山西省大同市常青中学校等校联考2024−2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

山西省大同市常青中学校等校联考2024−2025学年高一下学期3月月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．若复数，则（

）A．2 B． C．10 D．2．已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．已知平面向量，，若，则（

）A． B． C． D．4．已知，，，则（

）A． B． C． D．5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（

）A． B． C． D．6．如图，为了测量M，N两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、乙、丙三位同学分别在N点、距离M点600米处的P点、距离P点200米处的G点进行观测．甲同学在N点测得，乙同学在P点测得，丙同学在G点测得，则M，N两点间的距离为（

）A．米 B．米 C．米 D．米7．如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为4，O是线段的中点，P为正八边形内的一点（含边界），则的最大值为（

）A． B． C． D．8．已知，，且，，则（

）A．1 B．3 C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则10．已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则是实数C．若，则是纯虚数 D．若，则11．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（

）A．若，则是等腰三角形B．若，则是锐角三角形C．若，，则面积的最大值为D．若，则三、填空题（本大题共3小题）12．已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量为．13．已知，则的值为．14．在中，D是的中点，点E满足，与交于点O，则的值为；若，则的值是．四、解答题（本大题共5小题）15．已知，复数．(1)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围；(2)若z满足，，求的值．16．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求的值；(2)若，的面积为，求边上的高．17．已知二次函数满足，函数满足，且不等式的解集为．(1)求的解析式；(2)若关于x的不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围．18．如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点．(1)若，求的值；(2)求的长；(3)求的取值范围．19．定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量．(1)若向量为函数的伴随向量，求；(2)若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值；(3)若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围．

参考答案1．【答案】D【详解】因为，所以.故选D.2．【答案】C【详解】集合，，当时，，当时，，当时，，当时，，所以.故选C.3．【答案】A【详解】向量，，由，得，所以.故选A.4．【答案】B【详解】依题意，，所以.故选B.5．【答案】A【详解】在中，由，得，由正弦定理得，所以.故选A.6．【答案】C【详解】由，得，而，，由余弦定理得（米）.故选C.7．【答案】B【详解】如图过点作直线，交于点，因，又，则，而即在直线上投影的数量，要使取最大值，则需使在直线上投影的数量最大，由图知，当点与点或重合时投影向量的数量最大.因，由对称性知，，在中，，因，解得，则，故的最大值为.故选B.8．【答案】D【详解】令，则在定义域上单调递增.则，，所以，则有，故.故选D.9．【答案】BD【详解】向量为矢量，既有大小又有方向，不等比较大小，故A错误；相等向量的方向与大小都相同，所以也共线，也具有传递性，故BD正确；当时，向量不一定共线，故C错误.故选BD.10．【答案】ABC【详解】因为，，所以，故A正确；设，则，所以，故B正确；设，则，所以，解得，所以是纯虚数，故C正确；，则但，故D错误.故选ABC.11．【答案】BC【详解】对于A，由及正弦定理得，即，则或，即或，是等腰或直角三角形，A错误；对于B，由，得，则是的最大内角，又，则，为锐角，是锐角三角形，B正确；对于C，由，及余弦定理得，当且仅当时取等号，因此，C正确；对于D，取，满足，而，则，即，D错误.故选BC.12．【答案】【详解】由题意可得在上的投影向量为.13．【答案】【详解】，.14．【答案】【详解】在中，由，得，则，令，又D是的中点，则，而共线，因此，解得，所以；，于是，所以.15．【答案】(1)；(2).【详解】（1）复数在复平面内对应的点为，由z在复平面内对应的点位于第四象限，得，解得，所以的取值范围是.（2）依题意，，又，则，解得，，所以.16．【答案】(1)(2)【详解】（1）由和余弦定理，可得：，化简得，则得，故；（2）由可得，由（1）已得，解得，由余弦定理，，解得，设边上的高边上的高为，则由，解得，故边上的高为.17．【答案】(1)；(2).【详解】（1）由，得，则，由二次函数满足，设，不等式，即，依题意，是方程的二实根，且，于是，解得，所以的解析式为.（2）由（1）知，，不等式，依题意，不等式对任意的恒成立，而，，当且仅当，即时取等号，因此，解得，所以实数m的取值范围是.18．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）由分别为的中点，则，，由图可得，则，所以.（2）由（1）可知，，由，则，，可得，解得.（3）由图可得，，，由，则.19．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）因，则，故.（2）依题意，，由可得，因，则，故，解得因，则，又，代入解得①，由正弦定理，，可得，代入①