高中数学 人教A版 选修一 用空间向量研究距离、夹角问题（第3课时） 教学设计

安徽省2022年优质课

评比之团体赛

普通高中教科书人教A版选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何

142用空间向量研究距离.夹角问题

（第三课时）

教

学

设

计

授课人：安徽省无为中学鲁贤龙

录

第一部分：单元教学设计

一、单元内容及其解析................................................1

二、单元目标及其解析...............................................2

三、单元教学问题诊断分析...........................................2

四、单元教学支持条件分析...........................................3

第二部分：课时教学设计

一、教学内容........................................................3

二、教学目标........................................................3

三、教学重点与难点..................................................3

四、教学过程设计....................................................3

（一）复习回顾，引入新课...........................................3

（二）例题教学，巩固理解...........................................4

（三）当堂检测，检验效果...........................................8

（四）小结提升，形成结构...........................................9

（五）布置作业、应用迁移...........................................9

五、板书设计.......................................................10

六、目标检测设计...................................................10

七、教学设计说明...................................................10

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（1课时，单元教学设计）

安徽省无为中学鲁贤龙

单元学习基本信息

学科数学实施年级高二

使用教材版本人民教育出版社A版2019年选择性必修第一册

单元主题名称用空间向量研究距离、夹角问题

单元课时3课时

一、单元内容及其解析

1.内容

本单元包括运用空间向量解决立体几何中的距离和夹角等度量问题，知识结构框图如下:

空■川11

Awa

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犷体几何同遢的

・三步曲..+卿偌*曰&所

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本单元建议用3课时：第1课时，用向量方法研究距离问题；第2课时，用向量方法研究角度问题；

第3课时，解决综合性问题.

2.内容解析

立体几何研究空间图形的形状、大小及其位置关系.距离和角度是立体几何中的基本度量.距

离主要包含两点间的距离，点到直线的距离，平行线间的距离，点到平面的距离，直线到平面的距

离（直线与平面平行），平行平面间的距离，等等；角度主要包含两条直线所成的角，直线和平面所

成的角，两个平面的夹角，等等.

对于距离问题，由于前面已研究了两点间的距离，本单元利用向量投影统一研究其余距离问题，

其中点到直线的距离，点到平面的距离是核心，其他距离问题都可以转化为这两类距离进行求解.对

于角度问题，利用直线的方向向量和平面的法向量，统一将这些角度化归为这些向量之间的夹角，

进而利用向量的数量积解决问题.

通过本单元求解距离和角度的问题，可以帮助学生归纳用空间向量解决立体几何问题的“三步

曲”，并自觉地运用“三步曲”解决立体几何问题，从而进一步体会向量及其运算在解决立体几何问

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题中的作用和普适性，培养学生直观想象、数学运算和逻辑推理等素养.

基于以上分析，确定本单元的教学重点：利用投影向量推导点到直线的距离公式和点到平面的

距离公式，利用向量的数量积推导直线、平面间的夹角公式，运用“三步曲”解决立体几何问题.

二、单元目标和目标解析

1.目标

（1）能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、直线到平面（直线与平面平行）、

相互平行的平面的距离问题.

（2）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角（夹角）问题.

（3）理解用向量方法解决立体几何问题的程序，并用来解决立体几何问题，体会向量方法的作

用.

2.目标解析

达成上述目标的标志是：

（1）能利用向量投影推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式.能把相互平行的直线间

的距离、直线到平面的距离（直线与平面平行）、相互平行的平面间的距离转化为点到直线的距离或

点到平面的距离，进而求得上述距离.

（2）能通过实例归纳出利用向量的数量积求空间两条异面直线所成角的一般方法；能够利用向

量的数量积得出直线与平面、平面与平面所成角的计算公式，并用来解决有关夹角问题.体会利用

向量数量积解决空间角度问题的优势.

（3）能归纳出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，并自觉地运用“三步曲”解决立体

几何中的问题；通过用向量方法、综合几何方法从不同角度解决立体几何问题，体会向量方法的优

势以及向量及其运算在解决立体几何问题中的作用.

三、单元教学问题诊断分析

1.问题诊断

学生在在“立体几何初步”的学习中，对于距离和夹角有了一定的认识，但缺乏整体性、系统

性.在本章前面的学习中，也已经利用空间向量及其运算、空间向量基本定理等解决一些简单的立

体几何问题，但对于其中的向量方法体会还不够深刻，对于用空间向量解决立体几何问题的“三步

曲”，也达不到熟练运用的程度，特别是在解决综合性问题时，常常对其中的第一步“建立立体图形

与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问

题”缺乏经验和体会.

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本单元的教学难点为：整体理解空间距离公式和角度公式，以及运用“三步曲”解决立体几何

中的综合问题.

四、单元教学支持条件分析

利用动态几何软件作空间图形，呈现几何图形中的几何元素及其关系，帮助学生形成对相应的

直线、平面关系的直观认识；利用信息技术展示向量投影的过程，帮助学生构造相关的几何量；借

助投影平台展示学生的作品；等等.

五、课时教学设计

第3课时用空间向量解决立体几何综合问题

（-）教学内容

用向量法解决立体几何问题的综合应用.

（-）教学目标

综合运用“基底法”“坐标法”解决立体几何问题，掌握用向量方法解决立体几何问题的思想

和一般步骤.

（三）教学重点与难点

重点：对向量法的理解.

难点：将立体几何问题转化为向量问题.

（四）教学过程设计

1.复习回顾，引入新课

引导语：同学们好！前面我们学习了如何用向量方法求解立体几何中的距离和角度问题.这节

课我们应用这些知识解决综合性较强的问题.

问题1:用向量方法解决立体几何问题的一般路径是什么？

追问：面对实际问题时，又该如何处理？让我们一起来欣赏神州十三号飞船返回舱着陆的动画.

（教师播放视频）

师生活动：由学生作答，教师强调：面对具体问题时，认真审题，理解题意，先把图形的几何

特征分析清楚，也就是把图形中的基本元素和它们的基本关系先搞清楚，把问题描述清楚，以此为

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依据，再分析如何选择基底表示相关的几何元素.教师播放神州十三号飞船返回舱着陆动画.

【设计意图】解题教学首先要明确其目的是巩固双基、积累数学活动经脸、领悟数学思想方法，

不能以得出答案为满足；要遵循解题教学的一般之道，按“阅读题目理解题意一作出图形一分析图

形的几何特征一选择适当的基底一用基底表示相关几何元素一通过向量运算得出结果一对结果作出

几何解释”的一般路径展开教学，不能忙于下手，把题意理解清楚是首要的；解决立体几何问题，

要强调根据题意作出图形的重要性；要让学生掌握分析图形几何特征、选择基向量的基本方法；要

强调培养良好解题习惯的重要性.通过视频可以拉近生活与数学的距离，紧跟时事，弘扬爱国主义

教育，让学生体会教学来源于生活，又高于生活，提高学生的数学核心素养，引导学生学会用数学

的眼观观察世界，培养学生的数学建模能力，充分体现数学教学的育人功能.

2.例题教学，巩固理解

例9如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向

量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1kg,每根绳子的拉力大小相同.求降落伞在匀速下落的过

程中每根绳子拉力的大小（重力加速度g取9.8根As2,精确到0.01N）./----、

问题2：观察右图，你认为可以用哪种数学模型来表示该图？

追问1：这种数学模型的几何特征有哪些？（教师利用Geogebra演示模型）

追问2：结合该模型的几何特征和所学物理知识，如何简要的描述本题？基

追问3：降落伞匀速下落，下落过程中，8根绳子拉力Ad----

的合力大小与礼物重力大小有什么关系？/

追问4：每根绳子的拉力和合力有什么关系？V/\'\qJ'

追问5：如果要作出礼物在空间中的受力示意图，我们—北

怎么作图？

师生活动：假设其中一根绳子的拉力为耳，尝试作出拉力/在竖直方向的分解示意图.

追问6：如何用向量语言刻画刚刚的过程？

追问7：根据上述分析，用向量方法如何解决这个问题？

师生活动：将实际问题抽象为数学模型（正八棱锥），对数学模型进行分析，利用所学物理知识

进行受力分析，因为降落伞匀速下落，所以降落伞8根绳子拉力的合力大小等于礼物重力的大小.8

根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量.

【设计意图】师生共同分析，将实际问题转化为数学问题，培养学生数学建模的意识与能力，

提高数学抽象能力，体会向量方法在解决实际问题中的作用.通过设置问题串，能让学生更好的读

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懂题和准确理解题意，引导学生学会用数学的思维思考世界.

解：如图，记水平面的单位法向量为〃，其中一根绳子的拉力为尸.

因为<〃，F>=30°,所以F在〃上的投影向量为〃.所以8根绳子拉力的合力

2

…与F

又因为降落伞匀速下落，所以

国=1%物|=lx9.8=9.8(N).

所以kg|P|“=9.8.

98

所以四=号=1.41(N).

114V3

即：降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小是1.41(N).

【设计意图】规范解题，作好学生的示范.特别强调先设向量，再把实际问题转化为向量问题

来求解，最后回答实际问题，引导学生学会用数学的语言表达世界.

问题3：回顾一下，我们是如何解决这个实际问题的？

抽象

实际问题数学问题

»¥择

向显农小O

物体受力分析向量的运算

实际应用

向M体现

合力为0相反向量

实际结果

问题4：运用向量方法求解实际问题的一般思路是什么？

抽象

实际问题数学问题

解释转化

运上

向量问题的解空间向过问题

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例10如图，在四棱锥P-A3C。中，底面ABC。是正方形，侧棱PD_L底面ABC。,

PD=DC,E是PC的中点，作EFLPB交PB于点F.

(1)求证:PA//平面EDB；

(2)求证:PB工平面EFD；

(3)求平面CP8与平面P8O的夹角的大小.

问题5：观察上图，该图的几何特征是什么？由此你想到了什么？

师生活动:教师引导学生根据条件确定利用空间直角坐标系解决问题.建立以。为原点，DA,

DC,。尸所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系.

追问1：欲证P4//平面可以从哪些方面思考？给出证明思路并说明理由.

师生活动：师生共同回顾用向量法证明直线与平面平行的步骤，设直线/的方向向量为“，平面

a的法向量为〃，则o〃/a.在此基础上，用坐标表示PA以及平面EC射的一个法向量，

进而利用向量的数量积运算解决问题.也可以利用综合法.

追问2：欲证平面EED,可以从哪些方面思考？给出证明思路并说明理由.

师生活动：师生共同回顾用向量法证明直线与平面垂直的步骤，设直线/的方向向量为“，平面

a的法向量为n,则u=An(2eR)<=>/±«.在此基础上，用坐标表示PB以及平面EFD的一个

法向量，进而利用向量的数乘运算解决问题.也可以利用综合法.

追问3：求平面CPB与平面PBO的夹角有哪些方法？你会如何选择？为什么？

追问4：若采用坐标法，平面CP6与平面PBO的法向量怎么求？请结合图形说明.

追问5：在空间直角坐标系中求OE,还需要知道什么？怎么求？可以利用哪些条件？

追问6：如果知道点F的坐标，利用向量法怎么求NERD?

追问7：若采用综合法，NEFD怎么求?请你具体说说.

追问8：观察△£>£F,你有新的发现吗？由此你想到了什么？

问题6：结合本题，谈谈你对解决立体几何问题的体会？

师生活动：教师引导学生用向量及坐标表示平面的法向量，进而利用向量的数量积运算，求得

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平面CPB与平面P8D的法向量的夹角，从而求得这两个平面的夹角.教师还可以利用信息技术手

段展示“补齐”正方体，再让学生观察问题中的线、面和正方体的关系，由此形成对图形特征的整

体直观认识.

本题涉及的问题包括：直线与平面平行和垂直的判定，计算两个平面的夹角.这些问题都可以

利用向量方法解决.由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂直于底面，可以利用这些条件建

立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元素，进而解决问题.

解：以。为原点，DA,DC,。尸所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间

直角坐标系，设DC=1.

(1)证明：连接4C,交5。于点G,连接EG.公&,

依题意得A(1,0,0),P(0,0,l),E(0,—，一).»

22k子、厂

因为底面ABC。是正方形，所以点G是它的中心，

11―.11

故点G的坐标为(一，一，0),且。4=(1,0,-1),EG=(—,0,一一).

所以PA=2EG,即P4//EG.

而EGu平面E03,且平面因此24//平面EDB.

(2)证明：依题意得8(1,1,0),PB=(1,1,-1).

1111

又DE=(U故PB£)E=0+----=0.

2222

所以PB工DE.

由已知且EFDE=E,

所以03,平面EFD.

(3)解：已知由(2)可知~B_LDE,故NEED是平面CPB与平面P3O的夹角.

由(2)可知点b的坐标为(无，y,z),则PR=(x,y,z-1).

因为PF=kPB,所以

(x,y,z—1)=女(1,1,一1)=(左，k,-k),即》=々，y=k,z=1—k.

设PBDF=3贝U

(1,1,一1)・(左，k,1一后)=攵+上一1+后=3攵-1=0.

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1112

所以Z=点尸的坐标为（§

又点E的坐标为（0所以FE=（—』,-,

!，！，/）•（-1,-7，*）

FEFD

所以cosNEFD-3663331

63

所以ZEFD=60°,即平面CP8与平面PBD的夹角大小为60°.

【设计意图】通过例题，让学生进一步体会用向量方法解决空间的位置关系和度量问题的过程、

方法，进一步体会用空间向量解决立体几何问题的“坐标法”.引导学生把握解题要点（特别是分析

图形的几何特征、选择适当的基底表示相关几何元素），深化对向量作为一个运算对象的理解，培养

学生根据解决问题的需要选择运算方法、设计运算程序的能力；通过比较向量法和综合几何法，体

会它们的各自特点；通过与相应的证明访谈的结合，使学生更清晰地把握图形中各几何元素、几何

量的特征，从而开拓学生的思路，培养直观想象素养.

3.当堂检测，检验效果

1.如图，二面角£-/-，的棱上有两个点A,B,线段8。与AC分别在这个二面角的两个平面

内，并且都垂直于棱/.若A5=4,AC=6,BD=8,CD=2,求平面a与平面夕的夹角.

2.如图，在三棱锥中，AB=AC=6r)=CO=3,A0=8C=2,、M,N

分别是AO,8C的中点，求异面直线AN,CM所成角的余弦值.

3.如图，在三棱锥O-ABC中，QA,OB,OC两两垂直，QA=OC=3,08=2.求直线

08与平面A8C成角的正弦值.AA

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【设计意图】第1题懂得当已知首尾连接的四条线段长时，又知道其中两组相邻边的夹角，就

可以求相对两边所成的角.第2题考查利用向量方法解决直线与直线所成的角的能力，当然本题还

可以拓展，将三棱锥放到长方体中，从而建系求解，教师可以用信息技术手段给出长方体模型.

4.小结提升，形成结构

问题7：回顾本单元的学习内容，并回答以下问题：

（1）用向量方法解决立体几何问题的基本步骤是什么？请用一个框图表示？

（2）通过本节的学习，你对立体几何中的向量方法是否有一定的认识？请结合例题和上面的框

图谈谈体会.

（3）解决立体儿何中的问题，可用三种方法：综合法、向量法、坐标法.请说出它们各自的特

点是什么？

师生活动：师生共同梳理总结本单元的学习内容，引导学生画出用向量法解决立体几何问题的

一般步骤的“三步曲”的框图，具体如下：

用空间向量表示立体进行空间向量的运把运算结果“翻译”

图形中的点、直线、算，研究点、直线、成相应的几何意义

平面等元素平面之间的关系（回到图形问题）

（化为向量问题）（进行向量运算）

进一步地，在学生回答的基础上，教师指出解决立体几何问题的综合法、向量法、坐标法的特

点：综合法通过纯粹的逻辑推理解决问题，向量法利用向量的概念及其运算解决问题，坐标法利用

数及其运算来解决问题.坐标法经常与向量法结合起来使用.对于具体的问题，应根据它的条件和

所求选择合适的方法.

【设计意图】这里的小结既是本节课的小结，也是本单元的小结.目的是从宏观的思想方法和

中观的解题步骤方面进行总结，使学生掌握用向量方法解决立体几何问题的一般方法，并通过综合

法、向量法、坐标法的比较，认识它们各自的特点，进一步加深对向量法的认识.通过问题串的形

式，引导学生概括归纳已有知识，发现知识规律及其结构特征，形成知识系统；深化对点、线、面

向量表示的内涵和实质的理解，挖掘知识形成过程中所体现类比和转化的思想方法，形成知识网络

和方法网络，培养学生的抽象概括能力.

5.布置作业，应用迁移

必做题：教科书习题1.4第14、15题.

选做题：结合本单元所学知识，查阅相关资料，写一篇主题为“空间向量与实际生活”的数学

小论文.

【设计意图】第1题有助于巩固学生的基础知识.第2题为开放性作业，有助于提高学生的数

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学素养.

6.板书设计

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题

第三课时

1.实际问题的研究思路多媒体演示区灵活板演区

2.用向量法解决立体几何问题的一般

步骤的“三步曲”

(五)目标检测设计

1.已知四棱锥P-A6C。的底面是边长为2的菱形，NBA。=60°,PA=20,PC=娓,

PD=2,M为PC的中点.

(1)求证：P4//平面BDW；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

2.如图所示，在矩形4BC£＞中，A3=4,AD=2,E是CO的中点，。为AE的中点，以

AE为折痕将AADE向上折起，使。点折到P点，且PC=PB.

(1)求