01-2025北京房山高三一模数学答案

2/4房山区2025年高三年级第一次综合练习数学参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。12345678910ABCBDCADCC二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）（12）（13）（14）（答案不唯一）（15）①③④三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）由正弦定理，得.所以.所以.因为，所以.所以.所以.（Ⅱ）选条件②:，.由，可得.由正弦定理，得.由余弦定理，得，整理得.解得，或（舍）.所以的面积.条件③：.因为，且，所以.由余弦定理，得解得，或（舍）所以的面积.（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）在长方体中，因为平面平面，平面平面平面平面，所以.同理所以是平行四边形.所以.又所以所以为的中点.（Ⅱ）在长方体中，建立空间直角坐标系，设，则，，.因此，.设平面的法向量为，则即令，则，，因此.易知平面的法向量为，则.解得.所以.（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）根据题中数据，名学生中使用该款学习软件APP的共人，所以该校学生使用该款学习软件APP的概率可估计为（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取人，“他使用该学习软件APP”记为事件，从该校全体女生中随机抽取人，“她使用该学习软件APP”记为事件，根据题中数据可知：随机变量的可能取值为所以的分布列为：数学期望（Ⅲ）（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）由题意可得，.所以.所以椭圆的方程为.离心率.法一（Ⅱ）存在符合要求的点.设直线的方程为（显然），设，，联立方程整理得．所以，.因为．又，所以．所以．所以直线的斜率与直线的斜率互为相反数．设直线的斜率为，直线的斜率为，设点，．整理可得，．因为，所以．即．解得．所以点的坐标．法二（Ⅱ）设直线的方程为（显然），设，，联立方程整理得．所以，．因为．又，所以．即，整理得．解得．所以点的坐标．（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）由，得，.因为函数在处有定义，所以.因为在处取得极值，所以，解得，或（舍）.当时，，.令，解得（舍）.与的变化情况如下：极大值所以函数的单调递增为；单调递减区间为.（Ⅱ）由，得.由（Ⅰ）可知，，因为所以存在，使.方法一：曲线在点处的切线方程为，即.下面证明：.设，则.当时，，所以，即.所以在上单调递增.因为，所以.所以，即.所以曲线存在两条斜率为且不重合的切线.方法二：，即所以曲线在处的切线的方程为，即.因为，所以的方程为.同理，曲线在处的切线的方程为.下面证明：.设.所以函数在上单调递增，因为，所以.所以，即.所以曲线存在两条斜率为且不重合的切线.（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）因为，所以具有性质.因为所以.（Ⅱ）方法:1：由性质得，所以，因为，，，所以，，，，所以所以，又因为当，时，具有性质，且，，所以Mα,β的最大值为1（Ⅱ）方法2：先用反证法证明.假设，由，则.所以，同理，所以.由，所以.与已知矛盾，假设不成立.所以.当时，.此时，所以的最大值为1.（Ⅲ）由性质可得.所以=1\*GB3①且=2\*GB3②在=1\*GB3①中不妨设在=2\*GB3②中不妨设，由对称性可以设所以，，，…，.所以