河北省唐山市第八中学2024−2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析）

河北省唐山市第八中学2024−2025学年高一下学期3月月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知向量，则（

）A． B． C． D．2．已知复数，则（

）A．1 B． C． D．23．在四边形中，若，则四边形为（

）A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形4．在中，，，所对的边分别为a，b，c，其中，，，则（

）A． B． C． D．5．已知单位向量的夹角为，为实数，则“向量与向量的夹角为锐角”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件6．设的内角A，，所对的边分别为，，，若，则等于（

）A． B．C． D．7．鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖.某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案.如图，在山脚A测得山顶P得仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P得仰角为60°，则鼎湖峰的山高为（

）米.A． B．C． D．8．在中，，是的中点，与交于点，若，则（

）A． B． C． D．1二、多选题（本大题共3小题）9．下面给出的关系式中，正确的是（

）A． B．C． D．10．下列关于平面向量的说法中正确的是（

）A．已知，均为非零向量，则存在唯一的实数，使得B．若向量，共线，则点，，，必在同一直线上C．边长为的正方形中D．若点为的重心，则11．三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（

）A． B．若面积为，则周长的最小值为12C．当，时， D．若，，则面积为三、填空题（本大题共3小题）12．已知复数满足，则的实部为．13．向量在向量上的投影向量的坐标为．14．已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知，，且与夹角为求：(1)；(2)与的夹角．16．在中，内角所对的边分别为，，，已知已知.(1)求角的大小；(2)若，，求的值；(3)若，判断的形状．17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，，，．（1）求；（2）求的长．18．的内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若为锐角三角形，，求的取值范围.19．如图，在斜坐标系中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题：(1)若，，求的坐标；(2)若，，且，求实数的值；(3)若，，求向量的夹角的余弦值.

参考答案1．【答案】D【解析】先求出的坐标，再通过可求出的坐标.【详解】又因为，所以，故选D.2．【答案】B【详解】，.故选B.3．【答案】D【详解】由，可得，即，则四边形为平行四边形；又由，可得，则平行四边形四边形为菱形故选D.4．【答案】B【详解】，，，由正弦定理得，.故选B.5．【答案】B【详解】法一：由单位向量的夹角为，可得，．若向量与向量的夹角为锐角，则且向量与向量不共线．由，得；由向量与向量不共线，得，即．所以由向量与向量的夹角为锐角，得且．易知由，则向量与向量的夹角大于等于零且小于九十度.综上可得“向量与向量的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件．法二：因为单位向量的夹角为，所以不妨令，，则，．因为向量与向量的夹角为锐角，所以，且，得且．当时，可得，此时向量与向量的夹角大于等于零且小于九十度.综上可得“向量与向量的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件．故选B．6．【答案】A【详解】由于，故，故，故选A.7．【答案】B【详解】由题知，，，则，，又，所以，所以，，在中，，根据正弦定理有，且，则，在中，.所以山高为米.故选B.8．【答案】A【详解】∵，∴，∴.∵A，P，D三点共线，∴.∵，∴.∵E是边AB的中点，∴.∵E，P，F三点共线，∴，∴，解得，，∴，即，，故.故选A.9．【答案】ABD【详解】因为数与向量相乘为向量，所以，故正确；向量的数量积满足交换律，所以，故正确；根据数量积定义知，数量积为一实数，所以为，表示与共线的向量，而为，表示与共线的向量，所以不一定成立，故错误；根据数量积定义知，故正确；故选.10．【答案】AD【详解】对于选项A，由平面向量平行的推论可得其正确；对于选项B，向量，共线，只需两向量方向相同或相反即可，点，，，不必在同一直线上，故B错误；对于选项C，边长为的正方形中，故C错误；对于选项D，由平面向量中三角形重心的推论可得其正确.故选AD.11．【答案】ABD【详解】因为，由题意可得，整理得，由正弦定理边角互化得，又由余弦定理得，所以，A正确；当时，，所以，当且仅当时等号成立，所以，即，所以，B正确；由当，时，，解得，C错误；由，得，由正弦定理得解得，又因为，所以，D正确；故选ABD.12．【答案】【详解】设，则，所以，，所以，，解得，因此，复数的实部为.13．【答案】【详解】向量在向量上的投影向量为．14．【答案】/-0.2【详解】分别表示与方向的单位向量，故所在直线为的平分线所在直线，又，故的平分线与垂直，由三线合一得到，取的中点，因为，故，

以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则，设，，则，当时，取得最小值，最小值为.15．【答案】(1)12；(2).【详解】（1），，且与夹角为，，，，；（2），，，设与的夹角为，，又，所以，即与的夹角为．16．【答案】(1)；(2)；(3)正三角形．【详解】（1）在中，由及余弦定理得，而，所以.（2）由，及，得，所以.（3）由及，得，则，由（1）知，所以为正三角形.17．【答案】(1)；(2).【详解】(1)由AB∥CD可得，则，即，而，即有，在中，，所以；(2)由(1)知，，在中，由正弦定理得：，由余弦定理得：，即，解得或(舍去)，所以的长为.18．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理得，故，在中，，，所以，，则，可得，所以，所以.（2）