c=1，又因为sinB>sinC，所以b>c所以AC⋅【解析】【分析】（1）运用正弦定理边角互化，再结合勾股定理得出b，c的值，再根据三角形的面积公式和三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.（2）利用已知条件和勾股定理、余弦定理得出b，c的值，再结合正弦定理得出满足要求的b，c的值，从而根据数量积的定义和余弦定理得出AC⋅（1）因为2sinB=3又b2+c所以△ABC的面积S=1则sinA=12，因为A∈(0,π)，所以A=（2）因为b+c=3,b2+所以bc=2.由余弦定理得a=b因为b+c=3,bc=2，所以b=1,c=2或b=2,c=1，又sinB>sinC，所以b>c所以AC⋅16．【答案】（1）解：原式==1−6−3×(2−9)+2×(4−3)=18．（2）解：①因为f(x)=x+x=x+x2x2当x<−13或x>1时，f'(x)>0；当所以f(x)在−∞,−13和所以f(x)的极大值点为−1因为f(x)的极值点恰为等差数列an的前两项，且a所以a1=−13,a2=1，所以i=13证明：②因为f(1)=2,f(−1)=2,f(−2)=−16，所以f(x)在−13,+∞上无零点，

在−∞令ℎ(x)=f则ℎ当x∈−2,x0时，ℎ'(x)>0,ℎ(x)单调递增；

所以ℎ(a)<ℎx又因为ℎ(a)=f'(a)令H(x)=f'x因为f'(x)=6x所以，当x∈−2,x0时，f'x当x∈x0,−1时，f'x所以H(a)>Hx又因为H(a)=f'x0a−【解析】【分析】（1）根据题设定义，即可得出12（2）根据题设定义，得到f(x)=2x3−2x2−2x+4.

①利用导数的方法判断函数的单调性，从而得出函数的极值点，利用f(x)的极值点恰为等差数列an的前两项，且an的公差大于0，从而得出数列的第一项和第二项的值，再根据等差数列的定义以及通项公式得出数列an的通项公式，进而得出a1=−13,a2=1，进而得出（1）原式==1−6−3×(2−9)+2×(4−3)=18．（2）f(x)=x+x2x（i）f'当x<−13或x>1时，f'(x)>0；当所以f(x)在−∞,−13和所以f(x)的极大值点为−1因为f(x)的极值点恰为等差数列an的前两项，且a所以a1则公差d=1−−13所以i=13（ii）因为f(1)=2,f(−1)=2,f(−2)=−16，所以f(x)在−13,+∞上无零点，在−∞令ℎ(x)=f则ℎ'当x∈−2,x0时，ℎ'(x)>0,ℎ(x)所以ℎ(a)<ℎx而ℎ(a)=f'(a)令H(x)=f'x因为f'(x)=6x所以当x∈−2,x0时，f当x∈x0,−1时，f所以H(a)>Hx而H(a)=f'x综上，g(a)gx17．【答案】（1）证明：方法一；由PA=PD=2,CD=2，则PA2+PD2=DA又因为平面PAD⊥平面ABCD且交于AD,AB⊂平面ABCD，所以，AB⊥平面PDA，又因为DP⊂平面PDA，所以DP⊥AB，又因为AB∩DA=A,AB⊂平面PAB,DA⊂平面PAB，故DP⊥平面PAB，

又因为DP⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.方法二：因为ABCD为正方形，故CD⊥DA，又因为平面PAD⊥平面ABCD交于AD,CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PDA，

又因为PA⊂平面PAC，所以CD⊥PA,CD⊥PD，因为平面PAB和平面PCD交线平行于CD.故∠DPA是平面PAB和平面PCD所成二面角的平面角，则PA=PD=2,CD=2，

所以故平面PAB⊥平面PCD.方法三：取BC中点为G，先证明：PE⊥DA,PE⊥EG,DA⊥EG，∵PA=PD，点E为AD的中点.∴PE⊥AD，因为平面PAD⊥平面ABCD交于AD,PE⊂平面PAD，所以，PE⊥平面ABCD，

又因为EG⊂平面ABCD，所以，PE⊥EG，由已知DA⊥EG，建立如图所示的空间直角坐标系，因为PA=PD=2故C2,1,0CD=设平面PCD的一个法向量为n1则n1⋅CD=0n1⋅DP=0设平面PAB的一个法向量为n2则n2⋅BA=0n2⋅AP=0∴n1⋅所以，平面PAB⊥平面PCD.（2）解：取BC中点为G，

由（1）知，PE⊥DA,PE⊥EG,DA⊥EG，从而建立如图所示的空间直角坐标系，

则D0,1,0,P0,0,1,B所以GB=0,−1,0显然可知平面PAB的法向量为PD=设平面PBE的一个法向量为m=则m⋅EB=0m⋅EP=0，2a−b=0则cos<m所以平面PBE和平面PAB所成锐二面角的余弦值为105【解析】【分析】（1）利用三种方法证明.

方法一：先证明AB⊥平面PDA，从而得到DP⊥AB，再证明DP⊥面PAB，从而证出平面PAB⊥平面PCD.

方法二：根据二面角的平面角定义，从而判断出∠DPA是平面PAB和平面PCD所成二面角的平面角，由勾股定理可得∠DPA的值，从而证出平面PAB⊥平面PCD.

方法三：建立空间直角坐标系，利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，求出平面PCD和平面PAB的法向量，再根据两向量垂直数量积为0的等价关系，从而证出平面PAB⊥平面PCD.（2）取BC中点为G，由（1）知，PE⊥DA,PE⊥EG,DA⊥EG，建立空间直角坐标系，得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积求出平面PAB的法向量和平面PBE的一个法向量，再利用数量积求向量夹角公式得出平面PBE和平面PAB所成锐二面角的余弦值.（1）方法一；由PA=PD=2,CD=2，有∴DP⊥AP，因为ABCD为正方形，故AB⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD交于AD,AB⊂平面ABCD，所以，AB⊥平面PDA，又DP⊂平面PDA，所以DP⊥AB，又AB∩DA=A,AB⊂平面PAB,DA⊂平面PAB，故DP⊥平面PAB，又DP⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.方法二；因为ABCD为正方形，故CD⊥DA，而平面PAD⊥平面ABCD交于AD,CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PDA，又PA⊂平面PAC，所以CD⊥PA,CD⊥PD，平面PAB和平面PCD交线平行于CD.故∠DPA是平面PAB和平面PCD所成二面角的平面角.PA=PD=2,CD=2.有故平面PAB⊥平面PCD.方法三：取BC中点为G，先证明：PE⊥DA,PE⊥EG,DA⊥EG，∵PA=PD，点E为AD的中点.∴PE⊥AD，而平面PAD⊥平面ABCD交于AD,PE⊂平面PAD，所以，PE⊥平面ABCD，又EG⊂平面ABCD，所以，PE⊥EG，由已知DA⊥EG，建立如图空间直角坐标系，因为PA=PD=2故C2,1,0CD=设平面PCD的一个法向量为n1则n1⋅CD=0n1⋅设平面PAB的一个法向量为n2则n2⋅BA=0n2⋅∴n1⋅所以，平面PAB⊥平面PCD.（2）取BC中点为G.由（1）知，PE⊥DA,PE⊥EG,DA⊥EG，建立如图所示空间直角坐标系，则D0,1,0,P0,0,1所以GB=0,−1,0,显然可知平面PAB的法向量为PD=设平面PBE的一个法向量为m=则m⋅EB=0m⋅EP=0则cos<m所以平面PBE和平面PAB所成锐二面角的余弦值为10518．【答案】（1）解：因为fx当a=0时，fx当x=1时，f1所以，函数fx在x=1处的切线方程为y=ex−e−1（2）解：因为函数fx的定义域为R,①当a≤0时，ex−2a>0恒成立，令f'若f'x>0,x>0所以fx在−∞,0②当a>0时，f'令f'x=0（i）当ln2a<0，即若f'x>0,x<ln2a或所以fx在−∞,ln2a上递增，在ln2a（ii）当ln2a=0时，即当a=12时，f'（iii）当ln2a>0时，即当a>12时，

若若f'则fx在−∞,0上单调递增，在0,ln2a上单调递减，综上所述，当a≤0时，fx在−∞,0当0<a<12时，fx在−∞,ln2a上单调递增，在ln2a,0上单调递减，在0,+∞上单调递增；当a=12时，fx在（3）解：由fx≥gx因为x>0，即a≤x设ℎx=x因为xex=令t=lnx+x,因为x>0，所以t∈R，下面先证et设φt=e令φ't=0，则t=0，

当φ当φ't<0所以φt在−∞,0所以φmint=φ0=0所以elnx+x即ℎx所以ℎminx=1故实数a取值范围为−∞【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得出切线的斜率，由代入法得出切点坐标，再根据点斜式得出函数fx的图象在点1,f（2）利用导数与函数单调性的关系，再分类讨论出函数fx（3）由fx≥gx参变分离得a≤xex−lnx−x−1+（1）fx当a=0时，fx当x=1时，f1函数fx在x=1处的切线方程为y=ex−e−1（2）函数fx的定义域为R,①当a≤0时