北师大版2025年八年级（下）期中数学试卷（二）（考查范围：第1~3章）

2024-2025学年八年级（下）期中数学试卷【北师大版】考试时间：120分钟；满分：120分；考试范围：第1~3章姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！第Ⅰ卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（24-25八年级·浙江杭州·期中）不等式组x+9<5x+1x>m+1的解集是x>2，则m的取值范围是（

A．m<2 B．m≥2 C．m≤1 D．m>12．（3分）（24-25八年级·湖南娄底·期中）如图，∠ABC的平分线BF，与△ABC的外角∠ACG的平分线相交于点F，过点F作DF∥BC交AB于点D，交AC于点E，若BD=8，CE=6，则DE的长为（A．4 B．2.5 C．2 D．1.53．（3分）（24-25八年级·河南周口·期中）如图，AB=AC，把△ABC绕点B顺时针旋转一个角度得到△DBE，点C在DE边上，若∠A的度数为α，则∠DBC的度数为（）A．90°−3α2 B．180°−3α2 C．90°−α24．（3分）（24-25八年级·山东泰安·期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3，沿过点A的直线折叠，再次折叠，使点C与点D重合，则AE的长度为（

）A．176 B．136 C．1565．（3分）（24-25八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A,C在x轴上，点C的坐标为(−1,0),AC=2.将RtΔABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点坐标是(

)A．(−1,2) B．(−4,2) C．(3,2) D．(2,2)6．（3分）（24-25八年级·浙江·期中）对于正整数数x，符号x表示不大于x的最大整数．若3x+a2=3有正整数解，则正数a的取值范围是（A．0<a<2或2<a≤3 B．0<a<5或6<a≤7C．1<a≤2或3≤a<5 D．0<a<2或3≤a<57．（3分）（24-25八年级·重庆·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，CH为△ABC的角平分线，D为AC边上的中点，E为BC边上一点，将△DCE沿DE翻折，使点C的对应点C′恰好落在角平分线CH上，连接AC′并延长交BC于点F，若BF=7，则点C′到A．73 B．74 C．758．（3分）（24-25八年级·江西景德镇·期中）已知非负数x，y，z满足.3−x2=y+23=A．−2 B．−4 C．−6 D．−89．（3分）（24-25八年级·安徽安庆·阶段练习）如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形).若再作一个格点正方形,并涂上阴影,使这两个格点正方形无重叠,且组成的图形既是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有(

)A．2种 B．3种 C．4种 D．5种10．（3分）（24-25八年级·辽宁阜新·期中）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E在同一条直线上，连接B、D和B，E，下列四个结论：①∠BDE=90°；②BD=CE；③∠ACE+∠DBC=30°④BEA．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（24-25八年级·黑龙江佳木斯·期中）如图，∠ABC=90°，∠BCA=30°，将△ABC绕点B逆时针旋转a0°<a<90°，得到△DEB，设BD与AC交于点F，连接ED，当△CDF为等腰三角形时，a=12．（3分）（24-25八年级·安徽亳州·期中）已知直线y=−x+2与直线y=2x+6相交于点A，两直线分别与x轴交于B，C两点，若点Da,12a+1（1）点A的坐标是；（2）a的取值范围是．13．（3分）（24-25八年级·广东深圳·期中）如图，在锐角三角形ABC中，∠BAC=60°，BE，CD分别为△ABC的角平分线．BE，CD相交于点F，FG平分∠BFC，已知BD=3，CE=2，△BFC的面积=2.5，求△BCD的面积=．14．（3分）（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图，AB⊥BC，∠ACB=20°，∠CBD=40°，AC=4，BD=2，则∠BCD=°．15．（3分）（24-25八年级·重庆万州·阶段练习）一个四位正整数M，如果千位数字与十位数字之和的两倍等于百位数字与个位数字之和，则称M为“共进退数”，并规定FM等于M的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之和，GM等于M的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之差，如果FM=60，那么M各数位上的数字之和为；有一个四位正整数N=1101+1000x+10y+z（0≤x≤4,0≤y≤9,0≤z≤8，且为整数）是一个“共进退数”，且FN是一个平方数，G16．（3分）（24-25八年级·浙江杭州·期中）如图，在△ABE中，AB=BE=4，∠BEA=30°，F为AE的中点，C为BF延长线上一点，D为EB延长线上一点，且CA=CD．则∠EDC−∠EAC=，四边形CADB的面积是．第Ⅱ卷三．解答题（共9小题，满分72分）17．（6分）（24-25八年级·山东青岛·期中）如图所示，点A，B的坐标分别为0,2，1,0，直线y1=12x−3(1)求直线AB:y2=kx+b与CD(2)请直接写出当y1>y(3)求四边形OBEC的面积．18．（6分）（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期末）图1，图2均为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，请在下面的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上．（1）画一个边长均为整数的等腰三角形，且面积等于12；（2）画一个直角三角形，且三边长为5，2519．（6分）（24-25八年级·江苏南通·期中）【综合与实践】根据以下信息1~3，探索完成设计购买方案的任务1~3．信息1：某校初一举办了科技比赛，学校为获奖的40名同学每人购买一份奖品，奖品分为A，B，C三类．信息2：若购买2份A奖品和3份B奖品共需220元；购买3份A奖品和2份B奖品共需230元．单独购买一份C奖品需要15元．信息3：计划获A奖品的人数要少于获B奖品的人数．购买时有优惠活动：每购买1份A奖品就赠送一份C奖品．任务1：求A奖品和B奖品的单价；任务2：若获A奖品的人数等于获C奖品的人数，且获得A奖品的人数超过10人，求此次购买A奖品有几种方案；任务3：若购买奖品的总预算不超过1150元，要让获A奖品的人数尽量多，请你直接写出符合条件的购买方案．20．（8分）（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，A、B两点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．(1)在图1中，C为格点．①先将线段CA绕点C逆时针旋转90∘得到线段CD②再画线段EF，使线段EF与线段AD关于点B成中心对称（其中E点对应A点，F点对应D点）；(2)在图2中，以格点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中B点坐标为2,2．①先画格点G，使OG⊥AB，且OG=AB；②已知线段AB绕平面内的点P旋转一个特定的度数可与线段OG重合，请在图中画出旋转中心P；③请直接写出P点的坐标为_____________．21．（8分）（24-25八年级·辽宁阜新·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线y=−56x+b(1)求m和b的值；(2)若直线y=−56x+b与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P①若点P在线段DA上，且△ACP的面积为10，求t的值；②当△ACP为等腰三角形时，直接写出t的值．22．（10分）（24-25八年级·江西吉安·期中）（1）如图①．在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，试探索线段BC，DC，EC（2）如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，（3）联想：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，若BD=3，CD=1，则AD的长为______．23．（10分）（24-25八年级·江苏苏州·期中）如图1，已知长方形ABCD，AB=4,BC=5，点P是射线BC上的动点，连接AP，△AQP是由△ABP沿AP翻折所得到的图形．(1)当点Q落在边AD上时，QC=_____；(2)当直线PQ经过点D时，求BP的长；(3)如图2，点M是DC的中点，连接MP、MQ．①MQ的最小值为_____；②当△PMQ是以PM为腰的等腰三角形时，请直接写出BP的长．24．（12分）（24-25八年级·辽宁本溪·阶段练习）【概念引入】对于给定的一次函数y=kx+b（其中k，b为常数，且k≠0），则称函数y=−kx+bx≥0kx+b例如：一次函数y=3x−4，它的伴随函数为y=【理解运用】（1）对于一次函数y=2x+2，写出它的伴随函数的表达式．（2）为了研究函数y=2x+2的伴随函数的图象某位同学制作了如下表格：x…−2−1012…y…−2_________20_________…①补全表格中横线部分的数据并根据表中的结果在图1所给的坐标系中画出函数y=2x+2的伴随函数的图象；②已知直线y=x−1与y=2x+2的伴随函数的图象交于A，B两点（点A在点B的下方），点P0,m在y轴上，当△ABP的面积为8时，求m【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为−1,−4，2,−2，连接MN，当一次函数y=2x+b的伴随函数的图象与线段MN的交点有且只有1个时，直接写出b的取值范围．25．（12分）（24-25八年级·江苏无锡·期中）若△ABC和△ADE均为等腰三角形，且AB=AC=AD=AE，当∠ABC和∠ADE互余时，称△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”，△ABC的边BC上的高AH叫做△ADE的“余高”．(1)如图1，△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”．若连接BD，CE，判断△ABC与△ADE是否互为“底余等腰三角形”：（填“是”或“否”）；(2)如图1，△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”．当0°<∠BAC<180°时，若△ADE的“余高”是AH．①请用直尺和圆规作出AH（要求：不写作法，保留作图痕迹）；②求证：DE=2AH．(3)如图2，当∠BAC=90°时，△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”，连接BD、CE，若BD=6，CE=8，请直接写出BC的长．

2024-2025学年八年级（下）期中数学试卷【北师大版】参考答案与试题解析第Ⅰ卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（24-25八年级·浙江杭州·期中）不等式组x+9<5x+1x>m+1的解集是x>2，则m的取值范围是（

A．m<2 B．m≥2 C．m≤1 D．m>1【答案】C【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法和步骤．先求解不等式x+9<5x+1，结合原不等式组的解集是x>2，得出关于m的不等式，求解即可．【详解】解：解不等式x+9<5x+1，可得：x>2，∵原不等式组x+9<5x+1x>m+1的解集是x>2∴m+1≤2，解得：m≤1，故答案为：C．2．（3分）（24-25八年级·湖南娄底·期中）如图，∠ABC的平分线BF，与△ABC的外角∠ACG的平分线相交于点F，过点F作DF∥BC交AB于点D，交AC于点E，若BD=8，CE=6，则DE的长为（A．4 B．2.5 C．2 D．1.5【答案】C【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，根据已知条件，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACG，且DF∥BC，可得∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC，根据等角对等边得出BD=FD=8，EF=CE=6，根据【详解】解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACG，∴∠DBF=∠CBF，∠FCE=∠FCG，∵DF∥∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠FCG，∴∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC，∴BD=FD=8，EF=CE=6，∴DE=DF−EF=2，故选：C．3．（3分）（24-25八年级·河南周口·期中）如图，AB=AC，把△ABC绕点B顺时针旋转一个角度得到△DBE，点C在DE边上，若∠A的度数为α，则∠DBC的度数为（）A．90°−3α2 B．180°−3α2 C．90°−α2【答案】B【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于确定角度之间的数量关系．由旋转性质得BC=BE，∠ABC=∠DBE=∠E=∠ACB=180°−α2，在△BCE中由三角形内角和求得【详解】解：∵AB=AC，∠A=α∴∠ABC=∠ACB=∵△ABC绕点B顺时针旋转一个角度得到△DBE，∴BC=BE，∠ABC=∠DBE=∠E=∠ACB=180°−α∴∠BCE=∠E=180°−α∴∠CBE=180°−∠BCE−∠E=α，∴∠DBC=∠DBE−∠CBE=180°−α故选：B．4．（3分）（24-25八年级·山东泰安·期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3，沿过点A的直线折叠，再次折叠，使点C与点D重合，则AE的长度为（

）A．176 B．136 C．156【答案】B【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、轴对称的性质、勾股定理等知识，证明∠ADE=90°是解题的关键．由折叠得∠ADB=∠B，∠EDC=∠C，AD=AB=2，DE=CE，则∠ADB+∠EDC=∠B+∠C=90°，所以∠ADE=90°，由勾股定理得22+3−AE【详解】解：∵∠BAC=90°，AB=2，∴∠B+∠C=90°，由折叠得∠ADB=∠B,∠EDC=∠C,DE=CE，∴∠ADB+∠EDC=∠B+∠C=90°，∴∠ADE=180°−∠ADB+∠EDC∵AD2+DE2∴22∴AE=13故选：B．5．（3分）（24-25八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A,C在x轴上，点C的坐标为(−1,0),AC=2.将RtΔABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点坐标是(

)A．(−1,2) B．(−4,2) C．(3,2) D．(2,2)【答案】D【分析】先求出A点绕点C顺时针旋转90°后所得到的坐标A′，再求出A′向右平移3个单位长度后得到的坐标A′′，【详解】将RtΔABC先绕点C顺时针旋转90°，得到点坐标为A′(-1,2),再向右平移3个单位长度，则A′点的纵坐标不变，横坐标加上3个单位长度，故变换后点A的对应点坐标是【点睛】本题考查点的坐标的变换及平移.6．（3分）（24-25八年级·浙江·期中）对于正整数数x，符号x表示不大于x的最大整数．若3x+a2=3有正整数解，则正数a的取值范围是（A．0<a<2或2<a≤3 B．0<a<5或6<a≤7C．1<a≤2或3≤a<5 D．0<a<2或3≤a<5【答案】D【分析】根据[x]所表示的含义，结合题意可得出3⩽3x+a2<4，继而可解出x【详解】解：∵[3x+a∴3⩽3x+a即6⩽3x+a<8，6−a⩽3x<8−a，∴6−a3∵x是正整数，a为正数，∴x<83，即①当x取1时，∵6⩽3x+a<8，6−3x⩽a<8−3x，∴3⩽a<5；②当x取2时，∵6⩽3x+a<8，6−3x⩽a<8−3x，∴0<a<2；综上可得a的范围是：0<a<2或3⩽a<5．故选：D．【点睛】此题考查了取整函数的知识，解答本题需要理解[x]所表示的意义，另外也要求我们熟练不等式的求解方法，有一定难度．7．（3分）（24-25八年级·重庆·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，CH为△ABC的角平分线，D为AC边上的中点，E为BC边上一点，将△DCE沿DE翻折，使点C的对应点C′恰好落在角平分线CH上，连接AC′并延长交BC于点F，若BF=7，则点C′到A．73 B．74 C．75【答案】B【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特征等.掌握这些判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线是解题的关键．解法一：过C′作C′G⊥AB于G，连接HF；由折叠的性质及等腰三角形的性质证明∠AC′C=∠AC′D+∠DC′C=90°，再由ASA可判定△FC′C≌△AC′C，由全等三角形的性质得FC解法二：过C′作C′G⊥AB于G，过F作FM⊥AB于M，连接C′M，在BF上截取FN=FM，由等边三角形的定义得△FMN是等边三角形，从而可得FM=12BF=72，由由折叠的性质及等腰三角形的判定方法得△AMF和【详解】解：解法一：如图，过C′作C′G⊥AB交于G∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=180°−∠BAC2∵CH为△ABC的角平分线，∴∠DCC′=∠FC由翻折得：CD=C∴∠DC∴∠ADC′=∠D∵D是AC的中点，∴AD=CD=C∴∠C′AD=∠DAC′∴∠AC′C=∠A在△FC′C∠FC∴△FC∴FC∴HC′是∴AH=FH，∵∠BAF=∠BAC−∠DAC′=120°−75°∴∠AFH=∠HAF=45°，∠AC∴∠FHA=∠FHB=90°，AG=C′G∴△AHF和△AGC′是等腰直角三角形，∴C∵∠B=30°，∠BHF=90°，∴FH=1∴C故选B；解法二：如图，过C′作C′G⊥AB于G，过F作FM⊥AB于M，连接C′M∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=180°−∠BAC2∴∠MFN=90°−∠ABC=60°，∴∠MNF=∠FMN=180°−∠MFN2∴∠MNF=∠FMN=∠MFN，∴△FMN是等边三角形，∴FM=MN=FN，∴∠BMN=90°−∠FMN=30°，∴∠ABC=∠BMN，∴△NBM是等腰三角形，∴BN=MN，∴FM=1∵CH为△ABC的角平分线，∴∠DCC′=∠FC由翻折得：CD=C∴∠DC∴∠ADC′=∠D∵D是AC的中点，∴AD=CD，∴AD=C∴∠C′AD=∠DAC′∴∠AC′C=∠A∠BAF=∠BAC−∠DAC′=120°−75°∴∠AFM=∠MAF=45°，∠AC∴△AMF和△AGC∴AM=FM=72，在△FC′C∠FC∴△FC∴FC∴MC∴∠AMC∴△AMC∴C′G=AG故选：B．8．（3分）（24-25八年级·江西景德镇·期中）已知非负数x，y，z满足.3−x2=y+23=A．−2 B．−4 C．−6 D．−8【答案】C【分析】首先设3−x2=y+23=z+54=k，求得x=−2k+3，y=3k−2，z=4k−5，又由x，【详解】解：设3−x2则x=−2k+3，y=3k−2，z=4k−5，∵x，y，z均为非负实数，∴−2k+3⩾03k−2⩾0解得54于是W=3x−2y+z=3(−2k+3)−2(3k−2)+(4k−5)=−8k+8，∴−8×3即−4⩽W⩽−2．∴W的最大值是−2，最小值是−4，∴W的最大值与最小值的和为−6，故选：C．【点睛】此题考查了最值问题．解此题的关键是设比例式：3−x2=y+29．（3分）（24-25八年级·安徽安庆·阶段练习）如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形).若再作一个格点正方形,并涂上阴影,使这两个格点正方形无重叠,且组成的图形既是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有(

)A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【答案】C【详解】试题分析：利用轴对称图形的性质以及中心对称图形的性质分析得出符合题意的图形即可．解：如图所示：组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有4种．故选C．点评：此题主要考查了利用轴对称以及旋转设计图案，正确把握相关定义是解题关键．10．（3分）（24-25八年级·辽宁阜新·期中）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E在同一条直线上，连接B、D和B，E，下列四个结论：①∠BDE=90°；②BD=CE；③∠ACE+∠DBC=30°④BEA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据“边角边”，得出△BAD≌△CAE，再根据全等三角形的性质，得出BD=CE，即可判断结论②；再根据全等三角形的性质，得出∠ABD=∠ACE，再根据等腰直角三角形的性质，得出∠ABC=∠ACB=45°，进而得出∠ABD+∠DBC=45°，再根据等量代换，得出∠ACE+∠DBC=45°，再根据角之间的数量关系，得出∠DBC+∠DCB=90°，再根据三角形的内角和定理，得出∠BDC=90°，即可判断结论①；再根据等腰直角三角形的性质，得出∠ABD+∠DBC=45°，再根据∠ABD=∠ACE，得出∠ACE+∠DBC=45°，即可判断结论③；根据勾股定理，得出BD2=BC2−CD2，再根据等腰直角三角形的性质，得出BC【详解】解：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE．∵在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE(SAS∴BD=CE．故结论②正确；∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，∴∠BDC=∠BDE=90°，故结论①正确．∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD+∠DBC=45°，∵∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠DBC=45°，故结论③错误．∵∠BDC=∠BDE=90°，即BD⊥CE，∴在Rt△BCD中，利用勾股定理得：B∵△ABC为等腰直角三角形，∴BC∴BD∵BD⊥CE，∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：B∵△ADE为等腰直角三角形，∴DE∴BE∴BE综上所述，正确的结论为①②④．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形的内角和定理、勾股定理等知识点，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（24-25八年级·黑龙江佳木斯·期中）如图，∠ABC=90°，∠BCA=30°，将△ABC绕点B逆时针旋转a0°<a<90°，得到△DEB，设BD与AC交于点F，连接ED，当△CDF为等腰三角形时，a=【答案】40°或20°【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可得BC=BD，根据等腰三角形的两底角相等求出∠CDF=∠DCB，再表示出∠DCF，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠CFD，然后分①∠CDF=∠DCF，②∠CDF=∠CFD，③∠DCF=∠CFD三种情况讨论求解．【详解】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转α0°<α<90°，得到△EBD，∴BC=BD,∠DBC=α，∴∠CDF=∠DCB=1∴∠DCF=∠DCB−∠BCA=1根据三角形的外角性质，∠CFD=∠BCA+∠DBC=30°+α，△CDF是等腰三角形，分三种情况讨论，①∠CDF=∠DCF时，12②∠CDF=∠CFD时，12解得：α=40°，③∠DCF=∠CFD时，12解得：α=20°，综上所述，旋转角α度数为40°或20°．故答案为：40°或20°．12．（3分）（24-25八年级·安徽亳州·期中）已知直线y=−x+2与直线y=2x+6相交于点A，两直线分别与x轴交于B，C两点，若点Da,12a+1（1）点A的坐标是；（2）a的取值范围是．【答案】−43【分析】本题是考查一次函数图象的性质，一次函数图象交点，利用图象求解的问题，根据题意得出图形示意图对于解题有帮助，能将其转化为不等式组来解是本题的关键．联立两函数解析式，求出方程组的解，即可得到两函数图象交点坐标；利用一次函数函数图象的性质可以得两个函数的图象示意图，从而得到△ABC的位置，若点Da,12a+1落在△ABC内，则【详解】解：联立得y=−x+2y=2x+6解得：x=−4∴A−一次函数图象的性质，可以得到示意图，如图．对于直线y=−x+2，令y=0，则−x+2=0，解得x=2，∴C对于直线y=2x+6，令y=0，则2x+6=0，解得x=−3，∴B−3,0∵点Da,12∴列不等式组a>−3解得：−2<a<故答案为：−43,13．（3分）（24-25八年级·广东深圳·期中）如图，在锐角三角形ABC中，∠BAC=60°，BE，CD分别为△ABC的角平分线．BE，CD相交于点F，FG平分∠BFC，已知BD=3，CE=2，△BFC的面积=2.5，求△BCD的面积=．【答案】4【分析】本题主要考查了三角形面积计算，三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．过点F作FN⊥BC于点N，FM⊥AB于点M，证明△BDF≌△BGFASA，得出BD=BG，同理可得△CEF≌△CGFASA，得出CE=CG，求出BC=BG+CG=BD+CE，得出BC=5，根据△BFC的面积=2.5，得出FN=1，求出【详解】解：如图，过点F作FN⊥BC于点N，FM⊥AB于点M，∵∠BAC=60°，BE，CD分别为△ABC的角平分线，∴∠EBC+∠DCB=12∠ABC+∴∠BFC=180°−∠EBC+∠DCB∴∠BFD=60°，∵FG平分∠BFC，∴∠BFG=1在△BDF和△BGF中，∠BFD=∠BFGBF=BF∴△BDF≌△BGFASA∴BD=BG，同理可得△CEF≌△CGFASA∴CE=CG，∴BC=BG+CG=BD+CE，∵BD=BG=3，CE=CG=2，∴BC=5，∵△BFC的面积=2.5，∴1∴FN=1，∴FM=1，∴S∴△BCD的面积=S故答案为：4．14．（3分）（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图，AB⊥BC，∠ACB=20°，∠CBD=40°，AC=4，BD=2，则∠BCD=°．【答案】30【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角与内角，在AC上取一点E，使CE=BE，连接ED，得到∠ACB=∠EBC=20°，再由垂直得到∠A=∠EBA，推出CE=BE=AE=BD=2，再结合∠EBD=∠CBD+∠EBC=60°得到△BDE是等边三角形，则DE=BD=2=CE，∠DEB=60°，由外角及等边对等角得到∠ECD=∠EDC=50°，最后根据∠BCD=∠ECD−∠ECB求解即可．【详解】解：在AC上取一点E，使CE=BE，连接ED，如图，∵∠ACB=20°，∴∠ACB=∠EBC=20°，∴∠AEB=∠ACB+∠EBC=40°，∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠ACB+∠A=90°=∠EBC+∠EBA，∴∠A=∠EBA，∴BE=AE，∴CE=BE=AE，∵AC=4=AE+BE，∴CE=BE=AE=2，∴CE=BE=AE=BD=2，∵∠CBD=40°，∴∠EBD=∠CBD+∠EBC=40°+20°=60°，∴△BDE是等边三角形，∴DE=BD=2=CE，∠DEB=60°，∴∠AED=∠AEB+∠DEB=60°+40°=100°，∠ECD=∠EDC，∵∠AED=∠ECD+∠EDC，∴∠ECD=∠EDC=50°，∴∠BCD=∠ECD−∠ECB=50°−20°=30°，故答案为：30．15．（3分）（24-25八年级·重庆万州·阶段练习）一个四位正整数M，如果千位数字与十位数字之和的两倍等于百位数字与个位数字之和，则称M为“共进退数”，并规定FM等于M的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之和，GM等于M的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之差，如果FM=60，那么M各数位上的数字之和为；有一个四位正整数N=1101+1000x+10y+z（0≤x≤4,0≤y≤9,0≤z≤8，且为整数）是一个“共进退数”，且FN是一个平方数，G【答案】153105【分析】由四位正整数M为“共进退数”推出2a+c=b+d，由FM=60推出10(a+c)+(b+d)=60，从而解得a+c=5，b+d=2(a+c)=10，继而得解；由N=1101+1000x+10y+z=1000x+1+100×1+10y+z+1推出N的各位数字，继而表示出FN与GN，由N是一个“共进退数”推出z=2x+2y，利用FN是一个平方数推出【详解】解：设M的千位数字是a，百位数字是b，十位数字是c，个位数字是d，则M=1000a+100b+10c+d，∵四位正整数M为“共进退数”，∴2a+c又∵FM∴(10a+b)+(10c+d)=60，即10(a+c)+(b+d)=60，∴10(a+c)+2(a+c)=60，∴a+c=5，∴b+d=2(a+c)=10，∴a+b+c+d=15，即M各数位上的数字之和为15．∵N=1101+1000x+10y+z=1000x+1即N的千位数字是x+1，百位数字是1，十位数字是y，个位数字是z+1，∴F(N)=10(x+1)+1+10y+(z+1)=10x+10y+z+12，G(N)=10(x+1)+1−[10y+(z+1)]=10x−10y−z+10，又∵N是一个“共进退数”，∴2[(x+1)+y]=1+(z+1)，化简得：z=2x+2y，∴F(N)=10x+10y+2x+2y+12=12(x+y+1)，∵0≤z≤8，z=2x+2y，∴0≤2x+2y≤8，∴0≤x+y≤4，1≤x+y+1≤5，又∵FN是一个平方数，F∴x+y+1=3，即x+y=2，∴z=2x+2y=4，y=2−x∵0≤x≤4，0≤y≤9，∴0≤x≤4，0≤2−x≤9，解得：0≤x≤2，∴G(N)=10x−10y−z+10=10x−10(2−x)−4+10=20x−14，∴GN又∵GN∴20x−14是13的倍数，∴x=2，y=2−x=0，∴N=1000x+1故答案为：15；3105【点睛】本题考查整式的加减，一元一次方程的应用，解不等式组等知识，读懂题意，推导出x+y=2与z=2x+2y是解题的关键．16．（3分）（24-25八年级·浙江杭州·期中）如图，在△ABE中，AB=BE=4，∠BEA=30°，F为AE的中点，C为BF延长线上一点，D为EB延长线上一点，且CA=CD．则∠EDC−∠EAC=，四边形CADB的面积是．【答案】30°4【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，构造全等三角形是解题关键．过A作AM⊥ED，由AB=BE，∠BEA=30°，得∠BEA=∠BAE=30°，∠EBA=120°由AB=BE，F为AE的中点，得BC为AE的垂直平分线，设∠CED=∠CDE=α，换算得∠CEA=∠CED−∠BEA=α−30°，由∠CEA=∠CAE=α−30°，换算出∠DCA=∠ECA−∠ECD=60°，故△DCA为等边三角形，证明△AMD≌△AFC，得它们面积相等.故四边形CADB的面积=四边形AFBM的面积=△AEM面积【详解】解：过A作AM⊥ED，交ED延长线于M，∵AB=BE，∠BEA=30°，∴∠BEA=∠BAE=30°，∠EBA=120°.∵AB=BE，F为AE的中点，∴BC为AE的垂直平分线，∴CE=CA.∵CA=CD，∴CE=CD，∴设∠CED=∠CDE=α，∴∠CEA=∠CED−∠BEA=α−30°，∵CE=CA，∴∠EAC=∠CEA=∠CED−30°=∠EDC−30°，∴∠EDC−∠EAC=30°；∵∠CBA=∠ABM=60°，AF⊥BC，AM⊥EM，∴AF=AM，∵∠CEA=∠CAE=α−30°，∴∠ECA=180°−∠CEA=∠CAE=240°−2α，∵∠CED=∠CDE=α，∴∠ECD=180°−∠CED=∠CDE=180−2α，∴∠DCA=∠ECA−∠ECD=60°，∴△DCA为等边三角形，∴AC=AD，在△AMD和△AFC中，AM=AFAD=AC∴△AMD≌∴△AMD面积=△AFC面积，∵∠ABM=60°，AM⊥EM，∴∠BAM=30°，∴BM=1∴AM=A∵∠BEF=30°，∴BF=1∴EF=3∴四边形CADB的面积=△CAF面积+四边形AFBD的面积=△ADM面积+四边形AFBD的面积=四边形AFBM的面积=△AEM面积−△EFB面积=1故答案为：30°，43第Ⅱ卷三．解答题（共9小题，满分72分）17．（6分）（24-25八年级·山东青岛·期中）如图所示，点A，B的坐标分别为0,2，1,0，直线y1=12x−3(1)求直线AB:y2=kx+b与CD(2)请直接写出当y1>y(3)求四边形OBEC的面积．【答案】(1)2,−2(2)x>2(3)4【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解二元一次方程组，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标等知识点，（1）先求出直线AB的解析式，与y=1（2）根据E点的坐标和函数的图象即可得解；（3）求出点C、D的坐标，再求出△DOC和△BDE的面积，即可求出答案．【详解】（1）解：∵直线AB：y=kx+b过点A0,2，B∴b=2k+b=0解得：k=−2b=2∴直线AB的解析式是y=−2x+2，解方程组y=−2x+2y=得：x=2y=−2∴点E的坐标是2,−2；（2）由图象可知：当x>2时，y1=1∴不等式y1>y（3）对于直线y=1当x=0时，y=−3；当y=0∴C0,−3，D∴OC=3，OD=6，∵B1,0，E∴OB=1，点E到x轴的距离为2，∴S四边形∴四边形OBEC的面积为4．18．（6分）（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期末）图1，图2均为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，请在下面的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上．（1）画一个边长均为整数的等腰三角形，且面积等于12；（2）画一个直角三角形，且三边长为5，25【答案】（1）见解析；（2）见解析，5【分析】（1）根据勾股定理得到3、4、5得等腰三角形的腰为整数5，再连接图形即可得到满足条件的等腰三角形；（2）根据勾股定理得到：直角边为1与2的斜边为5，直角边为2与4的斜边为25，再连接图形即可得到满足条件的三角形，利用勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形再利用面积公式求出答案即可.【详解】解：（1）如图1所示，ΔABC即为所求：（2）如图2所示，ΔDEF即为所求：∵DE∴△DEF是直角三角形，∴SΔDEF【点睛】此题考查等腰三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，熟练掌握一些无理数线段的作图方法是解题的关键.19．（6分）（24-25八年级·江苏南通·期中）【综合与实践】根据以下信息1~3，探索完成设计购买方案的任务1~3．信息1：某校初一举办了科技比赛，学校为获奖的40名同学每人购买一份奖品，奖品分为A，B，C三类．信息2：若购买2份A奖品和3份B奖品共需220元；购买3份A奖品和2份B奖品共需230元．单独购买一份C奖品需要15元．信息3：计划获A奖品的人数要少于获B奖品的人数．购买时有优惠活动：每购买1份A奖品就赠送一份C奖品．任务1：求A奖品和B奖品的单价；任务2：若获A奖品的人数等于获C奖品的人数，且获得A奖品的人数超过10人，求此次购买A奖品有几种方案；任务3：若购买奖品的总预算不超过1150元，要让获A奖品的人数尽量多，请你直接写出符合条件的购买方案．【答案】任务1：A奖品单价50元，B奖品单价为40元；任务2：此次购买A奖品共有3种购买方案；任务3：购买11份A奖品，12份B奖品，6份C奖品．【分析】本题考查了二元一次方程组和不等式的实际应用，解答本题的关键是读懂题意，列出方程组或不等式．任务1：设A奖品单价x元，B奖品单价y元．根据题意列方程组解答即可；任务2：设获A奖品的人数为a人，则获B奖品的人数为(40−2a)人，根据题意列不等式组解答即可；任务2：设购买A奖品m份，C奖品n份，则B奖品(40−2m−n)份，根据题意列出不等式组，解得关于m、n的不等式，由m、n都是正整数，即可得到答案．【详解】任务1：设A奖品单价为x元，B奖品单价为y元，得：2x+3y=220解得：x=50答：A奖品单价为50元，B奖品单价为40元．任务2：设购买A奖品a份，则购买B奖品(40−2a)份，得a>10a<40−2a解得：10<a<40∵a为正整数，∴a可取的值有11，12，13．答：此次购买A奖品共有3种购买方案．任务3：设购买A奖品m份，C奖品n份，则B奖品份数为：40−m−(m+n)=40−2m−n，依题意得：50m+40（解得：n≥18−65m∴18−∴m<∵m、n均为正整数，∴m可以取的值有：12，11，10，9，8，7，6，5，3，4，2，1当m=12时，18−65×12≤n<40−3×12当m=11时，18−65×11≤n<40−3×11，即∴m=11，n=6，此时A奖品人数最多方案为：购买A奖品11份，C奖品6份，B奖品12份，此时预算为11×50+6×15+12×40=1120（元），符合题意．故答案为：购买11份A奖品，12份B奖品，6份C奖品．20．（8分）（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，A、B两点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．(1)在图1中，C为格点．①先将线段CA绕点C逆时针旋转90∘得到线段CD②再画线段EF，使线段EF与线段AD关于点B成中心对称（其中E点对应A点，F点对应D点）；(2)在图2中，以格点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中B点坐标为2,2．①先画格点G，使OG⊥AB，且OG=AB；②已知线段AB绕平面内的点P旋转一个特定的度数可与线段OG重合，请在图中画出旋转中心P；③请直接写出P点的坐标为_____________．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②见解析；③0,2【分析】本题考查旋转作图，作中心对称图形，作对称中心．（1）根据网格特点即可作出线段CD，作出点A，D关于点B的对称点E，F，连接EF即可；（2）①将线段AB绕点B顺时针旋转90∘得到线段BH，作平行四边形OBHG，即可得到所求的点G②作线段OB的垂直平分线IJ，作线段AG的垂直平分线MN，IJ与MN交于点P，则点P为所求的对称中心；③由图直接得到点P的坐标．【详解】（1）解：所求图形，如图所示；（2）解：①如图，点G为所求，将线段AB绕点B顺时针旋转90∘得到线段BH，则BH⊥AB，BH=AB作平行四边形OBHG，则OG∥BH，∴OG⊥AB，且OG=AB，即点G为所求．②如图，点P为所求．作线段OB的垂直平分线IJ，作线段AG的垂直平分线MN，IJ与MN交于点P，则PB=PO，PA=PG，∴点P为所求的旋转中心．③由题可得，点P的坐标为0,2．故答案为：0,221．（8分）（24-25八年级·辽宁阜新·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线y=−56x+b(1)求m和b的值；(2)若直线y=−56x+b与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P①若点P在线段DA上，且△ACP的面积为10，求t的值；②当△ACP为等腰三角形时，直接写出t的值．【答案】(1)m=4(2)①t=195；②t的值为45，245【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．（1）将点C(2,m)代入y=x+2，求出m的值，再代入y=−56x+b（2）①利用面积公式列出方程进行求解即可；②三种情况：当AC=PC时；当AP=AC时；当PC=PA时；分别求出t的值即可．【详解】（1）解：在y=x+2中，当x=0时，y=2；当y=0时，x=−2；∴A(−2,0),B(0,2)；∵点C在直线y=x+2上，∴m=2+2=4，又∵点C(2,4)也在直线y=−5∴−5解得：b=17（2）解：①在y=−56x+173∴D(34∴OD=34∵A(−2,0)，∴OA=2，∴AD=OA+OD=44设PD=t，则AP=12−t，过C作CE⊥AP于E，如图1所示：则CE=4，∵△ACP的面积为10，∴1解得：t=19②存在，理由如下：过C作CE⊥AP于E，如图1所示：则CE=4,OE=2，∴AE=OA+OE=4，∴AC=A当AC=PC时，AP=2AE=8，∴PD=AD−AP=44∴t=4当AP=AC时，如图2所示：则AP∴DP∴t=445+4当PC=PA时，如图3所示：设EP=m，则CP∴m解得：m=0，∴P与E重合，AP=4，∴PD=44∴t=24综上，t的值为45或245或44522．（10分）（24-25八年级·江西吉安·期中）（1）如图①．在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，试探索线段BC，DC，EC（2）如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，（3）联想：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，若BD=3，CD=1，则AD的长为______．【答案】（1）BC=DC+EC，见解析；（2）BD【分析】（1）证明△BAD≌（2）连接CE，根据全等三角形的性质得到BD=CE，∠ACE=∠B，得到（3）过点A作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，证明△BAD≌【详解】解：（1）BC=DC+EC，理由如下：连接DE，由题意得：AD=AE,∠DAE=90°∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAESAS∴BD=CE，∴BC=BD+CD=EC+CD，（2）BD理由如下：连接CE，由（1）得，△BAD≌∴BD=CE，∴∠DCE=90°，∴CE在Rt△ADE中，AD2∴BD（3）过点A作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAESAS∴BD=CE=3，∵∠ADC=45°，∴∠EDC=90°，∴DE=C∵∠DAE=90∴AD=AE=2【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理以及旋转变换的性质，二次根式的乘法等，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．23．（10分）（24-25八年级·江苏苏州·期中）如图1，已知长方形ABCD，AB=4,BC=5，点P是射线BC上的动点，连接AP，△AQP是由△ABP沿AP翻折所得到的图形．(1)当点Q落在边AD上时，QC=_____；(2)当直线PQ经过点D时，求BP的长；(3)如图2，点M是DC的中点，连接MP、MQ．①MQ的最小值为_____；②当△PMQ是以PM为腰的等腰三角形时，请直接写出BP的长．【答案】(1)17；(2)BP=2或BP=8；(3)①29−4；②BP=2.9或BP=4或BP=10【分析】本题考查折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，综合性强，难度大，属于压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．（1）根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可；（2）分点P在线段BC上，点P在线段BC的延长线上，两种情况，进行讨论求解；（3）①连接AM，勾股定理求出AM的长，折叠求出AQ的长，根据MQ≥AM−AQ，求出最小值即可；②分PM=MQ和PM=PQ两种情况，再分点P在线段BC上，点P在线段BC的延长线上，进行讨论求解即可．【详解】（1）解：当点Q落在边AD上时，如图所示，∵长方形ABCD，AB=4，BC=5，∴CD=AB=4,AD=BC=5，∠BAD=∠B=∠BCD=∠ADC=90°，∵翻折，∴AQ=AB=4,∠AQP=∠B=90°，∴DQ=AD−AQ=1，在Rt△CDQ中，CQ=故答案为：17；（2）当直线PQ经过点D时，分两种情况：当点P在线段BC上时，如图：∵翻折，∴AQ=AB=4，∠AQP=∠B=90°，BP=PQ，∴∠AQD=90°，∴DQ=A设BP=PQ=x，则：PC=BC−BP=5−x，DP=DQ+PQ=3+x，在Rt△PCD中，DP2∴x=2；∴BP=2；②当P在线段BC的延长线上时：∵翻折，∴AQ=AB=4,∠Q=∠B=90°，BP=PQ，∴DQ=A设BP=PQ=x，则：PC=BP−BC=x−5，DP=PQ−DQ=x−3，在Rt△PCD中，DP2∴x=8；∴BP=8；综上：BP=2或BP=8；（3）①连接AM，∵M是CD的中点，∴DM=CM=1∴AM=A∵翻折，∴AQ=AB=4，∵MQ≥AM−AQ，∴当A,Q,M三点共线时，MQ的值最小，即：MQ=AM−AQ=29故答案为：29−4②当PM=PQ时，如图：∵翻折，∴BP=PQ=PM，设BP=x，则：PM=x,CP=BC−BP=5−x，在Rt△PCM中，PM2解得：x=2.9，即：BP=2.9；当PM=QM，点P在线段BC上时，如图：∵QM=PM,DM=CM，∠D=∠C=90°，∴△MDQ≌△MCPHL∴CP=DQ，点Q在AD上，由（1）知：DQ=1，∴CP=DQ=1，∴BP=BC−CP=4；当点P在BC的延长线上时：如图：此时点M在AP上，连接BM，∵翻折，∴BM=MQ=PM，∵MC⊥BP，∴BP=2BC=10；综上：BP=2.9或BP=4或BP=10．24．（12分）（24-25八年级·辽宁本溪·阶段练习）【概念引入】对于给定的一次函数y=kx+b（其中k，b为常数，且k≠0），则称函数y=−kx+bx≥0kx+b例如：一次函数y=3