人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册学案：2 1 2 两条直线平行和垂直的判定学案

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE12.1.2两条直线平行和垂直的判定课标要求素养要求1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能应用两条直线平行或垂直解决有关问题.通过学习两条直线平行与垂直的判定，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养.新知探究过山车是一种富有刺激性的娱乐工具.实际上，过山车的运动包含了许多数学、物理学原理.过山车的两条铁轨是永远平行的轨道，它们依靠一根根巨大且垂直于地面的钢筋支撑着.你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直又用什么来刻画呢？问题当直线m与直线n平行或垂直时它们对应的斜率有怎样的关系？〖提示〗当两直线平行时它们对应的斜率k1＝k2.当两直线垂直时它们对应的斜率的乘积k1k2＝－1.特别地，当两直线的斜率都不存在时两直线也平行.当一条直线斜率为0，另一条直线的斜率不存在时两直线垂直.1.两条不重合直线平行的判定要特别注意两种特殊情况①两直线重合时不平行②斜率是否存在类型斜率存在斜率不存在前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇐两直线斜率都不存在图示2.两条直线垂直的判定要注意直线的斜率是否存在，否则要进行讨论图示对应关系l1⊥l2(两直线斜率都存在)⇔k1·k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2拓展深化〖微判断〗1.如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定为－1.(×)〖提示〗当一条直线斜率不存在，另一条直线的斜率为0时两直线也垂直.2.若点A(－1，2)，B(1，3)，C(0，1)，D(2，b)，且AB∥CD，则b＝3.(×)〖提示〗由AB∥CD，得kAB＝kCD，即eq\f(3－2,1－（－1）)＝eq\f(b－1,2－0)，∴b＝2.〖微训练〗1.已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)，则直线AB与直线CD()A.平行 B.垂直C.重合 D.以上都不正确〖解析〗由题意知kAB＝eq\f(5－3,2－（－4）)＝eq\f(1,3)，kCD＝eq\f(－3,－3－6)＝eq\f(1,3)，∴kAB＝kCD，又A，B，C，D不共线，∴两直线平行.〖答案〗A2.已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1＝2，l1⊥l2，则k2＝________.〖解析〗∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，又∵k1＝2，∴k2＝－eq\f(1,2).〖答案〗－eq\f(1,2)〖微思考〗1.如果两条直线平行，则这两条直线的斜率一定相等吗？〖提示〗不一定，也可能两条直线的斜率都不存在.2.若两条直线的斜率都不存在，那么这两条直线都与x轴垂直吗？〖提示〗当两条直线的斜率都不存在时，这两条直线都垂直于x轴.题型一两条直线平行的判定及应用〖例1〗根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行.(1)l1经过点A(2，3)，B(－4，0)；l2经过点M(－3，1)，N(－2，2)；(2)l1的斜率为－eq\f(1,2)；l2经过点A(4，2)，B(2，3)；(3)l1平行于y轴；l2经过点P(0，－2)，Q(0，5)；(4)l1经过点E(0，1)，F(－2，－1)；l2经过点G(3，4)，H(2，3).解(1)∵kAB＝eq\f(3－0,2－（－4）)＝eq\f(1,2)，kMN＝eq\f(2－1,－2－（－3）)＝1，kAB≠kMN，∴l1与l2不平行.(2)∵k1＝－eq\f(1,2)，k2＝eq\f(3－2,2－4)＝－eq\f(1,2)，即k1＝k2，∴l1与l2平行或重合.(3)由题意知，l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，∴l1∥l2.(4)由题意知，k1＝eq\f(－1－1,－2－0)＝1，k2＝eq\f(3－4,2－3)＝1，∴l1与l2平行或重合，又kFG＝eq\f(4－（－1）,3－（－2）)＝1，∴E，F，G，H四点共线，∴l1与l2重合.规律方法判断两条不重合直线是否平行的步骤特别提醒在证明(判断)两直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不共线才能确定平行，因为两直线重合也可以推出两条直线的斜率相等.〖训练1〗已知△ABC中，A(0，3)，B(2，－1)，E，F分别为AC，BC的中点，求直线EF的斜率.解∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB，∴kEF＝kAB＝eq\f(－1－3,2－0)＝－2.故直线EF的斜率为－2.题型二两条直线的垂直关系角度1两条直线垂直关系的判定〖例2－1〗判断下列各小题中l1与l2是否垂直.(1)l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)；l2经过点M(－2，－1)，N(2，1)；(2)l1的斜率为－10；l2经过点A(10，2)，B(20，3)；(3)l1经过点A(3，4)，B(3，10)；l2经过点M(－10，40)，N(10，40).解(1)∵k1＝eq\f(2－（－2）,1－（－1）)＝2，k2＝eq\f(1－（－1）,2－（－2）)＝eq\f(1,2)，k1k2＝1，∴l1与l2不垂直.(2)∵k1＝－10，k2＝eq\f(3－2,20－10)＝eq\f(1,10)，k1k2＝－1，∴l1⊥l2.(3)由A，B的横坐标相等得l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴.k2＝eq\f(40－40,10－（－10）)＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2.角度2两条直线垂直关系的应用〖例2－2〗已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，a＋2).若l1⊥l2，求a的值.解设直线l2的斜率为k2，则k2＝eq\f(2－（a＋2）,1－（－2）)＝－eq\f(a,3).①当a＝4时，l1的斜率不存在，k2＝－eq\f(4,3)，不符合题意；②当a≠4时，l1的斜率存在，此时k1＝eq\f(2－a,a－4).由k1·k2＝－1，得－eq\f(a,3)·eq\f(2－a,a－4)＝－1，解得a＝3或a＝－4.∴当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2.规律方法使用斜率公式判定两直线垂直的步骤：(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步.(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式.(3)求值：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应注意对参数进行讨论.〖训练2〗已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，2)，B(－1，1)，C(0，2)，求BC边上的高所在直线的斜率与倾斜角.解设BC边上的高所在直线的斜率为k，则有k·kBC＝－1.∵kBC＝eq\f(2－1,0－（－1）)＝1，∴k＝－1.∴BC边上的高所在直线的倾斜角为135°.题型三平行与垂直的综合应用〖例3〗已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状.解A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图：由斜率公式可得kAB＝eq\f(5－3,2－（－4）)＝eq\f(1,3)，kCD＝eq\f(0－3,－3－6)＝eq\f(1,3)，kAD＝eq\f(0－3,－3－（－4）)＝－3，kBC＝eq\f(3－5,6－2)＝－eq\f(1,2)，∴kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，∴AB∥CD.由kAD≠kBC，∴AD与BC不平行.又kAB·kAD＝eq\f(1,3)×(－3)＝－1，∴AB⊥AD.故四边形ABCD为直角梯形.规律方法利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤〖训练3〗已知点A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列).解设所求点D的坐标为(x，y)，如图所示，由于kAB＝3，kBC＝0，∴kAB·kBC＝0≠－1，即AB与BC不垂直，故AB，BC都不可作为直角梯形的直角边.(1)若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD，∵kBC＝0，∴CD的斜率不存在，从而有x＝3.又kAD＝kBC，∴eq\f(y－3,x)＝0，即y＝3，此时AB与CD不平行，故所求点D的坐标为(3，3).(2)若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，AD⊥CD，∵kAD＝eq\f(y－3,x)，kCD＝eq\f(y,x－3)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y－3,x)·3＝－1，,\f(y－3,x)·\f(y,x－3)＝－1，))解得x＝eq\f(18,5)，y＝eq\f(9,5)，∴D点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)，\f(9,5))).综上，D点坐标为(3，3)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)，\f(9,5))).一、素养落地1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象、数学运算与逻辑推理素养.2.两直线平行或垂直的判定方法斜率直线斜率均不存在平行或重合一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在垂直斜率均存在相等平行或重合积为－1垂直3.在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想.二、素养训练1.已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于()A.－3 B.3C.－eq\f(1,3) D.eq\f(1,3)〖解析〗因为直线l∥AB，所以k＝kAB＝eq\f(3－0,3－2)＝3.〖答案〗B2.若经过点(3，a)，(－2，0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为eq\f(1,2)的直线垂直，则a的值为()A.eq\f(5,2) B.eq\f(2,5)C.10 D.－10〖解析〗由题意知eq\f(a－0,3－（－2）)＝－2，∴a＝－10.〖答案〗D3.若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，且l1⊥l2，则有()A.α1－α2＝90° B.α2－α1＝90°C.|α2－α1|＝90° D.α1＋α2＝180°〖解析〗两直线垂直，则它们的倾斜角的绝对值相差90°.〖答案〗C4.以点A(1，3)，B(－5，1)为端点的线段的垂直平分线的斜率为________.〖解析〗∵kAB＝eq\f(1－3,－5－1)＝eq\f(1,3)，∴线段垂直平分线的斜率为－3.〖答案〗－35.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(4，3)，求顶点D的坐标.解设D(m，n)，由题意，得AB∥DC，AD∥BC，则有kAB＝kDC，kAD＝kBC.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(0－1,1－0)＝\f(3－n,4－m)，,\f(n－1,m－0)＝\f(3－0,4－1)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝4.))∴顶点D的坐标为(3，4).2.1.2两条直线平行和垂直的判定课标要求素养要求1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能应用两条直线平行或垂直解决有关问题.通过学习两条直线平行与垂直的判定，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养.新知探究过山车是一种富有刺激性的娱乐工具.实际上，过山车的运动包含了许多数学、物理学原理.过山车的两条铁轨是永远平行的轨道，它们依靠一根根巨大且垂直于地面的钢筋支撑着.你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直又用什么来刻画呢？问题当直线m与直线n平行或垂直时它们对应的斜率有怎样的关系？〖提示〗当两直线平行时它们对应的斜率k1＝k2.当两直线垂直时它们对应的斜率的乘积k1k2＝－1.特别地，当两直线的斜率都不存在时两直线也平行.当一条直线斜率为0，另一条直线的斜率不存在时两直线垂直.1.两条不重合直线平行的判定要特别注意两种特殊情况①两直线重合时不平行②斜率是否存在类型斜率存在斜率不存在前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇐两直线斜率都不存在图示2.两条直线垂直的判定要注意直线的斜率是否存在，否则要进行讨论图示对应关系l1⊥l2(两直线斜率都存在)⇔k1·k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2拓展深化〖微判断〗1.如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定为－1.(×)〖提示〗当一条直线斜率不存在，另一条直线的斜率为0时两直线也垂直.2.若点A(－1，2)，B(1，3)，C(0，1)，D(2，b)，且AB∥CD，则b＝3.(×)〖提示〗由AB∥CD，得kAB＝kCD，即eq\f(3－2,1－（－1）)＝eq\f(b－1,2－0)，∴b＝2.〖微训练〗1.已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)，则直线AB与直线CD()A.平行 B.垂直C.重合 D.以上都不正确〖解析〗由题意知kAB＝eq\f(5－3,2－（－4）)＝eq\f(1,3)，kCD＝eq\f(－3,－3－6)＝eq\f(1,3)，∴kAB＝kCD，又A，B，C，D不共线，∴两直线平行.〖答案〗A2.已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1＝2，l1⊥l2，则k2＝________.〖解析〗∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，又∵k1＝2，∴k2＝－eq\f(1,2).〖答案〗－eq\f(1,2)〖微思考〗1.如果两条直线平行，则这两条直线的斜率一定相等吗？〖提示〗不一定，也可能两条直线的斜率都不存在.2.若两条直线的斜率都不存在，那么这两条直线都与x轴垂直吗？〖提示〗当两条直线的斜率都不存在时，这两条直线都垂直于x轴.题型一两条直线平行的判定及应用〖例1〗根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行.(1)l1经过点A(2，3)，B(－4，0)；l2经过点M(－3，1)，N(－2，2)；(2)l1的斜率为－eq\f(1,2)；l2经过点A(4，2)，B(2，3)；(3)l1平行于y轴；l2经过点P(0，－2)，Q(0，5)；(4)l1经过点E(0，1)，F(－2，－1)；l2经过点G(3，4)，H(2，3).解(1)∵kAB＝eq\f(3－0,2－（－4）)＝eq\f(1,2)，kMN＝eq\f(2－1,－2－（－3）)＝1，kAB≠kMN，∴l1与l2不平行.(2)∵k1＝－eq\f(1,2)，k2＝eq\f(3－2,2－4)＝－eq\f(1,2)，即k1＝k2，∴l1与l2平行或重合.(3)由题意知，l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，∴l1∥l2.(4)由题意知，k1＝eq\f(－1－1,－2－0)＝1，k2＝eq\f(3－4,2－3)＝1，∴l1与l2平行或重合，又kFG＝eq\f(4－（－1）,3－（－2）)＝1，∴E，F，G，H四点共线，∴l1与l2重合.规律方法判断两条不重合直线是否平行的步骤特别提醒在证明(判断)两直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不共线才能确定平行，因为两直线重合也可以推出两条直线的斜率相等.〖训练1〗已知△ABC中，A(0，3)，B(2，－1)，E，F分别为AC，BC的中点，求直线EF的斜率.解∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB，∴kEF＝kAB＝eq\f(－1－3,2－0)＝－2.故直线EF的斜率为－2.题型二两条直线的垂直关系角度1两条直线垂直关系的判定〖例2－1〗判断下列各小题中l1与l2是否垂直.(1)l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)；l2经过点M(－2，－1)，N(2，1)；(2)l1的斜率为－10；l2经过点A(10，2)，B(20，3)；(3)l1经过点A(3，4)，B(3，10)；l2经过点M(－10，40)，N(10，40).解(1)∵k1＝eq\f(2－（－2）,1－（－1）)＝2，k2＝eq\f(1－（－1）,2－（－2）)＝eq\f(1,2)，k1k2＝1，∴l1与l2不垂直.(2)∵k1＝－10，k2＝eq\f(3－2,20－10)＝eq\f(1,10)，k1k2＝－1，∴l1⊥l2.(3)由A，B的横坐标相等得l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴.k2＝eq\f(40－40,10－（－10）)＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2.角度2两条直线垂直关系的应用〖例2－2〗已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，a＋2).若l1⊥l2，求a的值.解设直线l2的斜率为k2，则k2＝eq\f(2－（a＋2）,1－（－2）)＝－eq\f(a,3).①当a＝4时，l1的斜率不存在，k2＝－eq\f(4,3)，不符合题意；②当a≠4时，l1的斜率存在，此时k1＝eq\f(2－a,a－4).由k1·k2＝－1，得－eq\f(a,3)·eq\f(2－a,a－4)＝－1，解得a＝3或a＝－4.∴当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2.规律方法使用斜率公式判定两直线垂直的步骤：(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步.(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式.(3)求值：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应注意对参数进行讨论.〖训练2〗已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，2)，B(－1，1)，C(0，2)，求BC边上的高所在直线的斜率与倾斜角.解设BC边上的高所在直线的斜率为k，则有k·kBC＝－1.∵kBC＝eq\f(2－1,0－（－1）)＝1，∴k＝－1.∴BC边上的高所在直线的倾斜角为135°.题型三平行与垂直的综合应用〖例3〗已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状.解A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图：由斜率公式可得kAB＝eq\f(5－3,2－（－4）)＝eq\f(1,3)，kCD＝eq\f(0－3,－3－6)＝eq\f(1,3)，kAD＝eq\f(0－3,－3－（－4）)＝－3，kBC＝eq\f(3－5,6－2)＝－eq\f(1,2)，∴kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，∴AB∥CD.由kAD≠kBC，∴AD与BC不平行.又kAB·kAD＝eq\f(1,3)×(－3)＝－1，∴AB⊥AD.故四边形ABCD为直角梯形.规律方法利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤〖训练3〗已知点A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列).解设所求点D的坐标为(x，y)，如图所示，由于kAB＝3，kBC＝0，∴kAB·kBC＝0≠－1，即AB与BC不垂直，故AB，BC都不可作为直角梯形的直角边.(1)若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD，∵kBC＝0，∴CD的斜率不存在，从而有x＝3.又kAD＝kBC，∴eq\f(y－3,x)＝0，即y＝3，此时AB与CD不平行，故所求点D的坐标为(3，3).(2)若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，AD⊥CD，∵kAD＝eq\f(y－3,x)，kCD＝eq\f(y,x－3)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y－3,x)·3＝－1，,\f(y－3,x)·\f(y,x－3)＝－1，))解得x＝eq\f(18,5)，y＝eq\f(9,5)，∴D点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)，\f(9,5))).综上，D点坐标为(3，3)或eq