湖南省益阳市2025届高三4月教学质量检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页湖南省益阳市2025届高三4月教学质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={−7,−3,1,5}，B={x|y=lg(x+2)}，则A∩B=(

)A.{−7,−3} B.{5} C.{−3,1,5} D.{1,5}2.已知z=2+(a−2)ii(a∈R)为纯虚数，则a=A.1 B.22 C.2 3.已知向量m=(1,−5)，n=(−4,6)，则m⋅(A.−60 B.−45 C.34 D.654.某同学参加跳远测试，共有3次机会.用事件Ji(i=1,2,3)表示随机事件“第i(i=1,2,3)次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为(

)A.J1∩J2 B.J2∪5.tanπ5sinA.34 B.1 C.65 6.长沙是一座有着悠久历史和丰富文化底蕴的城市，其当地美食也独具特色.某个假期期间，一名游客前往长沙旅游打卡，现要每天分别从臭豆腐、炸藕夹、剁椒鱼头、辣椒小炒肉、酱板鸭、糖油粑粑这6种美食中随机选择2种品尝(选择的2种美食不分先后顺序)，若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为(

)A.90 B.120 C.150 D.1807.已知正六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1A.36 B.42 C.48 D.248.设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，其中点A位于第一象限，当l斜率为正时，x轴上存在三点D，E，H满足AF=AD，BE⊥EF，∠EBH=∠EFB，则|EH|⋅|DF|=A.4 B.8 C.12 D.16二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=cos2x，则(

)A.f(x)的图象关于直线x=π4对称 B.f(x)在区间[−π2,0]上单调递增

C.f(x)的最小正周期为2π D.10.化学课上,老师带同学进行酸碱平衡测量实验,由于物质的量浓度差异等因素,测量酸碱度pH值时会造成一定的误差,甲小组实验数据的误差X和乙小组实验数据的误差Y均符合正态分布,其中X~N(0.3,0.0001),Y~N(0.28,0.0004).已知正态分布密度函数f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2,记X和Y所对应的正态分布密度函数分别为A.f1(0.3)>f2(0.28)

B.甲小组实验数据的误差相对于乙小组更集中

C.P(X<0.28)+P(X≤0.32)=1

D.P(Y<0.31)<P(11.已知函数f(x)的定义域为D，若∀m，n∈D，且(m+n)∈D，都有f(m)+f(n)≤f(m+n)，则称f(x)是次可加函数，则(

)A.f(x)=lnx(0<x≤2)是次可加函数

B.f(x)=sinx(−π≤x≤0)是次可加函数

C.若D=N，f(0)=0，f(1)=1，则次可加函数f(x)可以是周期函数

D.若D=Z，f(0)=0，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知椭圆C:x2m+y29=113.某小区公园内有4条同心圆环步道，其长度依次构成公比为2的等比数列，若最长步道与最短步道的长度之差为840m，则最长步道的长度为

m.14.幻方是一种数学游戏，具有悠久的历史，其要求每行每列以及两条对角线的数字之和均相等，且每格的数字均不相同.现将1∼16填入4×4幻方，部分数据如图所示，则m的取值集合是

．1312111m169四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知双曲线C:x2−y2b2=1的左顶点为A，右焦点为F，P，Q是C上的两点，线段(1)求C的离心率;(2)若R(12,316.(本小题15分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2，bsinC+c(1)求△ABC的面积;(2)若AB⋅AC=1，求17.(本小题15分)

如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，BC=22，CC1(1)过点C，E，F的平面截该长方体所得的截面多边形记为S，求S的周长;(2)设T为线段D1C1上一点，当平面CEF⊥平面A1DT时，求平面18.(本小题17分)记Sn为数列{an}的前n项和，且{2(1)求a2的值，并求{a(2)探究{an(3)证明：Sn<819.(本小题17分)已知函数f(x)=e(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性;(2)已知A(x1,y1)，B(x2,(ⅰ)求b的取值范围;(ⅱ)若(x1−x2参考答案1.D

2.C

3.A

4.C

5.B

6.A

7.A

8.B

9.BD

10.ABC

11.ABD

12.3

13.960

14.{14}

15.解：(1)当PF⊥AF时，|PF|=|AF|，故P的横坐标为c，代入C的方程，得y2=b2c2−b2，

因为c2=1+b2，所以y2=b4，故y=±b2，

所以c+1=b2，故c2=c+2，解得c=2，

故C的离心率为ca=2．

(2)由(1)知C:x2−y23=1，设P(x1,y1)，Q(x2,y16.解：(1)对右边等式，由余弦定理知bcosC+ccosB=a2+b2−c22a+a2+c2−b22a=a，

设BC边上的高为ℎ，

则bsinC+csinB=absinCa+acsinBa=ℎ+ℎ=2ℎ，

因为bsinC+csinB=bcosC+ccos17.解：(1)如图，步骤1:延长DA，CE交于点P，连接PF交AA1于点G，连接GE;

步骤2:延长GF，DD1交于点Q，连接CQ交C1D1于点H，连接FH，

多边形CEGFH即为所求截面，由E为AB中点，可得A为DP中点，

从而△APG与△A1FG相似，所以A1GAG=A1FAP=12，

又F为A1D1中点，从而△D1FQ与△A1FG全等．

又△D1HQ与△C1HC相似，所以D1HHC1=QD1C1C=A1GA1A=13，

所以CE=22+(22)2=23，GE=22+(43)2=2133，

GF=(23)2+(2)2=223，FH=(1)2+(2)2=3，CH=(3)2+(2)2=13，

故所求截面多边形的周长为93+513+223．

(2)当T为线段D1C1中点时，平面CEF⊥平面A1DT，理由如下;

易得EF2=22+22+(2)2=10，CE2=22+(22)2=12，CF2=42+22+(2)2=22，

故EF218.解：(1)因为{2nann}为等差数列，取前3项知2，2a2，83a3成等差数列，即4a2=83a3+2，

因为{ann(n+1)}为等比数列，取前3项知12，a26，a312成等比数列，即2a22=3a3，

代入4a2=83a3+2得4a2=169a22+2，即8a22−18a2+9=0，

也即(2a2−3)(4a2−3)=0，所以a2=34或3219.解：(1)f′(x)=ex−1x+1，记g(x)=f′(x)，则g′(x)=ex+1(x+1)2>0，

所以f′(x)在(−1,+∞)单调递增.又f′(0)=0，所以f(x)在区间(−1,0)单调递减，在(0,+∞)单调递增．

(2)(i)由题意可得x1+x2=0．

由对称性，不妨设x1=t∈(0,1)，则x2=−t.又f(x1)+f(x2)=2b，即eat+e−at−ln(1−t2)=2b．

记F(t)=eat+e−at−ln(1−t2)，则F′(t)=aeat(e2at−1)+2t1−