2025年中考数学一轮复习等腰等边三角形“三线合一”训练小专题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年中考数学一轮复习等腰等边三角形“三线合一”训练小专题1．如图，在中，，于点E，过点A作，连接并延长，交于点C．(1)求证：．(2)连接，求证：四边形是平行四边形．2．如图，在中，，，，动点D从点A出发，沿线段以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作交所在的直线于点F，连接．设点D运动时间为秒．(1)当时，求的面积．(2)当是等腰三角形时，求的值．3．在四边形中，(1)如图①，求证：(2)如图②，在边上分别取中点M、N，连接．若，求的度数．4．如图，是等腰的底边上的中线，过点作，交于点．(1)求证：是等腰三角形．(2)求证：．5．如图，在中，，，垂足为，点在上．求证：．6．如图，在中，，，直线过点A，．过点作于D．在的延长线上取点，使得，连接，．(1)依题意用没有刻度的直尺和圆规补全图形（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；(2)用等式表示，，之间的数量关系，并证明（请补全下方思路）．思路：①在的延长线上取点F，使得，连接．②由垂直平分，依据线段的垂直平分线的性质可得___________，结合已知可得；根据等腰三角形的“三线合一”可得；③设，可以用含的代数式表示出___________，___________，从而证明出；④于是可证（___________），从而得到_________（用含，的代数式表示）．7．如图，在中，，于点D，是的外角的平分线．(1)求证：；(2)若平分交于点N，证明为等腰直角三角形．8．如图，在中，，，过点A作边的垂线交的延长线于点E，点F是垂足，连接，交于点O．(1)求证：四边形是正方形；(2)求证：．9．如图，在等腰中，，，过点作于点．(1)求的长；(2)若点是边的中点，连接，求的值．10．如图，在中，是的中点，，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，求的长．11．如图1，中，，，E为AB的中点，连接CE，过点A作于点D，交于点F．(1)求的度数；(2)求证：；(3)如图2，等腰直角中，，，CD平分，交AB于点D，于点E，若，求的面积．12．在中，，为的高，点P从C点出发沿射线方向以每秒1个单位的速度运动，设点P的运动时间为t．(1)求线段的长．(2)连接，当为等腰三角形时，求t的值．13．如图，在中，，是的高．点分别在上，且，连接．(1)求证：；(2)若，求的度数．14．已知：如图，在中，，是边上的高线，是边上的中线，于G，．(1)求证；(2)求的度数；(3)若，求．15．如图1，在中，，，点以每秒1个单位长度的速度，从点出发沿方向向终点运动，同时，点以每秒2个单位长度的速度，从点出发沿方向向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题：(1)当为何值时，；(2)在点、的运动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积等于6？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．(3)如图2，是的中点，连接，与交于点，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2025年中考数学一轮复习等腰等边三角形“三线合一”训练小专题》参考答案1．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解答本题的关键．（1）根据三线合一证明即可；（2）根据证明得，进而可证四边形是平行四边形．【详解】（1）证明：，，．（2）证明：，．在和中，，．，四边形是平行四边形．2．(1)(2)5或或4【分析】本题考查的是勾股定理、三角形的面积计算、等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．（1）过点C作于H，先根据勾股定理求出，再根据等面积法计算即可；（2）分、、三种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可．【详解】（1）解：如图，过点C作于H，在中，，，，由勾股定理得：．，则，解得：，当时，，则；（2）解：当时，，∴，∴；当时，，则，，即，解得：，由勾股定理得：，；当时，，，，由勾股定理得：，，，，，，．综上所述，是等腰三角形时，的值为5或或4，故答案为：5或或4．3．(1)证明见解析(2)【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，四边形内角和定理，熟知等腰三角形的性质是解题的关键．（1）根据等边对等角可得，再由角的和差关系可证明结论；（2）由三线合一定理得到，再由四边形内角和定理求解即可．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴（2）解：∵，M、N分别是的中点，∴，∴，∵，∴，∴．4．(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质：（1）由三线合一定理得到，，由平行线的性质得到，据此证明，即可证明，（2）根据和三线合一定理得到，根据等角对等腰得到，则可证明．【详解】（1）证明：是中线，，，．，，，即为等腰三角形．（2）证明：，．5．见解析【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；根据等腰三角形三线合一的性质，然后利用证明，再根据全等三角形的性质即可得出结论．【详解】证明：，，在和中．6．(1)作图见解析(2)；；；；【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）①根据题意画出图形即可；②依据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的“三线合一”即可求解；③证出，由直角三角形的性质即可求解；④根据全等三角形的性质与判定即可得出结论．【详解】（1）解：如图所示，（2）解：①在的延长线上取点F，使得，连接．②由作图知垂直平分，∴，，∵，∴，；③设，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴；④∴，∴，故答案为：；；；；．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．7．(1)见解析(2)见解析【分析】此题考查等腰三角形的性质，平行线的判定与性质．（1）根据等腰三角形的性质和平行线的判定证明即可；（2）利用平分线的定义和平行线的性质证明即可．【详解】（1）证明：，，是的外角的平分线，，，，，，；（2）证明：由（1）得：，，，平分交于点N，，为等腰直角三角形．8．(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查正方形的判定，三线合一，勾股定理：（1）三线合一，得到，证明，得到，推出四边形是平行四边形，再根据，，即可得证；（2）先证明，进而得到，根据等腰直角三角形的性质，结合勾股定理得到，即可得出结果．【详解】（1）证明：∵，，，∴，∵四边形是平行四边形．∴，∴，又∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵，，∴四边形是正方形．（2）∵，∴，∵四边形是正方形，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．9．(1)(2)【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟知等腰三角形的性质及正切的定义是解题的关键．（）在中，根据的正弦值及的长求出的长，然后用勾股定理即可求解；（）将转化为，在中求出的正切即可．【详解】（1）解：∵，∴，则在中，，∵，，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵，点是边的中点，∴，∴，又∵，∴，在中，，∴．10．(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了矩形的判定以及性质，三腰三角形三线合一的性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键．（1）由等腰三角形三线合一的性质得出，有平行线的性质得出，结合已知条件可得出，即可证明四边形是矩形．（2）由（1）可知四边形是矩形．由矩形的性质得出，，，由勾股定理求出，最后根据等面积法可得出，即可求出．【详解】（1）证明：∵，是的中点，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴四边形是矩形；（2）解：由（1）可知四边形是矩形．∴，∵，是的中点，∴，在中，，∵∴11．(1)(2)见解析(3)4【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．（1）根据等腰三角形的性质可得，，再由，即可求解；（2）根据题意可得为等腰直角三角形，从而得到，可证明，从而得到，即可求证；（3）分别延长，，相交于点F，由（2）得，，从而得到，再根据三角形的面积公式计算，即可求解．【详解】（1）解：，为的中点，，，

，，，，，

而，；（2）证明：，，为等腰直角三角形，，

又，，，．

为的中点，，．（3）解：如图，分别延长，，相交于点F，由（2）得，，

，，，的面积为．12．(1)4.8(2)6或9.6或【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理是解本题的关键．（1）根据勾股定理求出的长，再用等面积法求解即可；（2）根动点运动过程中形成三种等腰三角形，分情况即可求解．【详解】（1）解：，在中，，，是C的高，，；（2）解：①当时，即；②当时，，，，；③当时，设，则，，中，，，中，，解得．13．(1)见解析(2)【分析】本题考查的知识点是等腰三角形“三线合一”、全等三角形的判定、等边对等角．（1）根据等腰三角形“三线合一”推得后即可用“边角边”证明全等；（2）根据等腰三角形“三线合一”及等边对等角即可求解．【详解】（1）证明：，是的高，，，∵，∴，在和中，，；（2）解：，，，，，．14．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）如图，连接，证明，，．可得是等边三角形，可得，证明，结合，可得结论；（2）由，可得，，求解，结合，可得答案；（3）如图，过作于，证明，求解，再进一步解答即可．【详解】（1）证明：如图，连接，∵是边上的高线，∴，∵，∴，，∵是中线，∴，∴．∴是等边三角形，∴，∵，∴，∵，∴；（2）解：∵在中，，∴，，∴，∵，∴．（3）解：如图，过作于，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．15．(1)(2)存在，(3)存在，【分析】（1）由题意得，，再用表示出，且，根据，可知，从而得到关于的方程解之即可；（2）过点作于，作于，易得，推出，根据等腰三角形的性质和勾股定理得到，从而得到，推出，最后利用，得到关于的方程，结合的取值范围即可得到答案；（3）过点作于，于，交于，过点作于，则，由是的中点，得到，，推出，再利用勾股定理得到，然后利用面积关系，求得，再由勾股定理得到，易证，从而得到，求得，，，最后由，，推出，即，从而得到关于的方程解之即可．【详解】（1）解：由题意得：，，，，，，，，，即，解得：，当时，．（2）