矩阵理论 课件 第4章第4节数字矩阵的Jordan标准型

数字矩阵的Jordan标准型4.4数字矩阵的Jordan标准型矩阵相似的条件引理4.2设与为两个阶矩阵,若存在阶数字矩阵和,使得

则与相似.证比较上式两端的同次幂的系数矩阵,可得

从而,得故与相似.引理4.3设与为两个阶方阵,若它们的特征矩阵与等价,则存在阶数字矩阵和,使得

数字矩阵的Jordan标准型定理4.13阶方阵与相似的充要条件是它们的特征矩阵与等价.证必要性：若与相似,则存在可逆矩阵使得从而

而和均可视为可逆的矩阵,故与等价.充分性：若与等价,则由引理4.2与引理4.3可以证明.定义4.13设是阶数字矩阵,其特征矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子分别称为矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子.例4.7求矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子.解的特征矩阵为数字矩阵的Jordan标准型行列式因子为

由于它有两个2阶子式

故从而,的不变因子为于是,的初等因子组为例4.8求如下矩阵的不变因子与初等因子(其中,为非零常数)：数字矩阵的Jordan标准型解因为

所以去掉第1行第列后,剩下的阶子式为从而,

由此得

故的不变因子为

初等因子为

数字矩阵的Jordan标准型定理4.14阶矩阵与相似的充要条件是它们有相同的行列式因子,或者它们有相同的不变因子.由于特征矩阵满秩,因此根据定理4.14立即可得.定理4.15阶矩阵与相似的充要条件是它们有相同的初等因子.数字矩阵的Jordan标准型Jordan标准型及其计算前面曾指出,阶数字矩阵不一定可对角化,但总可以相似于一个比对角矩阵稍复杂的Jordan标准型.Jordan标准型在数值计算中经常采用,它不仅可用于计算矩阵的方幂,还在矩阵函数、矩阵级数、微分方程等方面有着广泛的应用.定义4.14形如

的矩阵称为阶Jordan块,其中为复数.例如,

分别为对角元素为的1、2、3、4阶Jordan块.数字矩阵的Jordan标准型定义4.15由若干Jordan块的直和构成的分块对角阵

称为阶Jordan标准型,其中为阶Jordan块,例如：

是一个6阶Jordan标准型,它由3个Jordan块构成.数字矩阵的Jordan标准型注阶对角矩阵是Jordan标准型的特例,它由个1阶Jordan块构成.下面讨论任何一个方阵相似于某个Jordan标准型的条件,以及如何将化为Jordan标准型的方法.方法1初等因子法引理4.4阶Jordan块

只有一个初等因子证明仿照例4.7即可.数字矩阵的Jordan标准型如果用表示主对角线上元素为的阶Jordan块,则Jordan标准型

的初等因子组为

且定理4.16任意一个阶复矩阵都与一个Jordan标准型相似,若不考虑中Jordan块的排列顺序,则由唯一确定.证设的特征矩阵的初等因子组为

数字矩阵的Jordan标准型且每个对应一个主对角线元素为、阶数为的Jordan块所有的直和构成.因此,的初等因子组为因为与有相同的初等因子,所以与也有相同的初等因子,因此与等价.根据定理4.13可知与相似.若存在与均与相似,则与有相同的初等因子.如果不考虑与中Jordan块的排列顺序,则既然阶对角矩阵是Jordan标准型的特例,那么下面的推论显然成立.推论4.1任意一个阶复矩阵可以对角化的充要条件是的初等因子全是一次因式.数字矩阵的Jordan标准型综上,可得求矩阵的Jordan标准型的初等因子的方法,具体步骤如下.第一步：求出矩阵的初等因子组,设为

第二步：对于每个初等因子写出其对应的阶Jordan块,即

第三步：将各Jordan块合在一起,写出的Jordan标准型,即

数字矩阵的Jordan标准型例4.9求矩阵的Jordan标准型.解第一种方法：例4.7已经求得的初等因子组为从而的Jordan标准型为或者第二种方法：写出的特征矩阵,并进行初等变换得到Smith标准型,即

故的初等因子组为同样可得到的Jordan标准型.数字矩阵的Jordan标准型方法2：波尔曼算法以下介绍一种求阶矩阵的Jordan标准型的较为简便的方法——波尔曼算法.基本步骤如下：第一步：求出的所有特征值第二步：对每个不同的特征值和每个求矩阵的秩,记为

在计算秩时,若对某个有

则对所有的都有

第三步：对每个求关于的Jordan块的阶数和Jordan块的个数即

数字矩阵的Jordan标准型这里需要说明的是,若求出则说明有个关于的阶Jordan块.第四步：写出与相似的Jordan标准型,它由的特征值的个关于的阶Jordan块的直和构成.例4.10用波尔曼算法求以下矩阵的Jordan标准型：解第一步：求的特征值.由可得特征值为数字矩阵的Jordan标准型第二步：求的秩.具体如下：

这里为3重特征值,没有其他特征值,且为3阶方阵,故只求这3个秩即可.第三步：求Jordan块的个数和阶数,即

说明的Jordan标准型有1个关于的1阶Jordan块和1个关于的2阶Jordan块.数字矩阵的Jordan标准型因此,的Jordan标准型为

数字矩阵的Jordan标准型变换矩阵根据定理4.16,对于任一阶矩阵存在阶可逆矩阵使得下面来计算(1)将按的结构写成列块的形式：

列

列列因此，从而,数字矩阵的Jordan标准型(2)求解个矩阵方程将个合成变换矩阵关于方程的求解,设则

由得由得故

推出

于是数字矩阵的Jordan标准型两种计算的具体方法如下.①按照的顺序求解,即先求出特征向量然后由后续方程求出②先求的特征向量然后直接得到对于方法①,由于为奇异矩阵,每步均存在多解或无解问题,因此各步之间不能完全独立,前一步尚需依赖后一步、再后一步……，直至最后一步才能完全确定一些待定系数；而方法②仅出现一次求解方程,其余为直接赋值,无上述问题,但该方法可能导致低阶出现零向量的问题.由于因此应满足但数字矩阵的Jordan标准型同一特征值可能出现在不同的Jordan块中.对于这种情况,按各Jordan块的阶数高低依次进行处理,高阶先处理,低阶后处理,同阶同时处理.a.最高阶(没有属于同一特征值的Jordan块同阶)可按下述方法求出即先使但的作为；然后由方程依次求出直至且等于下一个属于同一特征值的Jordan块的阶数.b.对于上述新Jordan块,它的不仅要考虑满足

还应与前述线性无关.c.对于其他属于同一特征值的Jordan块,在处理时,按照b进行即可.d.当出现多个属于同一特征值的Jordan块同阶时,还应考虑线性无关问题.数字矩阵的Jordan标准型例4.11求以下矩阵的Jordan标准型和相似变换矩阵使得解先求的Jordan标准型.由于

因此的初等因子组为从而

设由可得即

数字矩阵的Jordan标准型这样得到以下3个方程：

第一个方程对应第一个Jordan块,第二、三个方程对应第二个Jordan块.下面先求解第一个方程,其系数矩阵为

故第一个方程的基础解系为由于后面没有方程涉及因此一般可任取一个解,取第二个方程与第一个方程相同,但其解要代入第三个方程,故先设其中,和为待定常数.代入第三个方程,其增广矩阵为数字矩阵的Jordan