圆锥曲线之面积问题一（含答案）

第二讲：面积问题（一）

W【学习目标】

基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，三角形，四边形面积的推导过程;

应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的弦长公式,点到直线距离公式的应用，并能够熟练

使用求解三角形，四边形面积;

拓展目标：能够熟练应用弦长和点到直线距离公式,求解圆锥曲线面积定值等问题.

素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法,培养独立思考和逻辑分析能力，提升学

生的数学运算和数学抽象的核心素养.

【基础知识】

1、弦长公式

22

若“、N在直线歹=区+加上代入化简，得|MN|=J1+左2忖一司=7(1+^)[(^+^)-4^2].

2、三角形面积问题

|飙一%+时

d=\PH\=

直线N3方程：y=kx+mJ1+左2

l^o-y+m|\VA|AX-y+m\

SMBP=，斗d=+—夸0=0Q

Ti+P~

3、焦点三角形的面积

直线N3过焦点2G的面积为

S^BF、=；山与卜|乂一％|=。|必一%|=^^

14a2b2(a2A2+b?B2—C2)|C|

Sa。尸951d

2片f+»7771?

+5252—02）C2.

a2A2+b2B2

注意：⑷为联立消去x后关于了的一元二次方程的二次项系数.

4、平行四边形的面积

1/42

直线N3为了=履+叫，直线CO为夕=奴+牝

S;

2

\AB\=>!\+k|xj—x2|=+左2](再+x)2_4X]X=J]+左2

122-哈

|加i-m

V2

。口ABCD二…、尸落匕L四

1।⑷ViTF0

注意：为直线与椭圆联立后消去歹后的一元二次方程的系数.

【考点剖析】

考点一：求三角形面积

22

C:「+4=l(a>6>0)V2

1.已知椭圆ab,,的左焦点尸（-1，°）,且离心率为2.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）若0（1，-2）,过椭圆C的左焦点厂的直线/交椭圆C于M、N两点，且直线/倾斜角为45。，求

△。暇N的面积.

—Hy=1—

【答案】⑴2..⑵3.

c_V2

a2

13_

寿.薪一

a2=b2+c2

解析：（1）由已知得:

a=V2

<b=12

=]—+y2=1

解得〔c，所求椭圆方程为2

⑵设河（再，%），"。2，%）,直线/的斜率gtan45o=l,故直线/的方程为：片》+1,

|y=x+1

联立['2+2/-2=0,消去x得：3y2-2y-l=0

y=--1

法一：；.^=1或3.

2/42

\y=x+l

联立i了=-2得£(-3,-2)(QE=4

的面积为:

2-1

法二，"十%

(y=x+l

联立iV=一2得£(-3,-2),QE=4

的面积为:3H…』=|

141

法三：.f=l或3.代入直线v=x+i,得'，33

C8而

；.N到直线QM：3x+V-l=0的距离一飞",|。叫=，10

18

.♦・小义的面积为丁河匕,

22

C:——+=1(。>Z>>0)V2

变式训练1:已知椭圆ab~的离心率为2,右焦点写到上顶点的距离为近.

(1)求椭圆C的方程;

⑵斜率为2的直线/经过椭圆C的左焦点£,且与椭圆C相交于48两点，求A4即的面积.

由(1)得片(T°)，60，°),则由题意可设直线/号=2》+1),

x2_,

---=129

代入椭圆方程2整理可得9/+16X+6=0,

162

设A(不必),B(x2,y2),则再+%=一彳庄=3,

3/42

则由弦长公式知

又设月至〃的距离为“，则由点到直线距离公式可得"出,

c110V244V10

S口=—x------x--j==--------

的面积229石9,

4碗

即所求面积为k.

解法二：

由⑴得片（T°），6°，°）,则由题意可设直线/：”2。+1）,即“一5

X22,

----HV=12

代入椭圆方程2整理可得9广-外-4=0,

44

设N（XQ）B（X2，%）,则乂+%=§，卬

,।「--------~_11616_4Vi0

•」弘一〉2|=｛（必一了2）-4必J/2=后+§=~^~

则一的面积5fl电冈必--卜-讣噜,

4亚

即所求面积为9.

例2.已知抛物线°：/=2Px（p>0）上的点M（4,7"）到焦点F的距离为6.

（1）求抛物线C的方程；

（2）设厂为抛物线C的焦点，直线/?=2x-8与抛物线C交于A,8两点，求的面积.

【答案】⑴J、"；（2）12

\MF\=4+^-=6“

解析：⑴因为2,所以〃=、

故抛物线方程为：产=8七

⑵设”（再，必），3。2，%）,且不<马，

由1"=2无一8可得X?—10丁+16=0,故x=2或x=8,

故玉=2,七=8,故1（2,-4）,8（8,8）,故同卜gx|2-8|=6石,

4/42

|2x2-0-8|4

d—L—

而尸到直线/B的距离为布4亚,

—x-^x6V5=12

故AK48的面积为2V5

变式训练2：已知抛物线U/=2加(°>0)的焦点为尸，直线》=26与抛物线C的准线交于点A,。为坐

标原点，Q=2|0n

(1)求抛物线C的方程；

⑵直线/：『=瓜+2与抛物线C交于/,N两点，求A4MN的面积.

【答案】⑴/=8乙⑵80

/卜后一父尸］。,马

解析：⑴由题意可得I2(I2九

、匹+12=2XB

因为|O/|=2|O刃，所以丫42,解得〃=4,

故抛物线C的方程为V=8y.

d_|V3x2V3+2+2|_5

⑵由（1）可知/（26，-2）,则点A到直线/的距离V3+1

\y=Gx+2

联立"二匕，整理得Y—8氐-16=0.

设M（X],必），N（^2，丫2）,贝|西+%2=8A/^,

从而必+%=（再+%2）+4=x8>/3+4=28

因为直线/过抛物线的焦点尸，所以1MN|=»+%+4=28+4=32.

人4A-丫—IMN\d=—x32x5=80

故AOW的面积为22

5/42

C勺=1(。>08>0)=1

例3.已知双曲线«b-与双曲线62的渐近线相同，且经过点

(1)求双曲线C的方程；

(2)已知双曲线0的左右焦点分别为耳，工，直线/经过斜率为7,/与双曲线0交于A,B两点,

求MN5的面积.

【答案】⑴3；(2)6夜.

2222

vx321

----------=%Ca、------=7％=—

解析：(1)设所求双曲线0方程为62，代入点"力得：62，即2,

y2，12y2,

---------=—X=1

，双曲线C方程为622,即3.

(2)由(1)知：1(,),2('),即直线AB的方程为了=一。一2).

设/（XQ1）,8（%2，%），联立、*3,得2，+4%-7=0,

__7

满足A>0且再+迎=-2,王马-2,

|四=J1+（-1）2.|x「七|=Jl+（-I?.（-2）2-4.JJ

由弦长公式得、I2>=>/2-3V2=6,

J-2+Q-2L/2

点耳（-2,0）到直线/8:x+y-2=0的距离D^2V

变式训练3：已知中心在原点的双曲线C的右焦点为尸Q，0),直线孔-2了=°与双曲线C的一个交点的横

坐标为2.

(1)求双曲线°的标准方程；

(2)过点(°」)，倾斜角为135°的直线/与双曲线C相交于A、B两点，°为坐标原点，求AONB的面积.

2

x2y-i3

【答案】⑴3.(2)2

=1（。〉0,6>0）

解析：(1)设双曲线C的标准方程是/

由题可知：点口3)在双曲线C上,

6/42

a2+b2=4

a2=\

巴-2=i-

2

从而有"〃，解得b=3

X————]

所以双曲线c的标准方程为3

(2)由已知得直线/的方程为y=_x+l即x+yT=0

,|o+o-i|1

d—1-----------L-------

所以原点。到直线/的距离历

<3

联立〔歹=一、+1消去丁可得x2+x-2=0

设4a,弘),_8。2，歹2),贝|J西+工2=-1，可%2=-2

\AB\==V1+FJ(-1)2-4x(-2)=3V2

所以VY

S=-\AB[d=-x342x-^==-

所以AO/5的面积22拒2.

考点一：求四边形面积

22

..C:=+4=l(a>b>0)I”，-1

1.已知为椭圆«6的左右顶点，恢蜀=、椭圆C的离心率为2.

(D求C的方程.

(2)斜率为1的直线/与抛物线V=4y相切，且与C相交于两点，求四边形4人区"的面积.

一)22472

------1------—1--------

【答案】⑴43；(2)7

解析：⑴由题意知.阂=4,可得2a=4,即。=2,

又因为c的离心率为，一5,即/一a,所以〃=3,

22

上+J

所以椭圆C的方程为43.

[y=x+m

(2)设1方程为y=x+"7,联立方程组1犬=4了，整理得X2-4X-4〃7=0,

因为直线/与x?=4y相切，可得△=16+16〃?=0,解得，〃=-1,即直线1方程为"Al,

7/42

所以如阕如一刃】卬12A/22472

77

E=l(a>Z>>0)FF

变式训练1：.已知椭圆«b-的左、右焦点分别为月，%,短轴的下端点A的坐标为

(0,-1),且1胤+|工即=4.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设B,C是椭圆E上异于A的两点，且直线2C与坐标轴不垂直，MB|=|/C|,8c的中点为G,求四边

形”尸。工的面积.

,473

一+y2=1---

【答案】⑴4.；(2)3

解析：(1)由椭圆E短轴的下端点A的坐标为(°，T)

可得：6=1

由|/用+以用=4及椭圆的定义，可得：2a=4,即a=2

x2_,

—y2=1

所以椭圆E的方程为：4■

(2)由直线BC与坐标轴不垂直，可设直线BC的方程为y=bc+n(k^O)

代入―+犷=4并整理得：(4^2+l)x2+8knx+4n2-4=0

贝ijA=64HH2-4(4k2+1)(4/-4)=16(4/+1_/)>0

_8kn

设8(国,歹1),。(工2，歹2),则有：4左2+1.

4knn

设8c的中点G(x。，％),则/I=,且为=°+n=4*2+l.

因为/8=/C,G为BC的中点，所以NG'BC,可得：kAG-kBC=-\

8/42

%+1.=]4Jm

则有：无。，即4/+1

4V+1

n=------

化简可得：3

A1/4721（4左2+1）

所A以=16I4左+1-I---3---人>0

解得：-4i<k<^2,且％NO

n_H_1

故有：%=4/+广京=3

则四边形/G耳的面积：2"”2bJ3.

例2.已知抛物线E：其：=2川(P>0)的焦点为尸，点尸在E上，点在E的内侧，且加+陷的

5

最小值为

(1)求£的方程;

(2)°为坐标原点，点/在>轴正半轴上，点及C为E上两个不同的点，其中2点在第四象限，且N3,

℃互相垂直平分，求四边形/O8C的面积.

【答案】⑴「=》；⑵6百

x=-P

解析：(1)E的准线为/：2,作H?1/于R,

根据抛物线的定义有陷=附，所以附+园=附+园,

因为I'2)在£的内侧，所以当P,Q,R三点共线时，PM+PO取得最小值,

|P7?|+|pd=l2^l=i+-=-p=-

此时।1111124,解得〃2,

所以E的方程为F=x.

(2)因为AB,0C互相垂直平分，所以四边形AOBC是菱形.

由Q4〃8C,得8clx轴，设点N(0,2a)(a>0),则叫=2°,

9/42

由抛物线的对称性知C（K"）,OC=（?,a）,"8=（?,_3。

由。C_L4B,^OC-A5=a2xtz2-3d!2=0,解得。=百，

所以在菱形Z05C中，M°I=2G,0/边上的高〃=/=3,

所以菱形4OBC的面积S=以。|A=2＞/3X3=6A/3■

变式训练2：设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为尸，过点尸的直线与C交于点,（再，乂），8（%,%）,且

乂%=1.

（1）求C的方程；

⑵过点A作C的一条切线/,/与V轴交于点°（0,相）（加＜-1）,与直线＞=T交于点E,过。作直线N8的

平行线与直线V=T交于点G,若|/E|=2|OE|,求四边形4EDG的面积.

【答案】⑴-=4九（2）86

解析：⑴由已知得I2人

y—k7xH—P

由题知直线48的斜率上存在，设直线方程为2,

12

代入*=2勿，^x-Ipkx-p-=0；所以%+》2=20左，XjX2=-p

一一》.（一万"

%为-一,--.2-~T

所以2p2P4P4.

又乂%=1,所以P=2,即C的方程为，=4j.

⑵由（1）知尸（°，］），由抛物线的对称性，不妨设再＞°

C:y=-x2y'=-x

因为-4,所以2

所以人「二9（、一再）.①

m=y.--x,=——

在①中，令x=0得'24

设E（XE，T）,由比＜_1且|/团=2］。用可知%=3苫£

10/42

土-1--2--

将I3'J代入①中得+“一/一解得％=3,占=26,即次2•3).

所以/:y=V3x-3,£>(0,-3).

73-1V3V3

k=—『=--DC:y=—X—3

直线N8的斜率AB2V3-03,所以直线3,

令I,得G(2"-l).

所以直线/G：X=26,所以4G〃。厂.

k=叵

又M可=|"G|=|"用=4,所以四边形/EDG是菱形.由《广々"可知N8倾斜角为30。，所以乙4ED=120。,

SAPn=lx4x4xsinl20°=473

故2

所以四边形/bDG的面积为2x46=86.

考点二：已知面积求参

已知椭圆记一1(。>6>°)的两焦点为片(T'°)和月过月的直线与椭圆C交

于48两点，且M48的周长为&

(D求椭圆C的方程;

12」

(2)若坐"8的面积为亍，求直线N8的方程.

22

%J-1

［答案］(1)43；⑵~_1=0或x+y7=0

解析：(1)\"耳/8的周长为8,

4〃=8,即Q=2,

又。=1,且/=〃+/,

..5=4,"=3.

22

二+匕=1

...椭圆C的方程为43.

(2)依题意可设直线的方程为：x=〃V+l,

11/42

'22

上+2=1

43

2

x=my+1消去彳?(3m+4)y2+6my-9=0

联立X

-6m-9

设”(国,凶)，/马,%),则必+，3加之+4,3m2+4

2加

卜「%|=J(弘+%丫-4%%=-6m|361242+1

22

3m2+4।3m+43m+4

a1g"II1、127^7112>/2

S""#闾加-必匕小中^〒，解得〃「±1.

・・・直线45的方程为：歹-1=0或%+歹-1=0

22

C:=+\=l(a>6>0)

变式训练1：已知椭圆ab2由C的上、下顶点，左、右焦点构成一个边长为血的正

方形.

(1)求C的方程;

2

(2)直线/过C的右焦点尸，且和C交于点48,设°是坐标原点，若三角形ON?的面积是求/的方

程.

%2_,

+2

~r~y=11曾__i_i

【答案】(1)2；⑵片xT或歹—一xv+l

解析：⑴由己知，。=亚,6=c=l,

2

x2,

—+y=1

所以C的方程为2

⑵尸(1，°),

11B)

S=-\AB\\OF\=-X42X1=^^-

①若/斜率不存在，易知OAB

②若/斜率存在，设4国,%),8(%，%),/：V="(x-l),和C的方程联立得:

2

4左22k-2

(1+2左2>2一4左2%+2左2—2=0/+%2=]+2k2*1"2=]+2左2

2k2-2

-4x

1+2左2

12/42

例2.已知抛物线C：廿=2"(p>0)与直线/:x+如-1=0交于尸两点，O为坐标原点，OP±OQ

(1)求抛物线C的方程；

(2)若△P。。的面积为石，求直线/的方程.

【答案】⑴「二x；⑵x+4y-l=0或x-4y-l=0

解析：⑴设尸(再，必)，。(%，%),

y2=2/>x,

V

联立方程组［X+⑶T=0,得/+220_20=0,

则%+%=—2pk,必%=-2P.

由A=4p2F+80>o得。公+2>0

因为。尸，。。，所以西%+乂%=(1-W1)(1-@2)+必%

=1-左(“+%)+(42+1)乂乂=0,

所以1+2请一2以r+1)=1-2。=0,

1

P=-2

所以2,故抛物线C的方程为歹=。

13/42

⑵由(1)知必+%=-%,必力=T,

所以IP0l="+〃)[(»+%>-4乂%]

=/1+/)(/+4)

d=.

因为点0到直线1的距离J1+/

5皿=-尸。旧=41+公)(/+4).二^二7^^=括

2

所以22S+k

所以4=±4,

故直线/的方程为x+4'T=°或xf-1=°.

变式训练2：已知抛物线与直线y="（x-D相交于48两点，°为坐标原点.

（1）求证：OA±OB.

（2）当S"OB=加时，求上的值.

k=±-

【答案】⑴证明见解析；⑵6.

（2

*y=%

解析：⑴联立方程「=%（》一1）,消去》得如2一

设/（再,乂）,8（9,匕），贝”必=-1,

因为必2=再，货=》2,所以再工2=（乂％）2=1,

所以。/•08=卒2+必%=1-1=0,

故ON'OB.

⑵由⑴可知：。4工。8

店zS"B=；•网.囱=；Jx；+y：h2+y；=屈

所以22

则Jx：+必2yjx；+%2—2\/f0

又yf=J；=x2

所以｛歹:+必2后/7二瓦歹2|1（必歹2）2+弘2+歹22+1=?屈

14/42

22

E:--+—1(a〉b>0)

由£的上、下顶点，左、右焦点构成一个边长为血的正方形.

例3.已知椭圆ab

(1)求E的方程;

⑵过E的右焦点厂做相互垂直的两条直线4,,2,分别和E交点4瓦C,o,若由点42,c,0构成的四

16

边形的面积是求4,,2的方程.

—+V2-1,,

【答案】⑴2.；(2)4与4的方程分别为：x+V-l=。，x-y-l=0

2

x2_,

I-FV—1

解析：(1)由已知，«=<2,b=c=l,所以E的方程为2'.

(2)又题意中，尸(L°),

①若4或,2斜率不存在，易知$四边…>[也℃><收/2艮24

不符合题意;

②若//斜率存在，设/"=稔-1),和£的方程联立得：

2

4k2后2-2

2222

(l+2k)x-4kx+2k-2=0X|+X2=]+2]=\+2k2

i2正传+i)

Z2:y=——(x-1)。|=————L

设k,同理可得K+2,

112行俏+1)2亚传+i)4俏+1116

所以$四边眼虚。=-\AB\\CD\=-X"a/—x—左2+2-=2^+5/+2=~9

解得公=1,k=±l,所以4与4的方程分别为：x+"l=0,x-y--[=Of

变式训练3：已知动点尸到点的距离与它到直线=4的距离之比为5.

(1)求动点P的轨迹所形成曲线C的方程;

15/42

⑵8(T，°),分别过耳，鸟作斜率为左(左,°)的直线与曲线C交于x轴上方48两点，若四边形

12®

耳耳8/的面积为〒，求上的值.

I1

【答案】⑴43.(2)±1.

1

解析：⑴设M(XJ),由题意得上一412,

22

土+匕=1

整理得43,即为曲线C的方程.

⑵由题意知AFJIBF],延长"月交椭圆C于点4,

由椭圆的对称性知以闽=忸闻，

所以■胤+忸可=|/胤+[4胤=|/可，

_反+J1

设g：V=MxT),与43联立消得,

（3+4左2）无2-8左2尤+4左2-12=0

设/（再,%），4（%,%）,

4k2-12

X]+工2=8kXyXj=-

12z

则3+4左2,3+4F,

|44|=J1+左2卜一121=J1+左2J（%1+々）2—4国入2

所以

2

8k24〃-1212（1+F）

=J1+万I-4x

3+4左22

3+4k=3+4F

因为点入到直线月耳的距离N1+E,

=

s四边形片爸历13*/+此|)IX也

所以\+k2

平方化简得17*+〃-18=0,解得/=1或17(舍)，

所以后=±1.

16/42

例4.已知抛物线£：y2=2px（p>°）的焦点为尸，点"（21）是抛物线内一点，尸为抛物线上的动点,

且以刊+141的最小值为3.

（1）求抛物线E的方程；

（2）过点01）作斜率之和为。的两条直线4,4（4的斜率为正数），其中4与曲线E交于M,c两点,

4与曲线E交于B,N两点，若四边形AffiCN的面积等于166，求直线4的方程.

【答案】⑴/=4,⑵-x

解析：（1）过点尸作抛物线£准线的垂线，垂足为。，则归刊=归必,

于是|4尸|+|41=|/尸|+|即|,

P

当A,P,。三点共线时，网+因有最小值二，

2+^=324

所以2,解得：0=2,所以抛物线E的方程为V=4x.

（2）依题意可知，直线4,4的斜率均存在，并且互为相反数，

由⑴知/°⑼，

设直线乙的方程为》=%（k1）+1（加>°）,。（七，力）,

将人的方程代入r=4x并化简得/-4叼+4加-4=0,

则必+%=4加，弘％=4加一4

\MC\=J1+加2.卜_8|=7T+/•J16加2-16加+16=4yli+加2•—m+\

利用_加替换加可得：忸N|=441+"-yjm-+m+\

7tan3=—11

设直线4的倾斜角为e,则加，直线4,,2的夹角。=2。或兀-29,

2sin。cos。2tan<92m

sina-sin20=

sin26^+cos201+tan261+m2

S=-\MC\■|52V|•sin2<9=16m-J(m2+1j-m2=165/3

因此四边形M8CW的面积217

令好疗，得9+1）2-『=3,从而有5+产+，=3,解得f=l,

此时机=i,故直线4的方程为歹二七

17/42

考点三：内切圆半径（面积）

22Y在C上.

。:二+q=1（"6>0）

1.已知椭圆。'的离心率为2,且点

（1）求椭圆C标准方程;

⑵设耳，耳为椭圆°的左，右焦点，过右焦点鸟的直线/交椭圆0于48两点，若A4幽内切圆的半径

为4,求直线/的方程.

J2=1

［答案］⑴了+〉一:（2）1+历_］=0或x

V2

解析：（1）因为椭圆的离心率为2,故可设

、

22

W1k2=-

--X--------*1-----V-------——T1

故椭圆方程为4F2k②，代入"导4r4/,故2,

"1

故椭圆方程为：2-

S=1X4A/2X—=—

⑵A/?片的周长为4"=4收，故…242

设/（玉,％）,8（孙力）,

由题设可得直线/与X轴不重合，故可设直线'="+1,

二；1X2X|M—Jzl=|弘一、2]=乎

S△

则，ABF12

x=ty+\

x2+2y2=2可得（ty+1）+2y2=2

由

整理得到[*?）破+2。-1=0,此时A=g?+8>0,

2亚xJ»+i76

+/弘一力卜

故〃+22，解得f=±也,

故直线/的方程为：x+向-1=0或x-®-l=O.

变式训练1：如图，尸为圆比6+1）一+必会上一动点，点/的坐标为（L°）,线段/尸的垂直平分线交直

18/42

线8尸于点。.

(1)求点°的轨迹E的方程;

V3

(2)过点/的直线/交石于G0两点，若内切圆的半径为4,求直线

1的方程.

j2=]

【答案】⑴了+'一；⑵x土岳-1=°

解析：⑴连接/。，由题意知：月尸0

\BQ\+\AQ\=\BQ\+\PQ\=\BP\=2y[2>\AB\=2,

即。的轨迹为椭圆，其中°=1,b2=a2-c2=l,

x2_,

—1-y2—1

所以椭圆C的标准方程为2；

(2)设点。(如％),直线/的方程为x=，+l,

2

x2

与椭圆了+'一1联立，消去x整理得(苏+2)西+2吵-1=0,

2m1

显然A>°成立，故加2+2,"“加2+2,

由椭圆定义得ACDR的周长为4a=4也，

故直线/的方程为x±®T=0.

工+匕=1

例2.已知椭圆43的左、右焦点分别为耳、F。,过椭圆的右焦点&作直线/,/与x轴垂直，交椭

圆于P、。两点.

(1)求0°的长.

19/42

⑵求△P。耳内切圆的面积.

9%

【答案】⑴3；⑵正

解析：⑴在椭圆4+3一中，«=2,6=5c=l,则片(T，。)、月(1，0),

x2片_.3

将x=l代入方程4+3—可得因此，帜@=3.

m以/=；|尸件2c=3

(2)乙，

设△物的内切圆半径为，，则叫+园+3gqx4"=3,并

2_9TT

因此，△尸。耳内切圆的面积为-16.

22旦

C:^+^=l(a>b>0)

变式训练2：已知椭圆«b2的左、右焦点分别为耳，区,离心率为耳，过且且垂直于

x轴的直线交椭圆于弦，N两点，且|八次|=也.

(1)求椭圆C的标准方程；

4#>7

(2)过月的直线/交椭圆C于A,8两点，若儿4期内切圆的周长为9，求直线’的方程.

X22।

----Fy=1

【答案】⑴2；(2)2x土歹—2=0.

cV2

e—_——

解析：(1)由题意可知a2.

因为过鸟且垂直于x轴的直线交椭圆于河，N两点，

且|肱V|=&,

所以。

结合/=^+。2,解得。=也，方=1,C=1.

X2_,

—y2~1

所以椭圆C的标准方程为2•.

4至兀

245

丁—____,——,

(2)月内切圆的半径一2万一9.

由椭圆的定义，得"AB片的周长为4a=4收，

20/42

设点A,3的纵坐标分别为外，％,

s=；l%rjx2=

则有9

।।4厢（、2，160

得历一R二丁，得（匕+“）一5%二句

设直线/的方程为即=》一1

2

X21

一+V=1

;2

由7孙=x-l,消去X并整理,

1

/日(m+2»2_)-2my-1=0

例3.已知椭圆C的对称中心为原点°,焦点在X轴上，左、右焦点分别为耳，后,且闺81=2,点

（1,|）

2在该椭圆上.

（1）求椭圆o的方程；

12枝

（2）过耳的直线/与椭圆C相交于N,8两点，若入48§的面积为亍，求以巴为圆心且与直线/相切的

圆的方程.

y2

【答案】⑴43一；（2）（1）+12.

解析：⑴解：由题意知。=1,所以片（T°）,E（L°）,

21