经济数学微积分 杨慧卿 第4版 教案 第1-3章 函数、极限与连续；一元函数微积分；一元函数积分学

第1章函数、极限与连续

本章知识结构导图

A函数的概念与性质

函数-----------反函数与复合函数

A常用的经济函数

，数列极限

,函数极限

极限-----------无穷小与无穷大

>极限的运算法则

两个重要极限

------------►连续与间断点

任马头.

-----►连续函数的性质

一、教学要求

1.在初等数学基础上，加深对函数概念的理解和对函数几何特性（单调性、奇偶性、周期性、

有界性）的了解。

2.理解反函数、复合函数的定义，会求函数的反函数，会进行函数的复合与分解；了解基本

初等函数的定义域、图形与性质。

3.掌握常用经济函数的含义、数学表达，会建立简单经济问题的数学模型。

4.理解数列极限、函数极限的描述性定义和性质。

5.理解无穷小的概念和基石性质，会利用无穷小的性质计算极限；理解高阶无穷小、等价无

穷小的概念，会比较无穷小。

6.掌握极限的四则运算法则；了解复合函数极限运算法则；熟练掌握极限计算。

7.了解极限存在的两个准则；熟练掌握利用两个重要极限及无穷小等价替换定理计算极限。

8.理解函数连续与间断的概念，会判断函数间断点的类理；理解函数的连续性；了解闭区间

上连续函数的性质（最值定理、介值定理、零点定理）。

二、教学重难点

1.教学重点：常用的经济函数、无穷小的比较、极限运算法则、两个重要极限、函数连续与

间断的概念、函数的连续性

2.教学难点：反函数与复合函数、数列与函数的极限、极限的存在准则、闭区间上连续函数

的性质

三、教学内容及课时划分

1.1函数的概念和性质2课时

1.2反函数与复合函数2课时

1.3常用经济函数介绍2课时

1.4数列、函数的极限2课时

1.5无穷小与无穷大1课时

1.6极限运算法则2课时

1.7极限存在准则与两个重要极限3课时

1.8函数的连续性2课时

习题课2课时

计18课时

1.1函数的概念和性质

教学目的：理解函数的概念、函数的基本性质

教学重难点：

1、教学重点：邻域的概念、函数的基本性质

2.教学难点：函数的有界性

教学课时：2

教学过程：

函数表示了变量之间的相依关系，是微积分的研究对象。本章从讨论函数的概念开始，

通过对一般函数特性的概括，引出初等函数，为学习“经济数学”打下基础.

一、区间与邻域

区间分为有限区间与无限区间.

有限区间有四个：

开区间(。,/?)={工|。<工</?};

闭区间[〃,句=卜|〃WZ?};

半开半闭区间[凡3=;

(4,司=<X<Z?}；

无限区间有五个：[a,+8)={x|x2a};

(4,+8)={小>。}；

(-<x),a]={x\x<a};

(-8,4)=何为<〃}；

(-<o,+oo)=R.

邻域是一种特殊的区间，是后续学习函数极限、微分、积分等知识时常用一个重要概念。

定义1.1设QER,KeR且S>0,则集合，目,一《<5，称为点。的邻域，记

作也即=一2〃+5),这是以点。为中心，区间长度为28的开区间，

正数3叫做邻域的半径.在数轴上，U(a,3)表示到点〃的距离小于5的所有点的集合.

集合0<k一4<#｝称为点a的去心b邻域，记作也即

U(a,#)=(a-3,a)I(a,a+S).

另外，点。的左3邻域定义为。一(。»)=(。一3,〃],点。的右b邻域定义为

U‘(a»)=[a,a+b).

当不必指明邻域半径时，上述记号中的正数3可省略，即邻域、空心邻域、左邻域和右

邻域可简记为U(a),U(a),夕(〃)和。+(〃).

【例1】利用区间表示不等式V+工一2>0的全部解.

【解】先对不等式左端分解因式，原不等式为

(x+2)(x-l)>0,

则x>1或x<-2.故

|x|x2+x-2>0|=(-oo,-2)U(l,+oo).

二、函数的概念

1.函数的定义

定义1.2设羽)，是两个变量，。是非空实数集，如果对于任意的xe。，按照某个对应

法则了,都有唯一的一个实数y与之对应，则称这个对应法则/是定义在。上的函数。

其中x叫做自变量，j叫做因变量，x的取值范围。叫做这个函数的定义域，通常将定

义域记为。广当x的取遍Df内的所有实数时，对应的函数值)，的全体

W,=｛小=/(用心。｝

叫做这个函数的值域.

习惯上常用y=/(x)表示函数。

2.函数的几点说明

(1)函数的两个要素

定义域与对应法则是函数的两个要素.只有两个函数具有相同的定义域和相同的对应法

则时，它们才是相同的函数，否则就不是相同函数.

(2)函数的定义域

在求函数的自然定义域时应遵守以下原则：

(1)偶次方根下被开方数非负；

(2)分式中分母不能为零；

(3)对数中的真数大于零；

(4)三角函数y=tan.i中x#火4+],y=cot.t中xw火4；

(5)反三角函数y=arcsinx与y=arccosx中1;

【例2】求函数y二*Z三的定义域.

.ln(2-x)

【解】欲使函数有意义，则应有

x+l>0x>-l

<2-x>0即1x<2

ln(2-x)=0x^\

故所求函数的定义域为O=[-1,1)J(1,2).

3.函数的表示方法

函数的表示方法主要有三种：表格法、图形法和解析法(公式法).

4.几种特殊的函数

IIx,x>()

(1)绝对值函数y=x=4，D.=(-00,-HX)),IV=[0,+co)o

11[T,X<0

I,X>o

(2)号函数y=sgnx=«0,x=0,Df=R,Wf,x=sgnxjx|o

—l,x<0

(3)取整函数y=[x],表示不大于x的最大整数.[5.15]=5,[-7.8]=-&D,=R,Wf=Z.

观察这三个函数，易知在定义域的不同部分，函数分别用不同的算式表示。于是可给出

分段函数的概念。

5.分段函数

把定义域分成若干个区间,在不同的区间内用不同的数学算式表示的函数称为分段函数.

三、函数的几何特性

研究函数的目的就是为了了解它所具有的性质，以便掌握它的变化规律.

1.单调性

定义1.3设函数》=/（幻定义域为。,.，区间/U0.如果对于区间/内的任何两点%

和当，当王〈占，总有/区）＜/&2）（或/（而）＞/（々）），则称函数y=/（x）在区间/内

单调递增（或单调递减），/叫做单调增区间（或单调减区间）.

［例3］证明/（工）=/在（_8,内）内是单调递增的.

【证明】任取w（T»,+8）且不＜工2，则有

/（冗2）-/（工1）二石一%；=（入2—%）（后+工2%+x；）=（/-X）（w+gxj+（工；＞0,

2

即/U2）＞/（%,）,也就是说/（x）=/在（-a）,y）内单调递增的.

函数的单调性与自变量取值范围有关.例如函数），=W在区间（_8,0）内是单调递减的,

在（0,+8）内是单调递增的，但在（一8,+8）内不单调.

2.奇偶性

定义1.4设函数y=/（x）的定义域。f关于原点对称.如果对于任意XE。,，恒有

/（-A-）=-/（A）,则称y=/（x）为奇函数；如果对任意的工£。「恒有〃—x）=/a）,

则称）,二/（幻为偶函数.

例如y=V在（-8,+8）内是偶函数；y=/在（-oo,+oo）内是奇函数.而），二12+13是

非奇非偶函数。

显然偶函数的图形关于），轴对称；奇函数的图形关于坐标原点对称.

【例4］判定函数/（X）=与函数g（x）=的奇偶性.

22

-X.X

【解】因为/（一工）=一--=/（X）,所以一（X）在定义域（—8,+8）内是偶函数;

又因为g（—x）==-g（X）,所以g（X）在定义域（-8,+»）内是奇函数.

22

思考：任意一个函数都可表示为偶函数与奇函数之和？

3.周期性

定义1.5设)，=/(幻的定义域为。厂如果存在非零常数T,使得对任意的

xeDt,x+TeDf,都有

f(x+T)=f(x)t

则称y=f(x)为周期函数：称T为函数y=f(x)的一个周期.

通常所说的周期是指周期函数的最小正周期，同样记为7.

例如正弦函数)，=sinx中，±2凡±4肛±6万，…都是它的周期，其最小正周期7=2".

4.有界性

引子：y=sinx在(―00,+8)上的图像介于水平线)，=-1与》=1之间，故其为有界函数.

定义1.6设函数y=/(x)的定义域为。厂数集Xu。,.如果存在正数M,使得对所

有的xwX,都有

则称函数)，=/*)在X上有界，或称y=/(x)是X上的有界函数.否则称y=/(x)在X

上无界，y=/(i)也就称为X上的无界函数.

显然，如果函数y=/(x)在X上有界，则存在无穷多个这样的M,使得归历.

【例5】函数y=，在(0,+8)内无界，而在［1,®。］内有界.可见函数的有界性同样与自

A

变量的取值范围有关.

又如：

y7A<1，有界

i+r1+厂

尸6小尸卜L有界

四、作业

习题1.12(2)(4)；4(1)(5)(6)；5(2)(3)

1.2反函数与复合函数

教学目的：1.理解反函数、复合函数的定义，会求函数的反函数，会进行函数的复合与分解.

2.了解基本初等函数定义域、图形与性质

教学重难点：

1、教学重点：复合函数的概念

2、教学难点：发合函数的分解

教学课时：2

教学过程：

一、反函数

定义1.7设函数)，=/(x)的定义域为O,，值域为W/,如果对W,中的任何一个实数%

有唯一的一个工£。/,使/(x)=y成立.那么把y看成自变量，x看成因变量，由函数的

定义，x就成为y的函数，称这个函数为y=/(x)的反函数，记其定义域是

卬厂值域是。厂

按照习惯，函数)，=/(©的反函数就写成：j=r'W.

定理1.1(反函数存在定理)单调函数y=/(x)必存在单调的反函数，且具有与

)，=/(%)相同的单调性.

注：求解y=/(x)的反函数步骤：

(1)求出y=/(x)的值域W,；

(2)用y表示x,即写出x=/7(y)；

(3)对换x与)，,得到反函数y=jT(x)以及其定义域卬广

【例1】求y=l+lnCr-l)的反函数.

【解】因为y=l+ln(x-l)的定义域为值域为R.由)，=l+ln(x-l),得

即x=l+?z

因此，所求的反函数为y=\+e,xeR.

二、三角函数与反三角函数

1.三角函数

(1)余切函数y=cotx

)，=cotx=—5—的定义域为以乃为周期，为奇函数，且在其一

tanx

个周期内是单调递减的.

(2)正割函数y=5©。工

1Ji

y=secx=——的定义域为卜，以2乃为周期，且为偶函数

cosx2

(3)余割函数):^50¥

y=cscx=」一的定义域为{x|xwA肛％wZ},以2笈为周期，且为奇函数.

sinx

2.反三角函数

(1)反正弦函数y=arcsinx

正弦函数)，=sin戈在区间上单调增加，它的反函数称为反正弦函数，记为

7171

y=arcsinx,其定义域为［-1,1］,值域为在其定义域上单调增加.(如图1.5：'

212

(2)反余弦函数y=arccosx

余弦函数)，=以^不在［0,万］上单调增加，它的反函数称为反余弦函数，记为

y=arccosx,其定义域为［一1,1］,值域为［0,乃］.

(3)反正切函数y=arclanx

正切函数y=lanx在(-乙，工)上单调增加，它的反函数称为反正切函数，记为

22

y=arctanx其定义域为(一8,+8),值域为(一

(4)反余切函数y=arccotx

余切函数了=<:。1不在上单调递增，它的反函数称为反余切函数，记为

y=arccotx,其定义域为(一刃,+8),值域为(0,I).

注：正弦函数)'=511叱•在除■工，工外其他单调区间上也具有反函数，只是此时的

_22_

反函数不称为反正弦函数.显然，余弦函数、正切函数、余切函数也如此.

【例2】求下列各式的值

(1)arcsin!(2)arccos(-l)(3)cos(arcsin—)

【解】(1)arcsini=—

2

(2)arccos(-l)=^

g/*兀6

(3)cos(arcsin—)=cos—=——

262

三、复合函数

【定义1H】设函数y=定义域为。/：“=g(x),定义域为。「值域为

如果此no,。。，那么称函数

J=/L^WJ，无£{目g(x)£。J

为由函数)，=/(〃)和〃=g(x)构成的复合函数，其中X为自变量，y为因变量，〃称为中间

变量.同式幻£。/就是复合函数的定义域.习惯上称函数〃=g(X)为内函数，函数

y=f(u)为外函数.

【例3】设y=u=sinx,构造复合函数并求其定义域.

【解】因y=ln〃的定义域为(0,+8),〃=JF77的定义域为[―1,+8),值域为

[0,+co],^=5皿式的定义域为(-8,+8),值域为[-1,1].由于[0,+Co]n(0，+8)00,

[-l,+oo)^0.故复合函数为y=lnjl+sinx,定义域为{x|xw2%乃一£Z}.

【例4】分析下列函数由哪些简单函数复合而成，并求复合函数的定义域.

(1)y=sin(2+石彳(2)y=sin2(2+Vx)(3)尸尸心)

【解】(1)y=sin(2十五只由函数y=sin〃,"=y2,u=2+&复合而成，定义域为

{x|x>0)；

(2)y=sin2(2+JI)由函数》=〃2,〃=5皿匕？=2十五复合而成，定义域为

{x|x>0}；

(3)?=«2岫凸由函数),=/，，〃=annani，/=l+x2复合而成，定义域为

(-00,4-00).

四、基本初等函数与初等函数

1.基本初等函数

我们接触到的函数大部分都是由几种最常见、最基本的函数经过一定的运算而得到，这

几种函数就是我们已经很熟悉的函数，它们是

常值函数y=C(C为常数)

幕函数)，=P(〃为常数)

指数函数y(。为常数，。＞0且。。1)

对数函数y=log〃x(。为常数，。＞0且。工1)

三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=escx

反三角函数y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx

这六种函数统称为基本初等函数.

作业：请将基本初等函数的名称、表达式、定义域、图形及性质列表表示出来.

2.初等函数

初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次复合运算所得到的，并可以用

一个式子表示的函数.

注：一般来说，分段函数不是初等函数.但绝对值函数例外，因为)，=国又可表示为y=

所以绝对值函数是初等函数.

函数y=V的一般形式为[/⑴产)，称形如的函数为零指函数，其中/(幻，

g(x)均为初等函数,且/(幻＞0,由恒等式

[/(对⑴二西⑺…

因此，鼎指函数是初等函数.例如⑸门户"戈＞0),(1+1/»*＞0必＜-1).等都是初等函数.

五、作业

习题1.21(4)；2(1)(5)(6)；3(2)；4(1)(4).

1.3常用的经济函数

教学目的：掌握常用经济函数的含义、数学表达，会建立简单实际问题的数学模型

教学重难点：

1、教学重点：常用的经济函数

2、教学难点：建立简单实际问题的数学模型

教学课时：2

教学过程：

在经济问题中，首先分析出问题的变量，然后建立变量之间的函数关系，即建立数学模

型，最后进行求解，达到对实际问题解决的目的.下面介绍几个常用的经济函数.

一、单利与复利公式

1.单利公式

单利是指仅对本金计息，利息不计息的增值方式.

设现有本金A。，每期利率为几期数为〃，则

第一期末的本利和为

4='+4/=4(1+/)

第二期末的本利和为

A2=A0(l+r)+AQr=A0(l+2r)

第〃期末的本利和为

A=Aa[\+nr)

2.复利公式

设现有本金4,每期利率为广，期数为若每期结算一次，则第一期末的本利和为：

A=4+4/=4(i+r),

将本利和A再存入银行，第二期末的本利和为：

再把木利和存入银行，如比反复，第，期末的本利和为：

4=4(1+中，

例如设为本金，按年为期，年利率为R,则第〃年末的本利和为：

4=4(1+和

二、需求函数与供给函数

1.需求函数

商品的需求量是该商品价格的函数，称为需求函数.用勒)表示对商品的需求量，尸表

示商品的价格，则需示函数为：

QD=Q*)，

鉴于实际情况，自变量夕，因变量Q”都取非负值.

一般地，需求函数是价格的递减函数.在直角坐标系中作出它的图形称为需求曲线.

实际中，常用以下函数来近似表示需求函数：

线性需求函数：Q»=b-aP,其中。＞0,方＞0

某函数需求函数：QfkP。,其中％＞0,。＞0

指数需求函数：Q,=ae",其中。＞0*＞0

需求函数。〃=Q/)(P)的反函数，称为价格函数，记作：

P=P(Q3

也反映商品的需求量与价格的关系，有时也称为需求函数.

2.供给函数

商品的供给量是该商品价格的函数，称为供给函数.用Qs表示对商品的需求量，P表

示商品的价格，则需示函数为：

QS=QS(P)，

鉴于实际情况，自变量P,因变量4都取非负值.

一般地,商品供给函数是价格的递增函数.在直角坐标系中作出它的图形称为供给曲线.

实际中，常用以下函数来近似表示供给函数：

线性函数Qs=aP-b,其中。

爆函数Qsu%/，其中

指数函数2=。/，其中。＞°力＞0

将需求曲线和供给曲线画在同一坐标系中.由于需求函数是递减函数，供给函数是递增

函数，它们的图形必相交7一点E(Q*,F),该点叫做均衡点，该点对应的价格尸就是供、

需平衡的价格，也叫均衡价格；这一点所对应的需求量或供给量。*就叫做均衡需求量或均

衡供给量.0。=。.$称为均衡条件.

【例1】某商品每天的需求函数与供给函数分别为

Q对28户2，2吊尸

试求市场达到供需平衡时的均衡价格和均衡需求量.

【解】由均衡条件Q.=Qs,得128产2=_1。2

解得P=P'=4

从而Q，=8.

故市场供需均衡时的均衡价格为4单位，均衡需求量为8个单位.

三、成本函数与平均成本函数

1.成本函数

成木是指生产某种一定数量产品需要的费用，它包括固定成木和可变成本.

如果记总成本为7C,固定成本为EC,可变成本为VC,设。为产品数量，那么总成本

函数

7<C(0=FC+VC(Q)

其中/C20.显然成本函数是单调增加函数，它随产量的增加而增加.

2.平均成本函数

平均成本是指生产单位产品所花费的成本，记为4。，设。为产品数量，则平均成本函

数

AC(0)=生丝=生+上”

QQQ

FCVC

其中一称为平均不变成本，记为AR?；二三称为平均可变成本，记为AVC.因此，有

QQ

AC=AFC-^-AVC

四、收益函数与利润函数

1.收益函数

生产者销售一定数量的产品或劳务所获得的全部收入，称为总收益，记为TR.生产者出

售一定数量的产品时，单位产品的平均收入，即单位产品的平均售价，称为平均收益，记为

AR.

如果记77?为总收益，AR为平均收益，。为销售软，则TR,AR都是。的函数

77?=77?(0,AR=^^

其中7R,。取正值.

如果产品的销售价格P保持不变，销售量为。，则

TR(Q)=PQ,AR=P

2.利润函数

利润是指收益与成本之差，记为乃，乃是销售量。的函数，则有

咸Q)=TR(Q)-TC(Q)

利润函数乃(。)可能会出现下列三种情形：

(1)TT(Q)=TR(Q)-TC(Q)>0,表示有盈余；

(2)7r(Q)=TR(Q}-TC(Q)<0,表示出现亏损；

(3)兀(Q)=TR(Q)-TC(Q)=O,表示盈亏平衡.

我们把盈亏平衡时的产量(销量)Q)称为盈亏平衡点(又称为保本点).盈亏平衡点在

分析企业经营管理、产品定价和生产决策时具有重要意义.

【例2】设每月生产某种商品。件时的总成本为：TC(Q)=20+2Q+0.5Q2(万元)，每

售出一件该商品时的收入是20万元.

(1)求总利润函数和平均利润函数.

(2)求每月生产20件(并售出)的总利润和平均利润.

【解】(1)由题意销售价格户为20,故总收益函数TR[Q}=20g,

乂总成本函数TC(。)=20+20+O.5Q2,

故总利润函数膜Q)=TR(Q)-7C(e)=200-(20+22+0.502)

=-0.5C2+180-20

平均利润函数％(Q)=型0=-().5。一次+18

(2)由(1)当。=20件时,该商品的总利润%(20)=-0.5x2()2+18x20-20=140(万元)

平均利润为：一乃(2())=军加20")=1d40=7(万元).

2020

【例3】某厂生产一种产品，据调查其需求函数为刀=-9002+45000,生产该产品的

固定成本是270000元，而单位产品的变动成本为10元，为获得最大利润，出厂价格应为多

少？

【解】成本函数7C(Q)=270000+10。，需求函数为。=-900P+45000

于是TC(P)=-9000P+720000

U攵益函数77?(P)=PQ=-900P2+45000P

利润函数万(P)=TR(P)-TC(P)=-900(P2-60P+800)

=-90(XP-30)2+9(XXX)

当尸=30时，取得最大利润90000元

所以该产品的出厂价应定为30元.

五、作业

习题1.31；3；4；5；6

1.4数列、函数的极限

教学目的：了解中国古代的极限思想：理解数列极限、函数极限的描述性定义和性质

教学重难点：

1、教学重点：数列极限、函数极限的描述性定义

2、教学难点：数列极限的性质解释

教学课时：2

教学过程：

一、中国古代数学家的极限思想

1.刘徽的割圆术

“割圆术”就是用圆的内接正六边形、正十二边形、…、正3・2"边形去逼近圆，即用正

多边形的面积(周长)代替圆面积(周长).

随着正多边形边数的增加，正多边形的面积(周长)越来越接近于圆面积(周长).如

果设正六边形、正十二边形、……、正3・2”边形的面积分别为S2,S3,…，S„,如此下去,

就构成一个无穷数列

「，§2,邑，…,S“，…

其中S”=3・2"TR2sin/7.随着内接正多边形的边数的增加，正多边形面积

3.2”7

rr

S3.2M-'/?2sin——也越来越趋向于一个稳定的值，这个稳定值就是圆的面积

=3・2"”

S=TTR2.

同样若设正六边形，正十二边形，…，正3・2”边形的周长分别为£,。3,…，C”，

于是得另一数列

G,C2,C3,…，Cn,

其中C“=3x2"ixRxsin^^,随着内接正多边形的边数（这里为3・2”）的增加，正多边

形周长Q=3x2"ixRxsin，也越来越趋向于一个稳定的值，这个稳定值就是圆的周

"3x2"

长C=2TTR.

2.截杖问题

一尺之梗，日取其半，万世不竭.

1111

一，一，一••・，■

248T

这是一个无穷数列，通项为」当〃无限增大时，L会无限地变小，并且无限地接近常数

0.“万世不竭”表示的意思是，虽然每次取下的长度越来越小，但永远不等于0.

二、数列的极限

1.数列极限的定义

在“割圆术”和“截杖问题”中，均涉及到对于一人无穷数列，当项数〃无限增大时，

通项的变化情况.

当"无限增大时，

数列号，工，S“，…的通项5〃=3・2”以2411上7无限趋近于5=乃店；

数列G，G，。3,…，C，…的通项6=3'2"+以《、41］一三无限趋近于。=2不/?；

3K2

数列LLL…,二，…的通项为，无限趋近于o.

2482"2〃

下面再看几个数列｛乙｝的通项x.在〃无限增大时的变化趋势：

（1）数列…」，…，其通项七」随〃f勺增大而逐渐减小,越来越趋近于0；

234nn

1234nn

（2）数列一,一,一,一,…,一，…，其通项％=—随〃的增大而增大,越来越趋近于1：

234577+1H+1

(3)数列1,2,3,4,…,〃，…，其通项七二〃随〃的增大而增大,且无限增大；

(4)数列1,一±1,-1,…,W,…，其通项乙二上Q随着〃的变化在。的两侧跳

234nn

动，并随着〃的增大而趋近于0；

(5)数列1,-1,1,-1「，,(-1)"+1-，其通项七=(-1)向随着〃的增大始终交替取值1和-1,

而不趋向于某一个确定的常数：

(6)数列44,4,4,…,4,…的各项都是同一个数4,故当〃越来越大时，该数列的项也息

是确定的常数〃.

定义1.9当〃无限增大时，如果数列｛%｝的通项七无限趋近于某个常数4,那么就称

数列｛%｝收敛,常数〃称为数列｛%｝的极限，记为

limxn=a或xfa(nfoo)

否则称数列｛土｝发散.

根据定义，数列(1),(2),(4),(6)为收敛的数列，它们的极限分别是0,1,0,也

1n一.(一1尸

H即nrhm-=n0,rhm----=1,lim------=0,lima=〃.而数列(3),(5)为发散的数列.

“TOOf2〃―>8/?+]〃->R""一＞8

下面给出以后常用的一些数列极限：

(1)lima=a为常数)(2)lim—=0(a为常数且。＞0)

“thna

(3)lim^=0(4为常数且同<1)(4)lim后=1(a为常数且a＞0)

oo

(5)limVH=1

2.收敛数列的重要性质

一般地，收敛数列具有如下性质.

性质1收敛数列是有界的.

性质2收敛数列的极限是唯一的.

三、函数的极限

1.自变量趋于无穷时的极限(即当X-8时，函数f(x)f?)

自变量X趋于无穷(记X-8)可分为两种情况：自变量X趋于正无穷(记X-E)

和自变量X趋于负无穷(记X—>-8).

【例1】考察下列函数，当X-8时，函数/(X)f?

(1)f(x)=—(2)f(x)=ex(3)/(x)=sinx

【解】

(1)当xf时有‘TO,当xfTO时也有Lf0,所以当x-8时有0.

XXX

(2)当x—>400时有e'->+oo,当x—>-co时有。'f0,所以当x—>oo时，不能趋向于

一个确定的常数.

(3)无论是Xf-8还是x-—8时，sinx都不能趋向于一个确定的常数，所以当x—>8

时sinx也不能趋向于一个确定的常数.

定义1.10设函数丁二/(幻在自变量x充分大时总有定义，如果当自变量x无限增大时,

函数值/(x)无限趋近某个确定的常数a,那么称a为函数)，=/(x)当x—时的极限,

记作

limf(x)=a或/(x)—。(x—>+co)

X-M-00

否则，称函数/(I)当XT”时的极限不存在.

定义1.11设函数y=/(x)在自变量x充分小时总有定义，如果当自变量x无限减小时,

函数值无限趋近某个确定的常数4,那么称4为函数)，=/(不)当XfYC时的极限,

记为

lim/(x)=a或f(x)^a(x—>-oc)

.v—>-<o

否则，称函数/(不)当X—时的极限不存在.

例如，lim—=0,lim—=0,limer=0.

X—XXX—

【定义】设函数y=在自变量N充分大时总有定义，如果自变量N无限增大时，函

数值/(X)无限接近一个确定的常数。，则称。为函数y=/(x)当X趋于无穷(X-8)时

的极限，记为

lim/(x)=。或/(x)fa(x->8)

XT8

由于Xf8包含了Xf+8和XfYC两种情况，因此可以得到：

定理1.2函数y=/(x)当x->8时极限存在的充分必要条件是函数)，=/(/)当

xf+oo时和X——时极限都存在且相等.即

lim/(x)=a。limf(x)=limf(x)=a

A-W4T+O0X->-cO

2.白变量趋于有限值玉)n寸的极限(即当才一/n寸，函数，。)一>?)

【例2]讨论当x逐渐靠近1时，函数值y=£—3x+3的变化情况.

【解】我们列出自变量xfl时的某些值，考察对应函数值的变化趋势

X0.90.990.999•••1•••1.0011.011.10

yI.III.OIOI1.001001•••1•••0.9990010.99010.91

从表中可看出，当x越靠近1,对应函数值越靠近常数1,即xf1时，y=f—3x+3f1.

2-[

【例3】讨论当x趋于1时，函数值/(x)=-x--的变化趋势.

x-1

【解】列出自变量Xfl时的某些值，考察对应函数值的变化趋势

x0.750.90.990.9999…1…1.0000011.011.251.5

/(x)1.751.91.991.9999…2.0000012.012.252.5

厂一1_...

当xfl时，/(x)==------->2("1)

x-1

【例4】讨论当x趋于0时，函数的变化趋势.

X

当x趋于0时，，无限地增大，不趋近于某个确定的常数.

X

【例5】讨论当X趋于0时，函数/(x)=sin,的变化趋势.

x

将函数/(x)=sin-的值列表如下

x

2121221212

艾孔冗3兀2JC5乃...5乃2知3不万71

f(x)-1010-1-10-101

二0抽’的图形在_1与1之间无限次地摆动，即f(x)不

当x无限趋近于0时，函数/*)

Y

趋近于某个确定的常数.

定义1.12设函数/(X)在小的某去心邻域U(x0)内有定义，如果当x无限趋向于与时,

函数值无限趋近某个确定的常数。，那么称4为函数/(1)当XfX。时的极限，记为

limf(x)=a或/(x)-〃(x—>与)

否则，称函数当XT不时的极限不存在.

例如，lim(^2-3x4-3)=1,lim-——-=2,lim，不存在，limsin,不存在.

x->lXTl—]XT。XXT。X

【例6】求limsinx.

X

A->—2

【解】从正弦函数y=sinx的图形中可看出,

当x一工时，sinx—>\,即limsinx=1

定义1.13设函数/(x)在小的左邻域U-(x0)(不可除外)内有定义，如果当自变量x

从与的左侧趋于/(记作工7%)时，函数值/'")趋于一个确定的常数〃，那么称。为函

数/(x)当x一小时的左极限，记为lim/(工)=。或/(%-0)=4.

设函数/(用在/的右邻域U-(%)(%可除外)内有定义，如果当自变量x从与的右侧

趋于小(记作xfx；)时，函数值趋于一个确定的常数。，那么称。为函数/(x)当

戈一不时的右极限，记为lim/(工)=。或/(与+0)=。.

左极限和右极限统称为单侧极限.

由定义L12和定义1.13,可以得出:

定理1.3函数y=f(x)当XT%)时的极限存在的充分必要条件是函数y=/(x)当

克一不时的左极限、右极限都存在且相等.即

limf(x)=ao/(xo-0)=f(x°+0)=。

xx20

【例7】设函数》=国=4'一，求]

[-x,x<0a。

【解】函数)，=凶的图像如图1.16所示.

当x—>0-时，limfix)=lim(-x)=0;

x-><rXT(T

当JVF。+时，limf(x)=limx=();

x->(r.10+

根据定理L3有lim/(x)=O.

.r->0

l,x>0

【例8】试讨论函数/(x)=sgnx={0,1=0,在x=0处的左、右极限.

-1,x<0

【解】函数/(x)=sgnx的图形如图1.17所示，

当X—>0时，limf(x)=lim(-l)=-1;

x->(rX->0一

当Xto+时、limf(x)=lim1=1.

.rf0+A->0+

由定理1.3有y=/(x)在x=0处不存在极限.

3.函数极限的性质

性质1(唯一性)若lim/(x)=〃，则。是唯一的.

:蕊)

性质2(局部有界性〉如果lim/(x)-a,那么函数)，=/(x)在某个。(而@)内有界.

性质3(局部保号性)如果lim/(x)=a>0(或〃<()),那么函数y=/(x)在某个

。(厮,5)内恒有/(犬)>0(或，。)<。).

由性质3还可得到卜.面的推论.

推论1如果在某个U(%»)内，恒有y=f(xR0(或/(x)W0),且limf(x)=Q,那

XT与

么有(或aW0).

推论2如果在某个U(x0⑶内，恒有/(x)Ng(x)(或/(x)Kg(x)),且Hmf(R)=4,

limg(x)=〃，那么有。2。(或.

XT%

对于性质2和性质3,日变量的趋近方式为其他形式时，也可以得到类似的局部有界性

和局部保号性以及推论.

四、作业

习题1.41(1)(3)；2(1)(2)(5)；3(2);4

1.5无穷小与无穷大

教学目的：1.理解无穷小的概念与基本性质；

2.利用无穷小的性质计算极限；

3.理解高阶无穷小和等价无穷小的概念，掌握无穷小阶的比较方法.

教学重难点：

1、教学重点：无穷小的概念与性质，无穷小阶的比较，利用等价无穷小求极限

2、教学难点：无穷小价的比较

教学课时：1

教学过程:

本节讨论两类极限值很特殊的极限，即极限值为零与极限值趋向无穷大的两类.

一、无穷小与无穷大的概念

先观察lima-l)=O,limlim|x|二O共同特点是：极限值为零.

x->l.t-.r->011

定义1.14如果当x->为(x-8)时，函数y=/(x)极限值为零，即lim/(幻=0,

Xf”

则称函数y=/(x)为x->%)(x-8)时的无穷小.

再观察lim』二8liin/=+8观察共同特点是：极限为无穷大.

X->0XXT心

定义1.15在自变量的某个变化过程中，如果函数/*)的绝对值无限增大，那么称函数

/(幻为该过程中的无穷大，记为lim/(x)=8；如果函数/(x)为正且绝对值无限增大，那

么则称函数/0)为该过程中的正无穷大，记为lim.f(x)=+8；如果函数f(x)为负且绝对值

无限增大，那么称函数/(工)为该过程中的负无穷大，记为lim/(#=