北师大版 (2019)必修 第一册第一章 预备知识4 一元二次函数与一元二次不等式4.2 一元二次不等式及其解法第1课时教学设计及反思

北师大版(2019)必修第一册第一章预备知识4一元二次函数与一元二次不等式4.2一元二次不等式及其解法第1课时教学设计及反思主备人备课成员设计思路本节课以“北师大版(2019)必修第一册第一章预备知识4一元二次函数与一元二次不等式4.2一元二次不等式及其解法第1课时”为内容，通过引导学生自主探究一元二次不等式的解法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。课程设计紧密围绕课本，注重理论与实践相结合，使学生能够熟练掌握一元二次不等式的解法。核心素养目标分析本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象和数学运算等核心素养。通过一元二次不等式的学习，学生能够提升抽象思维能力，学会运用数学语言表达现实问题；培养逻辑推理能力，学会运用不等式解法解决问题；增强数学建模意识，将实际问题转化为数学模型；提高直观想象能力，通过图形理解不等式的解集；同时，加强数学运算能力，提高解决一元二次不等式问题的效率。教学难点与重点1.教学重点，

①理解一元二次不等式的解法，包括交点法、图像法和代数法；

②掌握不同类型一元二次不等式的解法，如二次项系数为正、为负及系数为零的情况；

③能够灵活运用解法解决实际问题，如不等式的应用题。

2.教学难点，

①正确识别和转化不等式的类型，特别是二次项系数为零的情况；

②理解并应用一元二次不等式的解集的几何意义，将代数解法与图形解法相结合；

③在复杂的不等式问题中，合理运用数学运算技巧，避免计算错误。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源准备1.教材：确保每位学生都有《北师大版（2019）必修第一册第一章预备知识4一元二次函数与一元二次不等式》教材。

2.辅助材料：准备与一元二次不等式相关的图片、图表，以及讲解不等式解法的视频片段。

3.实验器材：无特殊实验器材需求。

4.教室布置：设置分组讨论区，提供白板或黑板供学生展示解题过程，确保教室内光线充足，环境安静。教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：通过提问“如何判断一个二次方程的解是正数、负数还是无解？”来引导学生思考，激发学生对一元二次不等式解法的兴趣。

-回顾旧知：简要回顾一元二次方程的解法，强调一元二次方程与不等式的关系，为引入一元二次不等式解法做准备。

2.新课呈现（约20分钟）

-讲解新知：

-详细讲解一元二次不等式的定义、性质和解法。

-通过图形直观展示一元二次函数与一元二次不等式的解集关系。

-举例说明不同类型一元二次不等式的解法，如二次项系数为正、为负及系数为零的情况。

-举例说明：

-举例说明一元二次不等式的实际应用，如解决实际问题、优化设计等。

-通过具体例子展示如何将实际问题转化为数学模型，并运用一元二次不等式求解。

-互动探究：

-引导学生分组讨论，针对不同类型的一元二次不等式，探究解法的特点和适用条件。

-通过小组合作，让学生尝试解决一些具有挑战性的不等式问题，培养学生的合作精神和解决问题的能力。

3.巩固练习（约15分钟）

-学生活动：

-让学生独立完成教材中的练习题，巩固一元二次不等式的解法。

-鼓励学生运用所学知识解决实际问题，提高应用能力。

-教师指导：

-对学生在练习过程中遇到的问题给予及时指导和帮助。

-针对共性问题，进行集中讲解和示范，确保学生掌握正确的方法。

4.总结与反思（约5分钟）

-总结本节课所学内容，强调一元二次不等式解法的重要性。

-引导学生反思自己在学习过程中的收获和不足，鼓励学生在课后继续深入学习。

5.布置作业（约5分钟）

-布置教材中的课后习题，让学生巩固所学知识。

-鼓励学生自主查找相关资料，拓宽知识面，提高学习兴趣。拓展与延伸1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

-《一元二次不等式的应用》：介绍一元二次不等式在物理学、工程学、经济学等领域的应用实例，帮助学生理解不等式解法的实际意义。

-《不等式解法的优化》：探讨一元二次不等式解法的优化策略，如利用计算机辅助设计进行求解，提高解题效率。

-《一元二次不等式的推广》：介绍一元二次不等式在多元不等式、不等式组等领域的推广和应用，拓宽学生的知识视野。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

-学生可以尝试解决一些具有挑战性的不等式问题，如竞赛题、高考题等，提高自己的解题能力。

-鼓励学生利用网络资源，如数学论坛、在线课程等，学习一元二次不等式的相关知识和技巧。

-组织学生开展小组讨论，分享自己在学习过程中的心得体会，共同提高。

-鼓励学生将一元二次不等式与其他数学知识相结合，如线性规划、微分方程等，探索数学知识的内在联系。

3.实践活动建议：

-设计一个一元二次不等式的应用项目，如优化生产过程、设计最优路径等，让学生运用所学知识解决实际问题。

-组织学生参观相关企业或实验室，了解一元二次不等式在实际工程中的应用，激发学生的学习兴趣。

-鼓励学生参加数学竞赛或科技创新活动，展示自己在学习一元二次不等式方面的成果。

4.知识点拓展：

-一元二次不等式的图像性质：研究一元二次不等式的图像与系数的关系，如开口方向、顶点坐标等。

-一元二次不等式的解法比较：比较不同解法的特点和适用条件，如交点法、图像法、代数法等。

-一元二次不等式的应用拓展：探讨一元二次不等式在优化设计、经济决策等领域的应用，提高学生的综合素质。

5.教学资源推荐：

-《数学分析》教材：学习一元二次不等式的理论背景和数学分析方法。

-《数学建模》教材：了解一元二次不等式在数学建模中的应用，提高学生的建模能力。

-《数学竞赛辅导》教材：学习一元二次不等式的竞赛题解法，提高学生的解题技巧。板书设计1.一元二次不等式定义

①一元二次不等式：形如ax^2+bx+c>0（a≠0）的不等式。

②ax^2+bx+c<0（a≠0）的不等式。

③ax^2+bx+c≥0（a≠0）的不等式。

④ax^2+bx+c≤0（a≠0）的不等式。

2.解法概述

①交点法：通过求解一元二次方程ax^2+bx+c=0，找到不等式的解集。

②图像法：利用一元二次函数的图像，观察不等式的解集。

③代数法：通过因式分解、配方法等代数技巧，求解不等式。

3.不同类型一元二次不等式解法

①二次项系数为正的不等式

①解集形式：(-∞,x1)∪(x2,+∞)

②解法步骤：求根、判断根的顺序、写出解集。

②二次项系数为负的不等式

①解集形式：(x1,x2)

②解法步骤：求根、判断根的顺序、写出解集。

③二次项系数为零的不等式

①解集形式：(-∞,x)∪(x,+∞)或(-∞,x]∪[x,+∞)

②解法步骤：讨论一次项系数，确定解集。

4.解集表示

①解集区间表示法：用区间表示不等式的解集，如(-2,1)。

②解集集合表示法：用集合表示不等式的解集，如{x|-2<x<1}。

5.应用实例

①实际问题转化为数学模型。

②利用一元二次不等式解决实际问题。重点题型整理1.题型一：一元二次不等式的解法应用

-题型描述：给定一元二次不等式，要求学生使用合适的方法求解不等式的解集。

-例题：

例1：解不等式2x^2-4x-6<0。

答案：解得x∈(-1,3)。

-例题：

例2：解不等式x^2-5x+6>0。

答案：解得x∈(-∞,2)∪(3,+∞)。

2.题型二：一元二次不等式的解集表示

-题型描述：给定一元二次不等式，要求学生用集合或区间表示其解集。

-例题：

例3：用集合表示不等式x^2-2x-3<0的解集。

答案：解得解集为{x|-1<x<3}。

-例题：

例4：用区间表示不等式3x^2+4x+2>0的解集。

答案：解得解集为(-∞,-2)∪(-2/3,+∞)。

3.题型三：一元二次不等式的解法比较

-题型描述：给定一元二次不等式，要求学生比较不同解法（交点法、图像法、代数法）的适用性和优缺点。

-例题：

例5：比较解不等式x^2-4x+3<0时，交点法与代数法的适用性。

答案：交点法适用于需要直观理解解集范围的情境，代数法适用于需要精确计算解集的情境。

4.题型四：一元二次不等式在应用题中的运用

-题型描述：给定实际问题，要求学生运用一元二次不等式求解。

-例题：

例6：一辆汽车以60km/h的速度行驶，刹车后每秒减速5m/s。问汽车刹车后多长时间才能停下？

答案：设汽车刹车时间为t秒，则根据减速公式v=u-at，有0=60-5t，解得t=12秒。

-例题：

例7：一个长方体的长、宽、高分别为x、y、z，体积为V。若长方体的表面积S为定值，求长方体体积的最大值。

答案：根据长方体表面积公式S=2(xy+yz+zx)，结合体积公式V=xyz，运用拉格朗日乘数法求解。

5.题型五：一元二次不等式的拓展问题

-题型描述：给定一元二次