北京市顺义区第一中学2024−2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

北京市顺义区第一中学2024−2025学年高一下学期3月月考数学试题一、单选题（本大题共10小题）1．设，，则（

）A． B． C． D．2．已知，，若，则点的坐标为（

）A． B． C． D．3．若为第二象限角，且，则（

）A． B． C． D．4．设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是A． B．C． D．5．向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线,则实数A． B． C． D．6．已知函数（）的部分图像如图所示，则（

）A． B．C． D．7．在矩形中，，，为上的动点，则（

）A．0 B．1 C．2 D．48．设，是非零向量.则“存在实数使得”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．为奇函数 B．的最小正周期为C．在区间上单调递增 D．有最大值，没有最小值10．半径为2m的水轮如图所示，水轮的圆心距离水面m.已知水轮按逆时针方向每分钟转4圈，水轮上的点到水面的距离(单位：m）与时间(单位：s）满足关系式.从点离开水面开始计时，则点到达最高点所需最短时间为（

）A．s B．s C．s D．10s二、填空题（本大题共5小题）11．的值是12．已知向量，，且与的夹角为45°，则=.13．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则..14．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可以为（写出一个满足条件的的值即可）15．已知函数，给出下列结论：①为的一个零点；②为周期函数；③在区间上单调递增；④的最大值为．其中所有正确结论的序号是.三、解答题（本大题共6小题）16．已知向量，.(1)求的坐标；(2)设的夹角为，求的值；(3)若，求的值.17．已知，．（1）求及的值；（2）求的值．18．已知向量满足．(1)求向量与的夹角；(2)若向量在方向上的投影向量为，求的值．19．已知函数．(1)求的最小正周期；(2)求的单调递增区间；(3)求在区间上的值域．20．已知函数.(1)求函数的对称轴方程；(2)若函数在区间上恰有个零点，（i）求实数的取值范围；（ii）求的值.21．在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量.作：，，当不共线时，记以为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定.(1)已知，求；(2)若向量，求证：；(3)记，且满足，求的最大值.

参考答案1．【答案】C【详解】向量，则则.故选C.2．【答案】A【详解】因为，所以是线段的中点，所以点的坐标为，即，故点的坐标为.故选A.3．【答案】D【详解】因为为第二象限角，且，所以；所以.故选D.4．【答案】A【详解】∵∴−=3(−)；∴=−.故选A.5．【答案】D【详解】由图中可知，若向量与共线,则.答案为D.6．【答案】A【分析】由函数的图象求得，得到，结合，求得的值.【详解】由函数的图象，可得，所以，则，所以，又由，可得，所以，又因为，所以.故选：A.7．【答案】D【详解】因为是矩形，为上的动点，所以；因为,所以.故选D.8．【答案】B【详解】若“”，则平方得.即，即则，即，即，同向共线，则存在实数使得；反之当时，存在，满足，但“”不成立.即“存在实数使得”是“”的必要不充分条件.故选B．9．【答案】C【详解】由，所以函数为偶函数，所以A不正确；由函数，可得函数的最小正周期为，所以B不正确；又令，解得，所以函数单调递增区间为，，令，的其中一个单调递增区间为，所以C正确.因为，所以当时，，故D不正确.故选C.10．【答案】B【详解】水轮每分钟逆时针转动4圈，则函数的最小正周期为15s，则，由水轮的半径为2m，水轮圆心O距离水面m，因为，可得，，所以，当水轮上点P从水中浮出时x=0s开始计时，令，解得，点P第一次到达最高点需要.故选B.11．【答案】/【详解】.12．【答案】1【详解】因为，所以，且，与的夹角为45°，所以.13．【答案】【详解】因为在上的投影向量为，所以，又，所以，又，所以.14．【答案】（答案不唯一）【详解】的图象向右平移个单位长度，得到，得到的函数图象关于轴对称，则：，，解得：，当时，．15．【答案】①②④.【详解】对于①，，故①正确；对于②，，所以为周期函数，故②正确；对于③，，，故③不正确；对于④，，令，，当，，故④正确.16．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）因为，，所以（2）（3）因为，所以，所以，解得：.17．【答案】（1），；（2）【详解】（1）因为，所以因为，即，解得：或因为，所以，所以.（2）因为，且，解得：，，因为，所以，，所以，，因为，，所以，所以.18．【答案】(1)(2)【详解】（1），，即，，，又，与的夹角为；（2），．19．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）因为所以的最小正周期为.（2）因为，，所以，.所以的单调递增区间为.（3）因为，所以.当，即时，取得最大值3;当，即时，取得最小值0-所以在区间上值域为20．【答案】(1)(2)（i）；（ii）【详解】（1）由题意可得：，令，解得：，所以的对称轴方程为.（2）由（1）得：，令，可得，当时，令，则在区间上恰有个零点等价于与在上恰有个不同的交点，作出在上的图像如下图所示，由图像可知：当时，与恰有个不同的交点，所以实数的取值范围为；（ii）设与的个不同的交点分别为，则，，则，即，整理可得：，