人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册学案：1 4 1 第三课时 空间中直线、平面的垂直学案

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE1第三课时空间中直线、平面的垂直课标要求素养要求1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系.利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系，判定直线、平面的垂直关系，培养学生的数学运算、直观想象素养和逻辑推理素养.新知探究观察图片，图中旗杆所在直线和地面垂直.问题1.直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线与平面有什么位置关系？2.若两平面的法向量垂直，则两平面垂直吗？〖提示〗1.垂直.2.垂直.1.两直线垂直的判定方法设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.2.直线和平面垂直的判定方法设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.3.平面和平面垂直的判定方法设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.拓展深化〖微判断〗1.两直线的方向向量垂直，则两直线垂直.(√)2.若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面垂直.(×)〖提示〗若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行或在平面内.3.若两平面垂直，则这两个平面的法向量所成的角一定是90°.(√)〖微训练〗1.若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，则()A.l1∥l2 B.l1⊥l2C.l1，l2相交但不垂直 D.不能确定〖解析〗∵a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.〖答案〗B2.若直线l的一个方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的一个法向量为n＝(－2，0，－4)，则()A.l∥α B.l⊥αC.l⊂α D.l与α斜交〖解析〗∵n＝(－2，0，－4)＝－2(1，0，2)＝－2a，∴n∥a，∴l⊥α.〖答案〗B3.已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，则t的值为________.〖解析〗∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量u与平面β的法向量v互相垂直，∴u·v＝0，即－1·t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.〖答案〗5〖微思考〗1.若两个平面的法向量不垂直，那么这两个平面垂直吗？〖提示〗不垂直.2.若直线l的方向向量与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直，那么l与α垂直吗？〖提示〗垂直.题型一直线和直线垂直〖例1〗如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝eq\f(1,4)CC1.求证：AB1⊥MN.证明法一设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则由已知条件和正三棱柱的性质，得|a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝a＋c，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(AN,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,4)c，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,4)c，∴eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＝(a＋c)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋\f(1,4)c))＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)cos60°＋0－0＋0＋eq\f(1,4)＝0.∴eq\o(AB1,\s\up6(→))⊥eq\o(MN,\s\up6(→))，∴AB1⊥MN.法二设AB中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)，0))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)，\f(1,4)))，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，1))，∵M为BC中点，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)，0)).∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,4)))，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(1，0，1)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)＋0＋eq\f(1,4)＝0.∴eq\o(MN,\s\up6(→))⊥eq\o(AB1,\s\up6(→))，∴AB1⊥MN.规律方法利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤：(1)基向量法：①选取三个不共面的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；②把两直线的方向向量用基底表示；③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直.(2)坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；③计算两直线方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直.〖训练1〗如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AC的中点.求证：(1)BD1⊥AC；(2)BD1⊥EB1.证明以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1，则B(1，1，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，B1(1，1，1).(1)eq\o(BD1,\s\up6(→))＝(－1，－1，1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，∴eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0，∴eq\o(BD1,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴BD1⊥AC.(2)eq\o(BD1,\s\up6(→))＝(－1，－1，1)，eq\o(EB1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))，∴eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(EB1,\s\up6(→))＝(－1)×eq\f(1,2)＋(－1)×eq\f(1,2)＋1×1＝0，∴eq\o(BD1,\s\up6(→))⊥eq\o(EB1,\s\up6(→))，∴BD1⊥EB1.题型二直线和平面垂直〖例2〗如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.证明法一设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝b，则eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1F,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1D1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－a＋b＋c).∵eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a＋b，∴eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(－a＋b＋c)·(a＋b)＝eq\f(1,2)(b2－a2＋c·a＋c·b)＝eq\f(1,2)(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0.∴eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(AB1,\s\up6(→))，即EF⊥AB1.同理，EF⊥B1C.又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C⊂平面B1AC，∴EF⊥平面B1AC.法二设正方体的棱长为2，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(2，2，1)，F(1，1，2).∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝(－1，－1，1)，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(0，2，2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，2，0).∴eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(－1，－1，1)·(0，2，2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0，eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，－1，1)·(－2，2，0)＝2－2＋0＝0，∴eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴EF⊥AB1，EF⊥AC.又AB1∩AC＝A，AB1，AC⊂平面B1AC，∴EF⊥平面B1AC.法三由法二得eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(0，2，2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，2，0)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝(－1，－1，1).设平面B1AC的法向量n＝(x，y，z)，则eq\o(AB1,\s\up6(→))·n＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·n＝0，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2y＋2z＝0，,－2x＋2y＝0.))取x＝1，则y＝1，z＝－1，∴n＝(1，1，－1)，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝－n，∴eq\o(EF,\s\up6(→))∥n，∴EF⊥平面B1AC.规律方法证明直线与平面垂直的方法：法一选基底，将相关向量用基底表示出来，然后利用向量的计算来证明.法二、法三建立空间直角坐标系，利用坐标将向量的运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目的.〖训练2〗如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD，PB的中点.求证：EF⊥平面PAB.证明以D为坐标原点，DA的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.设E(a，0，0)，其中a＞0，则C(2a，0，0)，A(0，1，0)，B(2a，1，0)，P(0，0，1)，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,2)，\f(1,2)))，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(2a，1，－1)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2a，0，0).所以eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0，eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0.所以EF⊥PB，EF⊥AB.又PB⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PB∩AB＝B，所以EF⊥平面PAB.题型三平面和平面垂直角度1平面和平面垂直的证明〖例3－1〗在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面GEF⊥平面PBC.证明法一如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.令PA＝PB＝PC＝3，则A(3，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，3)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0)，P(0，0，0)，于是eq\o(PA,\s\up6(→))＝(3，0，0)，eq\o(FG,\s\up6(→))＝(1，0，0)，故eq\o(PA,\s\up6(→))＝3eq\o(FG,\s\up6(→))，∴PA∥FG.而PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC.又FG⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.法二同法一，建立空间直角坐标系，则E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0).∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝(0，－1，－1)，eq\o(EG,\s\up6(→))＝(1，－1，－1).设平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)，则有n⊥eq\o(EF,\s\up6(→))，n⊥eq\o(EG,\s\up6(→)).∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＋z＝0，,x－y－z＝0.))令y＝1，得z＝－1，x＝0，即n＝(0，1，－1).显然eq\o(PA,\s\up6(→))＝(3，0，0)是平面PBC的一个法向量.又n·eq\o(PA,\s\up6(→))＝0，∴n⊥eq\o(PA,\s\up6(→))，即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直，∴平面EFG⊥平面PBC.角度2平面和平面垂直的探索性问题〖例3－2〗如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2.(1)求证：AC⊥BF；(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出eq\f(BP,PE)的值；若不存在，请说明理由.解(1)证明∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF⊂平面ADEF，∴AF⊥平面ABCD.∵AC⊂平面ABCD，∴AF⊥AC.过A作AH⊥BC于H(图略)，则BH＝1，AH＝eq\r(3)，CH＝3，∴AC＝2eq\r(3)，∴AB2＋AC2＝BC2，∴AC⊥AB.∵AB∩AF＝A，AB，AF⊂平面FAB，∴AC⊥平面FAB.∵BF⊂平面FAB，∴AC⊥BF.(2)存在.理由：由(1)知，AF，AB，AC两两垂直.以A为坐标原点，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2eq\r(3)，0)，E(－1，eq\r(3)，2).假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合，设eq\f(BP,PE)＝λ，则λ>0，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2－λ,1＋λ)，\f(\r(3)λ,1＋λ)，\f(2λ,1＋λ))).设平面PAC的法向量为m＝(x，y，z).由eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2－λ,1＋λ)，\f(\r(3)λ,1＋λ)，\f(2λ,1＋λ)))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0，2eq\r(3)，0)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(AP,\s\up6(→))＝\f(2－λ,1＋λ)x＋\f(\r(3)λ,1＋λ)y＋\f(2λ,1＋λ)z＝0，,m·\o(AC,\s\up6(→))＝2\r(3)y＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝0，,z＝\f(λ－2,2λ)x，))令x＝1，则z＝eq\f(λ－2,2λ)，所以m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(λ－2,2λ)))为平面PAC的一个法向量.同理，可求得n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)，1))为平面BCEF的一个法向量.当m·n＝0，即λ＝eq\f(2,3)时，平面PAC⊥平面BCEF，故存在满足题意的点P，此时eq\f(BP,PE)＝eq\f(2,3).规律方法解决立体几何中探索性问题的基本方法(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理.(2)探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为(x，y，z)；②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如xOy面上的点为(x，y，0)；③坐标轴上的点两个坐标为0，如z轴上的点为(0，0，z)；④直线(线段)AB上的点P，可设为eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，表示出点P的坐标，或直接利用向量运算.〖训练3〗如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝eq\f(1,2)PD.证明：平面PQC⊥平面DCQ.证明如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA，DP，DC分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.则D(0，0，0)，Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，则eq\o(DQ,\s\up6(→))＝(1，1，0)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0，0，1)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(1，－1，0)，∴eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(DQ,\s\up6(→))＝0，eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝0，即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，又DQ∩DC＝D，DQ，DC⊂平面DCQ，∴PQ⊥平面DCQ，又PQ⊂平面PQC，∴平面PQC⊥平面DCQ.一、素养落地1.通过利用向量方法解决空间中直线、平面的垂直问题，把几何问题转化为代数问题解决，提升学生的数学运算、逻辑推理素养和直观想象素养.2.用向量知识证明直线、平面垂直问题的两种基本思路：一是用一组基底表示直线的方向向量、平面的法向量，把线、面的位置关系转化为向量的关系，利用向量的运算进行判断；二是用向量的坐标表示直线的方向向量、平面的法向量，把直线、平面的位置关系转化为向量的共线或数量积的运算问题.二、素养训练1.设l1的一个方向向量为a＝(1，3，－2)，l2的一个方向向量为b＝(－4，3，m)，若l1⊥l2，则m等于()A.1 B.eq\f(5,2)C.eq\f(1,2) D.3〖解析〗因为l1⊥l2，所以a·b＝0，即1×(－4)＋3×3＋(－2)×m＝0，所以2m＝9－4＝5，即m＝eq\f(5,2).〖答案〗B2.若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1，0)，b＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是()A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.无法确定〖解析〗a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β.〖答案〗B3.已知A(3，0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2，4，－2)，则△ABC是()A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.以上都不对〖解析〗∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－2，－5)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，6，4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，4，－1)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－3×(－1)＋(－2)×4＋(－5)×(－1)＝0，∴AB⊥AC.∴△ABC是直角三角形.又|eq\o(AB,\s\up6(→))|≠|eq\o(AC,\s\up6(→))|，故选C.〖答案〗C4.若向量a＝(－1，2，－4)，b＝(2，－2，3)是平面α内的两个不共线的向量，直线l的一个方向向量m＝(2，3，1)，则l与α的位置关系是________(填“垂直”“平行”“相交但不垂直”).〖解析〗设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·a＝0，,n·b＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋2y－4z＝0，,2x－2y＋3z＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝z，,y＝\f(5,2)z，))令z＝2，则n＝(2，5，2).因为m·n＝2×2＋3×5＋1×2≠0且m与n不平行，所以l与α相交但不垂直.〖答案〗相交但不垂直5.根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系：(1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8，2，2)；(2)平面α，β的法向量分别是u＝(1，3，0)，v＝(－3，－9，0)；(3)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a＝(1，－4，－3)，u＝(2，0，3).解(1)∵a·b＝1×8＋(－3)×2＋(－1)×2＝0，∴l1⊥l2.(2)∵v＝(－3，－9，0)＝－3(1，3，0)＝－3u，∴α∥β.(3)∵a·u＝－7≠0，∴l不与α平行，也不在α内.又a，u不共线，∴l与α不垂直.故l与α斜交.三、审题答题示范(一)利用空间向量证明线面垂直〖典型示例〗(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝eq\f(1,2)AD，G是PB的中点，△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD.求证：CD⊥平面GAC①.联想解题看到①想到利用空间向量证明线面垂直，即利用向量法证明CD与平面GAC内的两条相交直线垂直.满分示范证明如图，取AD的中点为O，连接OP，OB，OC，∵AD∥BC，AB＝BC＝CD＝eq\f(1,2)AD，∴四边形ABCO与四边形OBCD均为菱形，则OB＝OD，OA＝OC，故OB＝OC，∴△OBC为等边三角形，设BC的中点为E，连接OE，则OE⊥BC，故OE⊥AD.2分∵△PAD为等边三角形，O为AD的中点，∴PO⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD且PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，又OE⊂平面ABCD，∴PO⊥OE.4分故以O为坐标原点，分别以eq\o(OE,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，6分设AD＝4，则P(0，0，2eq\r(3))，A(0，－2，0)，C(eq\r(3)，1，0)，B(eq\r(3)，－1，0)，D(0，2，0)，故Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)，\r(3)))，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，1，0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，3，0)，eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2)，\r(3)))，8分所以eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－3＋3＝0，eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(AG,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)＋eq\f(3,2)＝0，10分故CD⊥AC，CD⊥AG.又AC⊂平面GAC，AG⊂平面GAC，AC∩AG＝A，所以CD⊥平面GAC.12分满分心得(1)若题设中没有给出明显的三条直线两两垂直，需要根据条件推证出来，以便建立空间直角坐标系.(2)用坐标法证明线面垂直的步骤：建系→写坐标→计算数量积→结论.第三课时空间中直线、平面的垂直课标要求素养要求1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系.利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系，判定直线、平面的垂直关系，培养学生的数学运算、直观想象素养和逻辑推理素养.新知探究观察图片，图中旗杆所在直线和地面垂直.问题1.直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线与平面有什么位置关系？2.若两平面的法向量垂直，则两平面垂直吗？〖提示〗1.垂直.2.垂直.1.两直线垂直的判定方法设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.2.直线和平面垂直的判定方法设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.3.平面和平面垂直的判定方法设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.拓展深化〖微判断〗1.两直线的方向向量垂直，则两直线垂直.(√)2.若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面垂直.(×)〖提示〗若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行或在平面内.3.若两平面垂直，则这两个平面的法向量所成的角一定是90°.(√)〖微训练〗1.若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，则()A.l1∥l2 B.l1⊥l2C.l1，l2相交但不垂直 D.不能确定〖解析〗∵a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.〖答案〗B2.若直线l的一个方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的一个法向量为n＝(－2，0，－4)，则()A.l∥α B.l⊥αC.l⊂α D.l与α斜交〖解析〗∵n＝(－2，0，－4)＝－2(1，0，2)＝－2a，∴n∥a，∴l⊥α.〖答案〗B3.已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，则t的值为________.〖解析〗∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量u与平面β的法向量v互相垂直，∴u·v＝0，即－1·t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.〖答案〗5〖微思考〗1.若两个平面的法向量不垂直，那么这两个平面垂直吗？〖提示〗不垂直.2.若直线l的方向向量与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直，那么l与α垂直吗？〖提示〗垂直.题型一直线和直线垂直〖例1〗如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝eq\f(1,4)CC1.求证：AB1⊥MN.证明法一设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则由已知条件和正三棱柱的性质，得|a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝a＋c，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(AN,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,4)c，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,4)c，∴eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＝(a＋c)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋\f(1,4)c))＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)cos60°＋0－0＋0＋eq\f(1,4)＝0.∴eq\o(AB1,\s\up6(→))⊥eq\o(MN,\s\up6(→))，∴AB1⊥MN.法二设AB中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)，0))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)，\f(1,4)))，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，1))，∵M为BC中点，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)，0)).∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,4)))，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(1，0，1)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)＋0＋eq\f(1,4)＝0.∴eq\o(MN,\s\up6(→))⊥eq\o(AB1,\s\up6(→))，∴AB1⊥MN.规律方法利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤：(1)基向量法：①选取三个不共面的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；②把两直线的方向向量用基底表示；③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直.(2)坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；③计算两直线方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直.〖训练1〗如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AC的中点.求证：(1)BD1⊥AC；(2)BD1⊥EB1.证明以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1，则B(1，1，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，B1(1，1，1).(1)eq\o(BD1,\s\up6(→))＝(－1，－1，1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，∴eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0，∴eq\o(BD1,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴BD1⊥AC.(2)eq\o(BD1,\s\up6(→))＝(－1，－1，1)，eq\o(EB1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))，∴eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(EB1,\s\up6(→))＝(－1)×eq\f(1,2)＋(－1)×eq\f(1,2)＋1×1＝0，∴eq\o(BD1,\s\up6(→))⊥eq\o(EB1,\s\up6(→))，∴BD1⊥EB1.题型二直线和平面垂直〖例2〗如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.证明法一设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝b，则eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1F,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1D1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－a＋b＋c).∵eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a＋b，∴eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(－a＋b＋c)·(a＋b)＝eq\f(1,2)(b2－a2＋c·a＋c·b)＝eq\f(1,2)(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0.∴eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(AB1,\s\up6(→))，即EF⊥AB1.同理，EF⊥B1C.又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C⊂平面B1AC，∴EF⊥平面B1AC.法二设正方体的棱长为2，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(2，2，1)，F(1，1，2).∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝(－1，－1，1)，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(0，2，2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，2，0).∴eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(－1，－1，1)·(0，2，2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0，eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，－1，1)·(－2，2，0)＝2－2＋0＝0，∴eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴EF⊥AB1，EF⊥AC.又AB1∩AC＝A，AB1，AC⊂平面B1AC，∴EF⊥平面B1AC.法三由法二得eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(0，2，2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，2，0)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝(－1，－1，1).设平面B1AC的法向量n＝(x，y，z)，则eq\o(AB1,\s\up6(→))·n＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·n＝0，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2y＋2z＝0，,－2x＋2y＝0.))取x＝1，则y＝1，z＝－1，∴n＝(1，1，－1)，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝－n，∴eq\o(EF,\s\up6(→))∥n，∴EF⊥平面B1AC.规律方法证明直线与平面垂直的方法：法一选基底，将相关向量用基底表示出来，然后利用向量的计算来证明.法二、法三建立空间直角坐标系，利用坐标将向量的运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目的.〖训练2〗如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD，PB的中点.求证：EF⊥平面PAB.证明以D为坐标原点，DA的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.设E(a，0，0)，其中a＞0，则C(2a，0，0)，A(0，1，0)，B(2a，1，0)，P(0，0，1)，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,2)，\f(1,2)))，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(2a，1，－1)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2a，0，0).所以eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0，eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0.所以EF⊥PB，EF⊥AB.又PB⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PB∩AB＝B，所以EF⊥平面PAB.题型三平面和平面垂直角度1平面和平面垂直的证明〖例3－1〗在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面GEF⊥平面PBC.证明法一如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.令PA＝PB＝PC＝3，则A(3，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，3)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0)，P(0，0，0)，于是eq\o(PA,\s\up6(→))＝(3，0，0)，eq\o(FG,\s\up6(→))＝(1，0，0)，故eq\o(PA,\s\up6(→))＝3eq\o(FG,\s\up6(→))，∴PA∥FG.而PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC.又FG⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.法二同法一，建立空间直角坐标系，则E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0).∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝(0，－1，－1)，eq\o(EG,\s\up6(→))＝(1，－1，－1).设平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)，则有n⊥eq\o(EF,\s\up6(→))，n⊥eq\o(EG,\s\up6(→)).∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＋z＝0，,x－y－z＝0.))令y＝1，得z＝－1，x＝0，即n＝(0，1，－1).显然eq\o(PA,\s\up6(→))＝(3，0，0)是平面PBC的一个法向量.又n·eq\o(PA,\s\up6(→))＝0，∴n⊥eq\o(PA,\s\up6(→))，即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直，∴平面EFG⊥平面PBC.角度2平面和平面垂直的探索性问题〖例3－2〗如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2.(1)求证：AC⊥BF；(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出eq\f(BP,PE)的值；若不存在，请说明理由.解(1)证明∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF⊂平面ADEF，∴AF⊥平面ABCD.∵AC⊂平面ABCD，∴AF⊥AC.过A作AH⊥BC于H(图略)，则BH＝1，AH＝eq\r(3)，CH＝3，∴AC＝2eq\r(3)，∴AB2＋AC2＝BC2，∴AC⊥AB.∵AB∩AF＝A，AB，AF⊂平面FAB，∴AC⊥平面FAB.∵BF⊂平面FAB，∴AC⊥BF.(2)存在.理由：由(1)知，AF，AB，AC两两垂直.以A为坐标原点，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2eq\r(3)，0)，E(－1，eq\r(3)，2).假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合，设eq\f(BP,PE)＝λ，则λ>0，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2－λ,1＋λ)，\f(\r(3)λ,1＋λ)，\f(2λ,1＋λ))).设平面PAC的法向量为m＝(x，y，z).由eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2－λ,1＋λ)，\f(\r(3)λ,1＋λ)，\f(2λ,1＋λ)))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0，2eq\r(3)，0)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(AP,\s\up6(→))＝\f(2－λ,1＋λ)x＋\f(\r(3)λ,1＋λ)y＋\f(2λ,1＋λ)z＝0，,m·\o(AC,\s\up6(→))＝2\r(3)y＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝0，,z＝\f(λ－2,2λ)x，))令x＝1，则z＝eq\f(λ－2,2λ)，所以m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(λ－2,2λ)))为平面PAC的一个法向量.同理，可求得n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)，1))为平面BCEF的一个法向量.当m·n＝0，即λ＝eq\f(2,3)时，平面PAC⊥平面BCEF，故存在满足题意的点P，此时eq\f(BP,PE)＝eq\f(2,3).规律方法解决立体几何中探索性问题的基本方法(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理.(2)探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为(x，y，z)；②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如xOy面上的点为(x，y，0)；③坐标轴上的点两个坐标为0，如z轴上的点为(0，0，z)；④直线(线段)AB上的点P，可设为eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，表示出点P的坐标，或直接利用向量运算.〖训练3〗如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝eq\f(1,2)PD.证明：平面PQC⊥平面DCQ.证明如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA，DP，DC分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.则D(0，0，0)，Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，则eq\o(DQ,\s\up6(→))＝(1，1，0)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0，0，1)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(1，－1，0)，∴eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(DQ,\s\up6(→))＝0，eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝0，即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，又DQ∩DC＝D，DQ，DC⊂平面DCQ，∴PQ⊥平面DCQ，又PQ⊂平面PQC，∴平面PQC⊥平面DCQ.一、素养落地1.通过利用向量方法解决空间中直线、平面的垂直问题，把几何问题转化为代数问题解决，提升学生的数学运算、逻辑推理素养和直观想象素养.2.用向量知识证明直线、平面垂直问题的两种基本思路：一是用一组基底表示直线的方向向量、平面的法向量，把线、面的位置关系转化为向量的关系，利用向量的运算进行判断；二是用向量的坐标表示直线的方向向量、平面的法向量，把直线、平面的位置关系转化为向量的共线或数量积的运算问题.二、素养训练1.设l1的一个方向向量为a＝(1，3，－2)，l2的一个方向向量为b＝(－4，3，m)，若l1⊥l2，则m等于()A.1 B.eq\f(5,2)C.eq\f(1,2) D.3〖解析〗因为l1⊥l2，所以a·b＝0，即1×(－4)＋3×3＋(－2)×m＝0，所以2m＝9－4＝5，即m＝eq\f(5,2).〖答案〗B2.若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1，0)，b＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是()A.平行