高考数学解题技巧讲义

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2021易存敬辱解起枚巧饼文

第，褂匹叔钩关技巧................................................................................2

才支巧1分式函数求值域.........................................................................4

技巧2口算奇偶性求参数.......................................................................5

技巧3形如的=奇函数+常数...................................................................7

第2褂牛面向覆...................................................................................17

技巧1奔驰定理..............................................................................22

技巧2三角形的四心...........................................................................25

技巧3极化恒等式............................................................................27

技巧4等和线定理............................................................................37

第3褂解三南格..................................................................................46

技巧一三角形的射影定理.....................................................................49

技巧2三角形的中线定理.....................................................................50

技巧3角平分线的定理........................................................................52

第4明粼列......................................................................................62

技巧1等比数列前n项和规律.................................................................65

技巧2单一条件口算结果.....................................................................66

技巧3公式法口算通项........................................................................68

技巧4错位相减法口算结果....................................................................70

技巧5斐波那契数列...........................................................................72

第5饼先支三角形...............................................................................82

技巧1焦点三角形的周长.....................................................................85

技巧2焦点三龟形的面积......................................................................85

技巧3焦点三角形的离心率...................................................................88

第6褂离芯率...................................................................................101

技巧1焦点三角形中的离心率................................................................103

技巧2点差法中的离心率......................................................................105

技巧3渐近线与离心率.......................................................................108

技巧4焦点弦与离心率........................................................................110

第7褂支爰法....................................................................................123

技巧1点差法在椭圆在的应用................................................................125

技巧2点差法在双曲线在的应用...............................................................130

技巧3点差法在抛物线在的应用..............................................................135

第g饼外接嫁■&而切球...........................................................................154

技巧1外接球之墙角模型......................................................................160

技巧2外接球之汉堡模型......................................................................162

技巧3外接球之斗笠模型......................................................................165

技巧4外接球之折叠模型......................................................................167

技巧5外接球之切瓜模型.....................................................................1700

技巧6外接球之麻花模型......................................................................172

技巧7外接球之矩形模型......................................................................173

技巧8内切球半径............................................................................175

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第7许备剧儡关技巧

技巧导出

技巧1：分式函数求值域

|函数技巧2：

奇偶性口算求参数

技巧3：f(x)=g(x)+k,其中g(x)为奇函数

技巧裨褂

分式函数求值域----分子分母为同类型函数

(一)注意事项

1.求值域前先求定义域，如果给出区间则不用求定义域

2.几个极限值

--->0+-..>0-oo+a—>oo——>+oo——>-oo

+-

00+00~00

(二)模式

1.分子分母为一次函数

a1、ad,ad,

一(zex+d)----Fh---+h

y=a^b>y=a

tcc=—+---c---

cx+dcx+dccx+d

=y=常数+反比例函数<=>反比例单调函数<=>求值域带端点值即可

2.分子分母为无常数项的二次函数

=ax^+b__，攀之=色土2。y=常数+反比例函数

2

cx+d'5,新叫的逊zct+d

。反比例单调函数。求值域带端点值即可

3.分子分母为指数函数

=ka^+h___葭;二丝女。y=常数板比例函数

x

ca+d之•新中阻国ct+d

o反比例单调函数。求值域带端点值即可

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二.奇偶性

1.常见函数的奇偶性(前提定义域关于原点对称)

(1)y=ax+—奇函数

x

□奇数=>奇函数

(2)y=xa-

a偶数n偶函数

(3)y=奇函数>="+「偶函数

1Y]+X

(4)y二log。一-或y=log”^奇函数

l+x\-x

(5)y=loga(J1+/士”奇函数y=loga,---奇函数

Vl+x2±x

（6）常考的奇函数：（式子中的凡加,〃均是使函数解析式有意义的范围.）夕=108,（G/》2+1±加X）

ax±1t.mx±n.

y=------y-a-ay-loga------y-sinxy=tanxy=xy=x3

ax+1mx+H

t2k

y=xy=-----不kz

ax±l

常考的偶函数：y=ax+a'xy=k）g〃（。"+1）--yy=cosx

2.有对称轴函数解不等式或比较大小---比较的是两个自变量与对称轴距离的远近

当函数的对称轴为x=af则f(xi)>f(x2)

(1)当函数的先增后减时，|七一H<民一。|

(2)当函数的先减后增时，卜一4>,2

3.奇偶性的运算

同性相加减的同性，异性相加减为非奇非偶

同性乘除为偶函数，异性乘除为奇函数

三.函数模型为#u=ga>+a,其中8㈤为奇函数，所给区间要关于原点对称

1.f(x)+f(-x)=2k

推导：问+f(-x)=g(x)+k+g(-x)+k=g(x)-g(-x)+2k=2k

2.f(x)max+f(x)min=2k

推导；力劝”5切，劝nM=gM"ax+%+g㈤M"+%=2A■(奇函数的最大值与最小值成相反数)

3.如何找k—f(<0)=k

推导.斤0)=g仰+左=左

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技巧率证

技巧1分式函数求值域

2x—1

【例1】（1）（2020山西省太原市实验中学）已知函数/（x）=—^-,xe[3,5]的取值范围»

r2-l

（2）（2020湖南省长沙市第一中学）函数y—的值域为

"X"+1

S3

【答案】(1)[-,-1(2)[-1,1)

42L7

【解析】⑴〃3)二213二1=9/⑸=2X5」J,则其值域[9,2

''3+14-5+1242

2

r_177

(2)常规法：分离常数由已知:歹=三一=1---—,vx2+l>l,.-.0<--

x2+\x2+lx2+l

技巧法：片式[e0,贝”函数yYX尸下■，/@=-/,〃8）=/（取不至4,开区间），<y<\

【举一反三】

2x+3

1.（2019上海市普陀区曹杨第二中学函数）y=--------,xw[0,2]的值域是_________

x+2

37

【答案】行

【解析】技巧法：的六之3力%）=7：故答案为：37

2424

…2x4-32x+4—1=2——L,因为xe[0,2],故」^]_]_

常规法L：y=---------

x+2x+2x+2x+24,2

13737

故2---------e.故答案为：

x+224254

2-x2

2.（2020广东省东莞市北师大东莞石竹附属学校）函数歹二—的值域是__________________「

2+x

【答案】（-1,1]

）2

【解析】技巧法：t=x2,tN0,则函数y=Rx）=—^,R0）=l,f（8）=-l（取不到，开区间），即函数y=----二"的值域

"22+x

是（一1,1].

2-x2—_入2-4=_]+q

常规法：y=

2+xxn+2/+2/+2

1144

x2+2...2,0<-z——„—,则0<———„2,/,—1<-14—-——„1・

%2+22x2+2%2+2

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2-x2

即函数y=—7的值域是(-1,1].

2+x

3.(2020陕西省西安市高新一中)函数丫=竺二^的值域为

X+1

【答案】(-00,4)u(4,+00)

【解析】技巧法：』=4"二立的定义域为则y4f(-1)=4

X+1

故答案为：(ro,4)u(4,+oo)

4x-V24x+4-4-V24x+44+72，4+72

常规法：由题y--------=----------------------------------=4----------

X+1X+1x+1x+1x+1

因为y=，的值域为(-8,0)<J(0,+oo)，故y=」工的值域为(TQ,0)D(0,+8),

故y=4+的值域为(YO,0)U(0,4-00).

X+1

故夕=4一包史的值域为(-°o,4)u(4,+°。)故答案为：(HO,4)D(4,M)

x+1

技巧2口算奇偶性求参数

【例2】⑴(2020•福建漳州•高三其他(文))若函数/(x)=(sinx)ln(&：2+a+x)是偶函数,则实数。=

()

71

A.-1B.0C.1D.—

2

-2x1

(2)(2020•河南高三月考(理))已知/(%)=a-----他£火)是奇函数，且实数人满足了(2左一1)<一,则左

1+2”3

的取值范围是()

A.(-oo,-l)B.(-1,+8)C.(-oo?0)D.(0,+8)

【答案】(1)C(2)D

【解析】(1)技巧法：因为函数为偶函数，正弦为奇函数，所以对数为奇函数，根据常见函数可知Q=1

常规法:+Q+x是偶函数，y=siwc是奇函数,

+x|是奇函数，所以In+a-x=-ln+。+x,

所以In

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所以Ina=0,所以a=1,故选：C.

-2x

(2)因为/'(x)=幺a0是定义域为R的奇函数，所以/'(0)=0,可得a=l,

1+21

此时/(x)=L^='_上*=_1+易知〃x)在R上为减函数.

1+2“1+2、1+2、

又因为/(2左一1)<；=/(一1),所以2左一1>—1,所以左>0.故选：D.

【举一反三】

1.(2020•沙坪坝•重庆南开中学高三月考(理))已知函数/(x)=e'+e~x+x2,则不等式/(2x)</(x-3)

的解集为()

A.(-a>,-3)u(l,4w)B.(-1,2)C.(0,1)D.(-3,1)

【答案】D

【解析】技巧法：根据常见奇偶性函数可知f(x)为偶函数，根据对勾函数已知二次函数可知x>0函数为单调

递增，则x<0函数为单调递减，|2乂<卜一3|,即(2x)2<(X-3)2,解得—3<X<1,故选：D.

2x_1

常规法:设8(》)=6'+"",〃(》)=》2,由g，(x)=_----,当x<0时，g'(x)<0,

ex

当x〉0时，g'(x)>0,则g(x)在(fo,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

由二次函数的性质可知，在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

所以/(X)=/+"*+/在(—00,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

又/(一力=0-*+e*+》2=/(x),所以/(x)为偶函数.由/(2x)<f(x-3)可知，

|2x|<|x-3|,即(2x)2<(x—3「解得一3<x<],故选：D

2.(2020•河北桃城•衡水中学高三其他(文))若函数/(x)=e、—eT+x,则不等式f(|x|+l)+/(2xR0

的解集为()

A.[-1,+«))B.(―8,1]C.(0,1)D.(-1,0)

【答案】A

【解析】技巧法：根据常见函数可知f(x)为奇函数求为单调递增则/(|x|+l)+/(2x)20可化为

f(\x|+1)2—/(2x)=f(―2x)所以原不等式等价于不等式|x|+12—2x.

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①当x»0时，可化为x+l»—lx=>x>—,所以x?0；

3

②当x<0时，可化为一x+12-2x=>x»-l,所以一lWx<0.

综上，原不等式的解集为［-1,+8）.

常规法：因为函数/（》）=/一短+》的定义域为R,

且满足/(—x)—ex—ex—x——(e'—ex+x)=—/(x),

所以/(x)为R上的奇函数，

则/(|x|+l)+/(2x)A0可化为/(|x|+l)>-/(2x)=/(-2x),

因为/'(x)=e'+e-*+l>0恒成立，所以/(x)为R上的增函数.

所以原不等式等价于不等式|x|+12-2x.

①当xNO时，可化为x+12-2x=>xN—工，所以xNO;

3

②当x<0时，可化为一x+12-2xnxN-l,所以一lWx<0.

综上，原不等式的解集为［—1,+8）.故选：A.

3.（2020•河南罗山•高三月考（理））已知函数.危）的图象关于y轴对称，且./（X）在（一8,0］上单调递减，则

满足+的实数x的取值范围是（）

B.

1n

D.

I36J

【答案】B

【解析】由题意“X）是偶函数，且在［0,+00）上单调递增,

|3x+l|<；

...不等式/(3x+l)〈/可变为/(|3x+l|)解得—<x<—.故选：B.

出26

技巧3形如的=奇函数+常数

【例3】（1）（2020•河南平顶山•高三月考（文））已知函数/（x）=x3-3sinx+2,若/（加）=3,则/（一〃。=

)

A.-3B.-1C.1D.2

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（2）（2019秋•市中区校级月考）已知/（x）=sinx-点+1,xe[-2^,2幻,若/G）的最大值为加，〃x）的

最小值为N,则M+N等于（）

A.0B.2C.4"D.8乃3

2x2x

cosx+xe-xe~+2n,

（3）（2020・五华・云南师大附中高三月考（文））已知函数/（%）二----------------------,则

cosX+2

12J20192019/2018+•••+/•[———

+—+./-12020+/「2020)

202020202020I2020

A.2019B.2020C.4038D.4040

【答案】(1)C(2)B(3)C

【解析】（1）因为y=x3,y=5%x是奇函数，/（〃?）+/（-加）=4.•./'（-加）=4一/（加）=1.故选：C.

(2)函数g(x)为奇函数，g(x)e+g(x)„,„=0,即/(x)--1+/(x)m),-1=0,“XL+./(x)„„,=2,

即〃+N=2.故选：B.

(3)左="0)=1

12J2019..2019..2018+•••+/[———

所以/+—+./■+，「2020+[~2020

20202020I2020J\2020

=2019x2=4038.故选：C

【举一反三】

7r

1.（2019秋•椒江区校级期中）已知函数f（x）=2+—；--T7的最大值为"，最小值为机，则/+〃?的值等

e+e

于（）

-d4e

A.2B.4D.4+——-

C,2+I771+e2

【答案】B

7Y

【解析】设g（x）=E,则蚣）是奇函数，'g（x）的最大值和最小值互为相反数，且"X）的最大值为

最小值为加，，河+加=4.故选：B.

2.（2021•宁夏银川二十四中高三月考（理））若/（x）=ax3+/>sinx+l,且/（5）=7,则/（—5）=（）

A.-7B.—5C.5D.7

【答案】B

【解析】设g(x)=/(x)—1=o?+bsinx,则g(—x)=-g(x),所以g(5)=/(5)-l=6,

则g(一5)=/(—5)-1=一6,所以/(一5)=—6+1=—5.故选：B.

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3.已知函数f(x)=In(x+J??+i)+i,若实数a满足f(-a)=2,则f(a)等于()

A.1B.0C.-1D.-2

【答案】B

【解析】I•函数f(x)=In(x++i)+i,

实数a满足f(・a)=2,

/(-a)=/w(-a++1)+1=2，；・/〃(-a+Ja=+1)=1，

；・/(a)=InQa+Na?+1)=—ln(—a+Ja2+1)+1=・1+1=。・故选：B.

、x

4.(2020•云南师大附中高三月考(理))已知函数/(x+乙1二2cosx+———x^c—~+二4，则

(2)cosx+2

)

A.2019B.2020C.4038D.4040

【答案】C

2cosx+x2ex-x2e~x+4_x2(ex-e-Y)

【解析】fx+-=-------------------------------=2+-------------,

2)cosx+2cosx+2

令h(x)=『(e"e'),则h(_x)==(e*一6=一例乃，所以人(x)为奇函数,

cosx+2cosx+2

所以人(x)关于坐标原点对称，则/(X)关于2)成中心对称，

(1](2019]

则有/(%)+/(1-%)=4,所以/=-x2019x120202020J=4038

2

故选：C.

2

5.(2020•全国高三月考(理))已知函数/(%)=In(Vx+1-xj+sinx-2,则/(2020)+/(-2020)

()

A.2B.0C.-2D.-4

【答案】D

【解析】设g(x)=ln(W+1-x)+sinx.则

g(-x)+g(x)=IniVx2+1+xl+lnlVx2+1-xj+sin(-x)+sinx=Ini=0

所以g(-x)=—g(x),即g(x)为奇函数，所以g(2020)+g(—2020)=0,所以

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/(2020)+f(-2020)=g(2020)+g(-2020)-4=-4.故选：D.

技巧强化

?丫2,o

1.（2019江苏省盐城市）函数/（x）=吧.的值域为

x+1

【答案】（3,2018].

【解析】技巧法：t=x2,t>0则留方智,f（0）=2018,f（8）=3故答案为（3,2018].

3F+20183,+1)+20152015

〃x)=2+2

x2+1x+1x+1

孥之6(0,2015]3+孥之w(3,2018]故答案为(3,2018].

X+1X+1

y/x-1

2.函数y=)=的值域是

Vx+3

1)

【答案】--,1

【解析】技巧法：/=«(后0)则y=0,:./(O)=—1,八8)=1,则值域为1一1,11

£+33L3J

,,,,,,y/x—1y/x+3—44

常规法：由越次口y=—=---=---=----=1---尸---,

“Jx+3y/x+3Jx+3

因为所以6+323,

八11c44

所以°<-7=—Tw7,则0<—j=~-w-

7x+33+33

14「I八

因此丁=1一"十叫’

故答案为：—

win0

3.（2020黑龙江省哈尔滨师范大学附中）函数歹二----：—的值域为_________.

2-sin。

【答案】—;』

【解析】技巧法：令sin6»=l,则fe[—1,1]故y=」一,/(—1)=—1,/(1)=1,

2.—t3

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常规法：令sin9=t,则££[—1,1],故y=--—=—————=—1H——

L」2-t2-t2-t

2eI52，

由于fe[—1,1],---

2—/

“iJ一；,1,即函数y=sin。

的值域为一§，1，故答案为：--1

-2-t2-sin。3'-

4.(2020•江西省信丰中学高三月考(文))已知函数/(x)=a/+bx3+cx+8,且/(—2)=10,则函数/(2)

的值是______

A.-2B.-6C.6D.8

【答案】6

【解析】技巧法：/(-x)+/(x)=16,令x=2,得/(一2)+〃2)=10+/(2)=16,解得/(2)=6,

常规法：f(x)=ax5+bx}+cx+S,令g(x)=a/+法3+cx=/、(x)-8,

其中g(-x)=-bx，-cx=-g(x),所以函数g(x)为奇函数,

即g(-x)+g(x)=/(-x)-8+/(x)-8=0,

可得/(一力+/")=16,令x=2,得/(一2)+/(2)=10+〃2)=16,解得了⑵=6

5.(2020•山西大同•高三月考(文))设函数/(x)=o?+bsinx+cln(x+Jf+i)+3的最大值为5,则/(x)

的最小值为

【答案】1

【解析】技巧法：f(X)mx+f(X)min=6,则f(X)的最小值为1

常规法：由题可知，/(x)=ax'+bsinx+cln(x+Jx2+1)+3,

2

设g(x)-ad+6sinx+cln(x+Vx+1),其定义域为A,

又g(-x)=〃(-»+6sin(-x)+cln(-x+-J(-x)2+1),

即g(-x)=一加-sinx+cln(-x+vx2+1),

由于g(_%)+g(x)=clnx+

clnx2+1-x2)=cIn1=0,

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即g(-x)+g(x)=O,所以g(x)是奇函数,

而/(x)=g(x)+3,由题可知，函数/(X)的最大值为5,

则函数g(x)的最大值为：5-3=2,

由于g(x)是奇函数，得g(x)的最小值为-2,所以/(x)的最小值为：-2+3=1..

Asinx

6(2020•广东霞山•湛江二十一中高三月考)已知函数/(x)=------U+2的最大值为〃，最小值为加，则

l+x

M+m=________

【答案】4

【解析】技巧法:f(X)max+f(X)min=4

/、Asinx/、Asin(-x)-Asinx,、，、

常规法：设g(x)=-^——-,因为g(-％)=~;~~;~~3■=—；-----=sM,所以g(x)为奇函数，

1+x1+(-X)1+x

则g(x)的最大值为M-2,最小值为m-2,

由奇函数对称性知，两者相加为0,即“-2+(加-2)=0,M+m=4.

7.(2019•杏花岭•山西实验中学高三月考)已知函数/(x)=(x+D：+smx,其中广(力为函数/(x)的导

x+1

数，则/(2018)+/(-2018)+/(2019)-/'(一2019)=

【答案】2

(x+1)2+sinxx2+2x+l+sinx,2x+sinx

【解析】/(x)1+—；--------

%2+1X2+1x+1

令g(X)=,则有/(x)=g(x)+"(x)=/(x)

因为g(x)的定义域是R,g(—x)=.2x、：；nx=_g(x)

所以g(x)是奇函数，所以g'(x)是偶函数

所以g(2018)+g(-2018)=0,g'(2019)-g'(—2019)=0

所以“2018)+/(-2018)+f'(2019)-f'(-2019)

=g(2018)+l+g(-2018)+l+g/(2019)-g,(-2019)=2it^：A

sinx+xcosx

8.(2019•山东任城・济宁一中高三月考)设函数/(X)(QEHMWO),/(-2019)=2,

ax2

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7(2019)=1

【答案】-2

“、sinx+xcosx„.sin(-x)-xcos(-x)sinx+xcosx”、

［解析］因为f(x)=------〜——，所以/(-z%)=.')4——=---------J——=-/«，

axaxax

因此函数〃x)为奇函数，又/(—2019)=2,所以/(2019)=-/(-2019)=-2.

4

9.(2019・湖南娄底•高三期末(文))已知函数/(x)=-----+x3+sinx,其导函数为/'(x),则

ex+\

/(2020)+/'(2020)+/(-2020)-/'(-2020)的值为,

【答案】4

4,44PA，

【解析】函数f(x)=---+x3+sinx=>f(x)+f(-x}=-----+-----=4,

e+1ex+1eA+1

„./、4e_2

/(x)=_^7^+cosx,/'(x)-/'(-x)=0,

7(2020)+f'(2020)+/(-2020)-/(—2020)=4.

10.(2019秋•渝中区校级月考)已知/(x)=(x：2'，则/(X)在区间［-2,2］上的最大值最小值之和为____L

x+4

【答案】2

【解析】技巧法：f(0尸1,则最大值和最小值的和为2

-,,,,x2+4+4x14x人/、4x

常规n法：由/(x)x=——---=1+-5—7令g(x)=F一"7，

x+4x~+4+4

4x

可得g(-x)=--2―=-g(x)是奇函数，

x+4

可得g(x)区间［-2,2］上的最大值最小值之和为0.

那么/(x)在区间［-2,2］上的最大值为l+g(x)x，最小值为l+g(x).；

.,./(X)在区间［-2,2］上的最大值最小值之和为2..

11(2020秋•广东月考)已知函数/(x)=(/-2x)sin(x-l)+在［-1,3］上的最大值为M,最小值为加

则河+m=(

【答案】2

【解析】技巧法：所给区间不管原点对称需要换元，令t=x-l,则正［-2,2］

f(t)=(t2-1)sint+^-,f(O)=1,fl1)f(x)的最大和最小值为2k=2

常规法：由/(x)=［(x-l)2-l］sin(x-l)+l+」一令x—l=f,xe［-l,3］上，可得fe［-2,2］；

x-l

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那么/(x)转化为g(r)=t2sin/+--sin/+l

由于〃«)=『sinf+l-sinf是奇函数可得〃⑺，Ze[-2,2]的最大值与最小值之和为0,

t

那么g(f)的最大值与最小值之和为2..

12.(2019秋•宁波期中)已知函数f(x)=G+D(x_:)+2x-2：的最大值为”,最小值为,”，则加+加=(

x-4

【答案】2

【解析】—+2'-2；-4-产-2-、

x-4x-4

,2x-2-x-3x

=1+r-;--

x-4

-x

令g(x)=^T~-2-~3x则g(-x)=-g(x),即g(x)为奇函数，图象关于原点对称，

x-4

gU)=/W-i,

x

g()ma.r=M-\,g(x)„„,n=m-l,且g(x)2+g(x)„,.,=0,

A/-1+加一1=0,

则A/+加=2.

13.(2020•陕西西安•高三月考(理))已知P：a=+\,q：函数〃x)=ln(x+力2+》2)为奇函数,则2

是q成立的().

A.充分不必要条件