高中数学选修1-1测试题等复习资料（内含多套试题资料）

第一章章末总结

知识再现•]

.____________,l四种命题及其真假判断

L命题及其关系科------'।

1------------1」四种命题间的关系及应用|

,__________________,「|充分条件、必要条件、充要条件的定叉]

一充分条件与必要不件H--.....-....--------------------1

1--------------------'1条件充要性的碉

I常用逻辑用语I-

E语时浮.或且‘非”的含义।,

1-------------------1I—|命题"p或g”"且g”"-p”的真假判断及应再]

—I全称量词与存在量词丁号”‘道殳其真假~号—量词的命题的否圉

1-------------------1L-I特称命题及其真假判断|」1-----------------------1

重点解读•]

知识点一四种命题间的关系

命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句.一个命题与它的逆命题、否命题之间

的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和

否命题也是互为逆否命题.

【例1】判断下列命题的真假.

(1)若xGAUB,则xdg的逆命题与逆否命题；

(2)若0<x<5,则|无一2|<3的否命题与逆否命题；

(3)设“、〃为非零向量，如果则a协=0的逆命题和否命题.

知识点二充要条件及其应用

充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考

的热点，判断方法有以下几种：

(1)定义法

(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示

就可以得出结论.互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命

题化为其逆否命题加以判断.

(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用

原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化.

(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果

能运用数形结合的思想(如数轴或Venn图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系.

【例2】若p：­2<a<0,0<ixl；q：关于x的方程A2+av+b=0有两个小于1的正根，

则夕是q的什么条件？

【例3】设p：实数x满足f-4ax+3a2c0,a<0.

q；实数x满足f—x-6W0或f+2r—8>0.

且是梆q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

知识点三逻辑联结词的应用

对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假.

利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一.

【例4】判断下列命题的真假.

(1)对于任意x,若x—3=0,则x—3W0；

(2)若x=3或x=5,则(x-3)(x-6)=0.

【例5】设命题p：函数—x+1”)的定义域为R；命题g：不等式

+以对一切正实数均成立.如果命题p或g为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的

取值范围.

知识点四全称命题与特称命题

全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观

题出现.

全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就

行.特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可.

全称命题的否定是特称命题，应含存在量词.

特称命题的否定是全称命题，应含全称量词.

【例6】写出下列命题的否定，并判断其真假.

(1)3=2；

(2)5>4；

(3)对任意实数x,x>0；

(4)有些质数是奇数.

【例7】已知函数火x)=f—2x+5.

(1)是否存在实数处使不等式m+_/(x)>0对于任意xCR恒成立，并说明理由.

(2)若存在一个实数xo，使不等式加一/Uo)>0成立，求实数加的取值范围.

章末总结

重点解读

【例1】解(1)若XWAU8,则是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若

则xEAUB,为真命题.

(2)V0<r<5,：.-2<X~2<39

••・0—

原命题为真，故其逆否命题为真.

否命题：若xWO或则以一2|23.

例如当冗=—今~2~2=2<3,

故否命题为假.

(3)原命题：a,方为非零向量，a_Z.>=a协=0为真命题.

逆命题：若〃，方为非零向量，。,力=O=a_Zb为真命题.

否命题：设。，万为非零向量，。不垂直力=。力#0也为真.

I例2]解若〃=—1,b=y则』=/—4。<0,关于x的方程/+以+8=0无实根,

故pNd若关于x的方程/+奴+〃=0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为为、x2,

且O<X1WX2<1,

则Xl+x2=­。，X\X2=b.

于是0<—a<2,0<b<\,

即—2<〃<0,0<。<1,故q=p.

所以，〃是q的必要不充*条件.

I例3]解设4〃/+3层<0,a<0]={x\3a<x<ai。<0}.

B={x|q}={xlx2—x-6^0或f+2x—8>0}

={x|x<—4或x》一2}.

•・・^p是^夕的必要不充分条件，

:.q是p的必要不充分条件.

Z—413心一2

/.AB,/.或,

[a<0la<0

2

解得一或aW—4.

故实数。的取值范围为(一8,-4ju[-|,0).

【例4】解(l)：x-3=0,有X-3W0,...命题为真;

(2)V当x=5时，(犬一3)(犬一6)¥0,

「・命题为假.

【例5】解p：由以2—》十七4>0恒成立得

a>0

<a,/.a>2.

J=l—4XizXy^<0

q：由，2x+lvl+or对一切正实数均成立,

令t=yj2jc~]r1>1,贝!Ix=-2-，

产一1

/./<1+a--3-,

・・・2«—1)<〃(»—1)对一切t>\均成立.

・・2.

•:p或q为真,〃且夕为假，与q一真一假.

若p真q假，。>2且。<1不存定.

若p假9真，则且。21,lWaW2.

故〃的取值范围为1W〃W2.

【例6】解（1）3^2,真命题；

（2）5^4,假命题；

（3）存在一个实数x,xWO,真命题；

（4）所有质数都不是奇数，假命题.

【例71解（1）不等式m+j（x）>0可化为〃?>—/U）,

即机>—f+Zr-5=—（x—I/—4.

要使z7t>—（%—I）2—4对于任意恒成立，

只需加>一4即可.

故存在实数加，使不等式机+兀力>0对于任意x£R恒成立，此时，只需机>—4.

（2）不等式团一兀粕）>0可化为加次刻），若存在一个实数沏，使不等式加叽ro）成立,

只需刁（X）min.

又fix）=（X—1产+4,/-Xx）min=4,心4.

所以，所求实数R的取值范围是（4,+8）.

第一章章末检测（A）

（时间：120分钟满分：150分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1.下列语句中是命题的是（）

A.梯形是四边形B.作直线AB

C.x是整数D.今天会下雪吗？

2.设原命题：若a+b22,则a,6中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真

假情况是（）

A.原命题真，逆命题假

B.原命题假，逆命题真

C.原命题与逆命题均为真命题

D.原命题与逆命题均为假命题

3.给出命题：若函数）・=Ax）是幕函数，则函数y=/（x）的图象不过第四象限.在它的逆

命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（）

A.3B.2C.ID.0

4.设集合M={x|x>2},P={x|x<3},那么“xGM,或是“xGMCP''的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.有下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10的倍数一定是5的

倍数；③梯形不是矩形；④方程f=l的解x=±l.其中使用逻辑联结词的命题有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.在△A8C中，“A>30°”是“sinA>g”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.若p：a£R.|«|<1,<7：x的二次方程『+（“+l）x+a—2=0的一个根大于零，另一

根小于零，则〃是4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.已知条件p：|x+l|>2,条件q：5x—6>W,则㈱/，是^“的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

9.己知实数命题p：函数yMlog^f+Zx+a）的定义域为R,命题q：\x\<\^x<a

的充分不必要条件，则（）

A."p或为真命题

B."p且/'为假命题

C.且为真命题

D.或解4”为真命题

10.“。和b都不是偶数”的否定形式是（）

A.“和b至少有一个是偶数

B.〃和匕至多有一个是偶数

C.〃是偶数，人不是偶数

D.“和b都是偶数

11.不等式（〃-2）*2+2（“一2）x—4<0对于xCR恒成立，那么a的取值范围是（）

A.（-2,2）B.（-2,2]

C.（—8,2]D.（―°°,—2）

J2

12.已知命题p：存在xCR,使tanx='，命题q：『一3x+2<0的解集是{x[l<x<2},

下列结论：①命题"P且是真命题；②命题“p且㈱/是假命题：③命题或

是真命题；④命题“㈱p或是假命题，其中正确的是（）

A.②③B.①②④

C.①③④D.①②③④

题号123456789101112

答案

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11.已知a、£是不同的两个平面，直线aUa,直线命题p：a与匕无公共点;

命题4：a〃.，则p是q的条件.

12.命题“以2—2ax—3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是.

13.若小“平行四边形一定是菱形”，则“非p”为

14.下列四个命题中

①“％=1”是“函数y=cos2自一sin2日的最小正周期为兀”的充要条件：

②“。=3”是“直线ar+2y+3a=0与直线版+3—1））=。-7相互垂直”的充要条件;

③函数y=；的最小值为2.

巾~+3

其中是假命题的为..（将你认为是假命题的序号都填上）

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17.（10分）将下列命题改写成“若p,则的形式，并判断其真假.

（1）正方形是矩形又是菱形；

（2）同弧所对的圆周角不相等；

（3）方程/-x+1=0有两个实根.

18.（12分）判断命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式*+（箕+1沈+/+2・0

的解集非空，则的逆否命题的真假.

x—1

19.（12分）已知p：1—W2；<7：x2—2x+1（〃?>0）,若是的必要

非充分条件，求实数加的取值范围.

20.（12分）已知方程1+（2%—l）x+F=O,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件.

21.（12分）p：对任意实数x都有加+ax+1>0恒成立；q：关于x的方程x2—x+a=O

有实数根；如果〃与q中有且仅有一个为真命题，求实数〃的取值范围.

22.(12分)已知下列三个方程：x+4^—4a+3=0,x+(5―1)^+5=0,x+2ax~

2d=0至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围.

单元检测卷答案解析单元检测卷答案解析

第一章常用逻辑用语(A)

答案

1.A

2.A[因为原命题"若a+b>2,则a,b中至少有一个不小于1"的逆否命题为，"若a,

b都小于1,则。+b<2"显然为真，所以原命题为真；原命题"若。+b22,则。，b中至少有

一个不小于1”的逆命题为："若a,b中至少有一个不小于1,则。+b22”,是假命题，反例

为。=1.2,6=0.3.]

3.C

4.A["xGM,或xep"不能推出"xGMnP",反之可以.]

5.C[①中有"且"；②中没有；③中有“非"；④中有"或]

6.B[当月=170。时，$皿170。=$皿10。弓，所以‘'过不去”；但是在△A8C中，sin舄

=30°<4<150°=4>30°,即“回得来”.]

7.A[Q£R,|a|<l=>(7—2<0,充分成立，反之不成立.]

8.A|^/?：|x+l|W2,-糠q：5工一64f,

即A2—5x+620,解得x23,或x<2.

=㈱小但故是的充分不必要条件.]

9.A[命题p：当时，4=4—4〃<0,即f+Zx+oO恒成立，故函数》二匕房。2

+21+〃)的定义域为R,即命题〃是真命题；命题/当。>1时，由因<1,得一14<1,即因<1

是的充分不必要条件，故命题q也是真命题.所以命题“p或/是真命题.]

10.A[对"。和b都不是偶数〃的否定为〃。和b不都不是偶数"，等价于〃。和b中至少

有一个是偶数]

11.B[注意二次项系数为零也可以.]

12.D「「p、q都是真命题，，①②③④均正确.]

13.必要不充分

解析q=p,pKq.

14.[-3,0]

解析加一2〃上一3<0恒成立，

当〃=0时，一3W0成立；

；=4/+12aW0得-3=<0;

当a#0时，由

—3WaW0.

15.平行四边形不一定是菱形；或至少有一个平行四边形不是菱形

解析本题考查复合命题“非夕”的形式，p-.“平行四边形一定是菱形”是假命题，

这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”？若为“平行四边形一定不是

菱形”仍为假命题，与真值表相违，故原命题的“非p”为“平行四边形不一定是菱形”，

是一个真命题.

第二种说法是命题是全称命题的简写形式，应用规则变化即可.

16.©©③

解析①“&=1"可以推出"函数)，=cos2履一sin?日的最小正周期为兀”，但是函数y

=cos2fcv—sin2fcr的最小正周期为兀，

2冗

即y=cosT=|2川一兀，Z=±l.

②“。=3”不能推出“直线or+2y+34=0与直线版+(〃-1»=。-7相互垂直”，反

2

之垂直推出

f+4/+3+1])—1.I—I—

③函数y=许=干丁="+后T令0户栏小’

J4^3

),min—斗

H3,

17.解(1)若一个四边形是正方形，则它既是矩形，又是菱形，为真命题.

(2)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等，为假命题.

(3)如果一个方程为x+l=O,则这个方程有两个实数根，为假命题.

18.解方法一(直接法)

逆否命题：已知a、x为实数，如果”<1,则关于x的不等式f+Qa+Dx+qZ+ZWO的

解集为空集.

判断如下：

二次函数+(2a+l)x+/+2图象的开口向上，判别式/=(2〃+1)2—4(4+2)

=4。—7.

\\z<l,：.4a~7<0.

即二次函数y=』+(2〃+\)x+a2+2与x轴无交点，

・•・关于x的不等式/+(2〃+1求+。2+24()的解集为空集，故逆否命题为真.

方法二(先判断原命题的真假)

尢为实数，且关于x的不等式f+Qa+Dx+/+ZWO的解集非空，

・,"=(2。+1)2—4(/+2)20,

7

即4〃-720,解得02不

•.zeli,・••原命题为真.

又・・,原命题与其逆否命题等价，，逆否命题为真.

方法三(利用集合的包含关系求解)

命题P：关于x的不等式『+(2〃+1)工+〃2+240有非空解集.

命题q：ael.

：.p：A={〃|关于x的不等式f+(2a+l)元+°2+2W0有实数解}={冰2°+1)2—4(〃2+

2)20}={雨磊,

q：B—{a\a^l).

■：A^B,“若p,则q”为真，

“若p,则°”的逆否命题“若㈱，/,则㈱p”为真.

即原命题的逆否命题为真.

19.解㈱p：1-'3)>2，解得x<—2,或x>10,

A—{x\x<-2,或x>10}.

q：x2—2x+1—m2>0,

解得X<1—机，或

B={X|X<1~m,或x>l+，*}.

是^4的必要非充分条件，A,

即{1一，“W—+朋》10且等号不能同时成立，=加29,

二机29.

20.解令兀r)=f+(2&-l)x+S,方程有两个大于1的实数根。

7=(211)2—49》0

Ai)>0)

k

即k<-2.

所以其充要条件为上一2.

21.解对任意实数x都有东+必+1>0恒成立—或广八=0Wa<4；

U<0

关于x的方程f—x+〃=0有实数根=1—4a200"W；；如果p真，且q假，有0Wa<4,

且悬，

.'.^<a<4；如果q真，且p假，有。<0或。24,且「.avO.

综上，实数”的取值范围为(一8,O)uQ,4).

22.解假设三个方程：/+4以-4〃+3=0,

f+(a—l)x+a2=o,*+20¥—2a=0都没有实数根，则

4=(甸2_4(_4〃+3)<

</2=(。―1)2—4/,

/3=(2〃)2—4(一2〃)<0

3

-y

2

即卜当或kl,得一3旌加一］

、—2<。<0

•••所求实数a的范围是〃<一］3或一1.

第一章章末检测(B)

(时间：120分钟满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分).

1.函数兀t)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是()

A.ab=QB.a+b=0

C.a=hD.<r+b2=O

2.若“心bnc>d”和"a<b=eW/都是真命题,其逆命题都是假命题，则"c近d”

是“eWf的（）

A.必要非充分条件

B.充分非必要条件

C.充分必要条件

D.既非充分也非必要条件

3.在下列结论中，正确的是（）

①“pAq”为真是“pVq”为真的充分不必要条件；

②为假是“p7q”为真的充分不必要条件；

③“pVq”为真是为假的必要不充分条件；

④为真是“pAg”为假的必要不充分条件.

A.①②B.①③

C.②④D.③④

4.“aWl或b#2”是“q+bW3”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要

5.若命题"p或为真，“非p”为真，贝1（）

A.p真q真B.p假q真

C.p真q假D.p假q假

6.条件p：x>l.y>l,条件q：x+y>2,xy>l,则条件p是条件“的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

7.2X2—5%—3<0的一个必要不充分条件是（）

A.—^<x<3B.—^<x<0

C.--3<X<2D.—l<x<6

8.“x=2航+£（kf是“tanx=l”成立的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分条件

D.既不充分也不必要条件

9.下列命题中的假命题是（）

A.3x£R,1§^=0B.S.rGR,tanx=1

C.VxGR,/>0D.VxGR,2V>0

10.设原命题：若a+/?N2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真

假情况是（）

A.原命题真，逆命题假

B.原命题假，逆命题真

C.原命题与逆命题均为真命题

D.原命题与逆命题均为假命题

11.下列命题中为全称命题的是（）

A.圆内接三角形中有等腰三角形

B.存在一个实数与它的相反数的和不为0

C.矩形都有外接圆

D.过直线外一点有一条直线和已知直线平行

12.以下判断正确的是（）

A.命题“负数的平方是正数”不是全称命题

B.命题“VxGN,V>x”的否定是“mxGN,丁>尤”

C.“a=l”是“函数式x）=sin2分的最小正周期为兀”的必要不充分条件

D.“6=0”是“函数是偶函数”的充要条件

题号123456789101112

答案

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.下列命题中为真命题.（填序号）

①“4CB=A”成立的必要条件是“4B”；

②“若f+V=0,贝lx,y全为0”的否命题；

③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；

④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题.

14.命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是

___________________________________,这是命题.

15.若“VxWR,*—2x—〃?>0”是真命题，则实数机的取值范围是

16.给出下列四个命题：

①VxGR,x2+2>0；

②VxGN,x4^l；

@3xeZ,Al；

@3xGQ,W=3.

其中正确命题的序号为.

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17.（10分）分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假.

（1）矩形的对角线相等且互相平分；

（2）正偶数不是质数.

18.（12分）写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且,“非p”形式的命题，并

指出所构成的这些命题的真假.

（Dp：连续的三个整数的乘积能被2整除，外连续的三个整数的乘积能被3整除；

（2）p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形.

19.（12分）已知求证：a+b=1的充要条件是分+/+而一层一除=0.

20.(12分)已知二次函数大幻=加+乂对于Vxd[O,l],成立，试求实数a的取

值范围.

21.(12分)下列三个不等式：

25

①2-f+ar—才>1；

②(a—3)/+(a—2)x-l>0；

③+点

若其中至多有两个不等式的解集为空集，求实数”的取值范围.

22

22.(12分)已知命题p：»和及是方程x-/nr-2=0的两个实根，不等式a~5a-3^\xt

一刈对任意实数[-1,1]恒成立;命题(7：不等式加+2«-1>0有解;若命题p是真命题，

命题q是假命题，求a的取值范围.

第一章常用逻辑用语(B)

答案

222

1.D[若a+b=0,即<7=6=0时，f(—x)=(—x)\—x+0\+0=-x\x\=—f(x)9/.a

+b2=0是f(x)为奇函数的充分条件.又若f(x)为奇函数即f(—x)=—x\(—x)+a\+b=—(x\x

+a|+b),则必有a=b=0,即标+82=0,，/+炉二。是‘⑼为奇函数的必要条件.]

2.B[由QNb=c>d可得c4d=Q<b,又a<b=ewf,所以cwd=ewf；而ewf=cwd显

然不成立，故"cwd"是"ew「的充分非必要条件.]

3.B

4.B「♦Z=1且A=2=〃+8=3,

...a+Z?W3=q#l或8#2.]

5.B[由〃非p"为真可得p为假，若同时"p或q〃为真，则可得q必须为真.]

6.A[由我们学习过的不等式的理论可得p=q,但x=100,y=0.1满足q：x+y>2,

xy>l,但不满足q,故选项为A.]

7.D[由左一5;（:—3<0,解得一水x<3,记为P,则①②BP,B是P的充分

非必要条件，③，C既不是P的充分条件，也不是P的必要条件，④尸。是P的必

要不充分条件.]

8.A[tan（2E+；）=tan^=1,所以充分；

但反之不成立，如tan¥=l.]

9.C

10.A[举例:4=1.2,6=0.3,

则a+6=1.5<2,二逆命题为假.]

11.C

12.D「.•"负数的平方是正数”即为Vx<0,则f>0,是全称命题，；.A不正确；

又•.•对全称命题“VxeN,的否定为“mxGN,RWx”，；.B不正确；

又,•7（x）=sin2ax,当最小正周期T=n时，有命=兀，；.同=1/4=1.

故％=1”是“函数式x）sin2℃的最小正周期为兀”的充分不必要条件.]

13.②④

解析①4nB=A=AU8但不能得出AB,

...①不正确；

②否命题为：“若则x,y不全为0"，是真命题；

③逆命题为：“若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形全等"，是假命题；

④原命题为真，而逆否命题与原命题是两个等价命题，.•.逆否命题也为真命题.

14.如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数假

15.（—8,—1）

解析由/=（—2）2—4X（一机）<0,得”?<—1.

16.（D@

17.解（1）逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形（真命题）.

否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分（真命题）.

逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形（真命题）.

（2）逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数（假命题）.

否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数（假命题）.

逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数（假命题）.

18.解（l）p或g：连续的三个整数的乘积能被2或能被3整除.

〃且q：连续的三个整数的乘积能被2且能被3整除.

非p：存在连续的三个整数的乘积不能被2整除.

二.连续的三整数中有一个（或两个）是偶数，而另一个是3的倍数，

真，g真，二。或q与p且q均为真，而非p为假.

（2）p或仍对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形.

p且4：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形.

非p：存在对角线互相垂直的四边形不是菱形.

假q假，二。或q与p且q均为假，而非p为真.

19.证明充分性：Va3+b3+ab—a2—b2

—（a+b'）（a2—ab+b2）—（a2-ab+b2）

=（a+b_1）（辟一曲+占2）

/.(a+b-1)(〃2—"+/)=0.

又"#0,即〃NO且AHO,

/.a2—ab+b2=^a—^2+肘>0.

・二。+人——1=0,.*.6r+/?=1.

必要性：\*a+b=1,即。+。-1=0,

：.a3+b3+ab~a2~b2

=(〃+/?—1)(层一+序)=0.

综上可知，当出?#0时，

a+b=\的充要条件是足+人+必一〃2—〃=o.

20.解|/U)|Wlo—lW>U)Wlo—lW加+xWl,xe[0,l].①

当工=05，”0,①式显然成立；

当x£(0』]时，①式化为一土一：Wa<g—5在工£(0,1]上恒成立.

设则01,+°°),

则有一户一/〈。・尸一人所以只需

]〃2(一户一，)|曲=一

-=-2—,

女(尸9一f)min=0

又a#0,故一2Wa<0.

综上，所求实数a的取值范围是[-2,0).

21.解对于①，2一r+这一竽>1,即一f+ax—苧>0,故/—ar+竽<0,J=a2—25,

所以不等式的解集为空集，实数a的取值范围是一5WaW5.

对于②，当。=3时，不等式的解集为{x|x>l},不是空集；当a#3时，要使不等式(a

-3)f+(a-2)x—l>0的解集为空集.

[«—3<0,

耐解得一2用WaW2巾.

'l(a-2)2+4(a-3)<0,

对于③，因为『+122弋/$=2

当且仅当f=l,即》=±1时取等号.

所以，不等式的解集为空集时，aW2.

因此，当三个不等式的解集都为空集时，-2pWaW2.

所以要使三个不等式至多有两个不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是

26或a>2}.

22.解Vxi,X2是方程f一如一2=0的两个实根，

则x\+x2=m且X]X2=-2,

ki-X2|=A/(XI+X2)2-4X1X2=》"「+8,

当加£[—1,1]时，|X1—X2|max=3,

由不等式5a—32|x]—及]对任意实数加e[-1,1]恒成立可得：/—5a—323,

：.a—6或aW—1.

所以命题p为真命题时，或aW—1.

命题4：不等式a^+Zx—1>0有解，

当〃>0时,显然有解；

当。=0时，2x—1>0有解；

当a〈0时，•・・加+2¥—1>0有解，

••./=4+4〃>0,-1<a<0,

从而命题4：不等式aj^+lx—1>0有解时a>—\.

又命题q为假命题，—1.

综上得，若P为真命题且4为假命题则4＜一1.

第二章章末总结

知识再现•

~I定义I

T椭研―|标准方程1

一―|儿何性质卜

圆

锥T定义!

曲

线

与―-1双曲线卜—I标准方程F

方■TWI

程—I几何性质卜

一

定义|

T抛物线F标准方程卜

~I几何性质卜

T相交卜标砾曲线的弦I

直线与圆锥曲

线的位置关系I相切I

_!相离|

重点解读•

知识点一圆锥曲线的定义和性质

对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重

要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来.总之，

圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用.

【例1】已知双曲线的焦点在X轴上，离心率为2,Fl,B为左、右焦点，P为双曲线上

一点，且NFIPF2=60。，S4PFIFZ=12小,求双曲线的标准方程.

知识点二直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线一般有三种位置关系：相交、相切、相离.

在直线与双曲线、抛物线的位置关系中有一种情况，即直线与其交于一点和切于一点,

二者在几何意义上是截然不同的，反映在代数方程上也是完全不同的，这在解题中既是一个

难点也是一个十分容易被忽视的地方.圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个

交点无限靠近时的极限情况，反映在消元后的方程上，就是一元二次方程有两个相等的实数

根，即判别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特殊的情况(抛物线中与对

称轴平行，双曲线中与渐近线平行)，反映在消元后的方程上，该方程是一次的.

【例21

如图所示，。为坐标原点，过点尸(2,0)且斜率为4的直线/交抛物线丁=左于M3,

yi),N(X2,»)两点.

⑴求为及与yi”的值;

(2)求证：OM±ON.

知识点三轨迹问题

轨迹是解析几何的基本问题，求解的方法有以下几种：

(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x,y),根据几何条件直接寻求小>■之间的

关系式.

(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换

为已知动点.具体地说，就是用所求动点的坐标x、y来表示已知动点的坐标并代入已知动

点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x、y之间的关系式.

(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则

可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程.

(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x,y)的坐标x,y所满足的关系式时，借助第

三个变量r,建立r和x,r和)，的关系式x=p⑺，⑺，再通过一些条件消掉［就间接地

找到了x和y所满足的方程，从而求出动点P(x,y)所形成的曲线的普通方程.

1例31设点A、B是抛物线V=4px(p>0)上除原点。以外的两个动点，已知0AL03,

OMLAB,垂足为求点〃的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？

知识点四圆锥曲线中的定点、定值问题

圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点,

解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点、定值问题必然

是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、

比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的某个点或值，就是要

求的定点、定值.化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比

例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.

72

【例4】若直线/：y=kx+m与椭圆，+，=1相交于A、B两点(A、B不是左、右顶点)，

心为椭圆的右顶点且AA2_LBA2,求证：直线/过定点.

知识点五圆锥曲线中的最值、范围问题

圆锥曲线中的最值、范围问题，是高考热点，主要有以下两种求解策略：

(1)平面几何法

平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解.

(2)目标函数法

建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建

立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值.

【例51已知A(4,0),8(2,2)是椭圆U+]=1内的两定点，点M是椭圆上的动点，求|MA|

+|M周的最值.

2

【例6】已知Q、尸2为椭圆f+5=1的上、下两个焦点，AB是过焦点B的一条动弦,

求△ABF?面积的最大值.

章末总结答案

重点解读

【例1】解

如图所示，设双曲线方程为上一

\>=~=2,.\c=2a.

由双曲线的定义，

得||PFi|一|PF2ll=2a=c,

在△PF1F2中，由余弦定理，得：

2

|F,F2|=\PFi『+[PF/一2『吊||PF21cos60°

=(|/3FI|-|/,F2|)2+2|PFI||PF2|(1-COS600),

即4，=/+|尸尸|||力引.①

又SAPFIF2=12V3,

.".||PFi||PF2|sin60°=12小，

即|尸已|仍尸2|=48.②

由①@,得/=16,c=4,

则a=2,/>2=c2—a2=12,

72

所求的双曲线方程为]一为=1.

I例2】(1)解过点P(2,0)且斜率为上的直线方程为：y=k(x-2).

把y=《x—2)代入y1—lx,

消去了得Ff-(4F+2)x+4妤=0,

由于直线与抛物线交于不同两点，

故3#0且/=(43+2)2—16六=16后+4>0,

2

X|X2—4,Xl+x2—4+^2,

'：M.N两点在抛物线上，

，冰免=4X-X2=16,

而yry2<0,.•・yiy2=14.

(2)证明OM=(x\fyi),ON={xi,及),

OM-^=x\-X2+y\-y2=4—4=0.

OM±ON,即OMLON.

【例3】解设直线OA的方程为y=Ax(Z#±l,因为当々=±1时，直线AB的斜率不存

在)，则直线08的方程为〉=一去Y

进而可求A侈，崎、B(4plc,-4pk).

于是直线A8的斜率为&.=1片，

d一1

从而koM=~工~,

p—1

二直线0M的方程为y=-T1，①

直线的方程为y+4pk=£ga-4pE).②

将①(②相乘，得尸+4”6=-x(x—4pd),

即x2+y2=-4pky+4pl^x=4p(l^x—ky),③

又Fx—口二x，代入向式并化简，

得(x—2〃)2+9=4〃2.

当后=±1时，易求得直线AB的方程为x=4p.

故此时点M的坐标为(4p,0),也在2P)2+V=4p2(xWO)上.

/.点、M的轨迹方程为(x—2p)2+y2=4p2(xWO),

・•.其轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为2P的圆，去掉坐标原点.

I例41

证明设4乃，yi),

5(X2,J2)，

y=kx+m,

得(3+4F)f+8〃7fcl+4。层-3)=0,

<J=64w2Ar—1