自动控制原理 第五次课（3）学习资料

本章小结：（1）介绍了从被控对象或控制系统的工艺机理出发，建立系统或对象数学模型的方法主要目的－分析、设计控制系统前提和基础：获得被控对象的特性－建立数学模型3种方法:机理模型－白箱子系统辨识－黑箱子两者结合－灰箱子控制学科的重要分支客观世界可以认识已建立从装置到企业级的数学模型，成为控制、管理、营销的基础（2）介绍了两种描述系统或对象的动态特性的方法微分方程（基本）传递函数（最常用的工具）（方块图和信号流图）介绍了这几种模型之间的转换。微分方程（基础）－描述变量间特性关系，求解复杂传递函数（最常用的工具）微分方程转化为代数方程从环节的传递函数→系统的方块图→求系统的传递函数方块图变换信号流图时域分析法:分析当控制系统输入变化时，其输出随时间变化的响应特性。R(s)Y(s)根据系统的数学模型求解出系统的时间响应,如y(t)=f(r(t))由系统输出响应分析系统特性评价和设计控制系统

r(t)ty(t)t1第三章

控制系统的时域分析方法动态响应：过渡过程或瞬态过程，反映出系统的动态性能；输出响应注意：系统达到稳态时，不一定输出数值不变，而是输出的变化形式固定不变，它们与输入信号的作用形式有关。稳态响应：反映出系统的稳态性能指当时间趋于无穷大时系统的输出状态。指在输入信号作用下，系统输出从初始状态变化到最终状态的响应过程。y(t)t13.1控制系统的过渡过程形式及性能指标

●在分析和设计控制系统时，需要有一个对各种系统性能进行比较的基础。

●从实际应用中抽象出一些典型的输入信号，它们具有广泛的代表性和实际意义。

●通过比较各类系统对这些典型试验信号的响应来分析它们的性能。

3.1.1控制系统的输入信号

常用的典型试验信号：

r(t)tr(t)tr(t)tr(t)tA(a)阶跃信号(c)斜坡信号(d)加速度信号(e)正弦信号图3-1典型试验信号r(t)t(b)脉冲信号

时间的简单函数，便于数学分析和研究3.1.1.1

阶跃输入信号阶跃输入信号可表示为(图3-1(a))：

A为阶跃信号的幅值，为常数A等于1时叫做单位阶跃信号，记做1(t)，否则记为A·1(t)最经常采用的试验信号，用来表示突变的信号，如电源断电和设备故障等

阶跃干扰是最严重的扰动形式r(t)tA(a)阶跃信号3.1.1.1

阶跃输入信号阶跃输入信号可表示为(图3-1(a))：

例如：室温调节，水位调节系统，以及工作状态突然改变或突然受到恒定输入作用的控制系统。r(t)tA(a)阶跃信号3.1.1.2单位脉冲信号单位脉冲输入信号又称δ(t)函数，它是图3-1(b)在ε→0时的极限情况，可表示为：

用来表示冲击型的脉冲扰动理想的δ(t)函数无法得到，持续时间非常短的脉动信号就认为是脉冲信号

r(t)t(b)脉冲信号3.1.1.3斜坡信号A为常数，此信号幅值随时间t作等速增长，其变化速率为A

用来表示随时间渐变的输入函数

若A等于1，称为单位斜坡信号斜坡输入信号可表示为(图3-1(c))：r(t)t(c)斜坡信号3.1.1.4抛物线(加速度)信号

A为常数，此信号幅值随时间以加速度A增长最适合用作航天器控制系统的试验信号若A等于1，称为单位抛物线信号抛物线输入信号可表示为(图3-1(d))：r(t)t(d)抛物线信号3.1.1.5正弦信号A为常数，表示正弦输入信号的幅值该信号随时间以频率ω作等幅振荡用来描述交流电源、电磁波等周期信号

正弦输入信号可表示为(图3-1(e))：r(t)t(e)正弦信号究竟使用哪种典型信号分析系统？取决于系统在正常工作时最常见的输入信号形式若输入是突然的脉动－脉冲信号若输入是突变的跃变－阶跃信号若输入随时间逐渐变化－斜坡信号若输入是周期信号－正弦信号……究竟使用哪种典型信号分析系统？取决于系统在正常工作时最常见的输入信号形式通常使用单位阶跃信号作为典型输入信号，在同一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究r(t)t1单位阶跃信号在多有可能的输入信号中，选取最不利的信号作为系统的典型输入信号进行研究3.2一阶系统的动态响应一阶线性系统：可用一阶线性微分方程描述的系统。描述一阶系统动态特性的微分方程式的标准形式：T称为时间常数，表示系统的惯性大小K表示对象的增益或放大系数传递函数是：(3-6)（假设K＝1，系统的初始条件为零。）3.2.1单位阶跃响应单位阶跃1(t)的拉氏变换为：(3-7)把(3-7)式代入(3-6)式(K=1):，取拉氏反变换有：(3-8)(3-6)由式（3-8）求出：一阶系统单位阶跃响应是单调上升的指数曲线(3-8)t＝T时，y(T)＝1-e-1＝0.632ty(t)0T2T3T4T5Tt＝5T时,y(5T)＝0.993…t＝4T时,y(4T)＝0.982t＝3T时,y(3T)＝0.95t＝2T时,y(2T)＝0.86563.2％86.5％98.2％99.3％B1A0.63295％说明：2、工程上，以响应曲线达到稳态值误差的2%（或5％）所需的时间，记为过渡时间(调节时间),记作ts。1、一阶系统的单位阶跃响应的稳态误差是零3、对一阶系统来说，ts是四倍（三倍）的时间常数,即ts=4T（ts=3T）。4、时间常数T反应一个系统的惯性，时间常数越小,系统的响应就越快，反之，越慢。一阶系统也被称为一阶惯性系统。对（3-8）式求导：研究输出曲线的变化速率:(3-8)T—1ty(t)0T2T3T4T5T163.2％86.5％98.2％99.3％A0.63295％斜率=1/T1.

一阶系统阶跃响应曲线的另一个重要特性是在t＝0处切线的斜率等于1/T。2.

一阶系统如能保持初始反应速度不变，则当t＝T时，输出将达到其稳态值。3.

实际上，一阶系统过渡过程y(t)的变化速率，随着时间的推移，是单调下降的。ty’(t)0T2T3T一阶系统单位阶跃响应的重要性质：总结：ty(t)0T2T3T4T5TB163.2％86.5％98.2％99.3％A0.63295％斜率=1/T1、经过一倍时间常数，即t=T时，系统从0上升到稳态值的63.2%。2、在t＝0处曲线切线的斜率等于1/T。3、当t＞4T时，一阶系统的响应曲线已经达到稳态值（稳态误差小于2%）。实验方法求取一阶系统的传递函数：63.2％T对一阶系统的单位阶跃响应曲线，思考题：若系统增益K不等于1，系统单位阶跃响应的稳态值应是多少？如何用实验方法从响应曲线中求取K值？2、从t＝0处的切线斜率求得系统的时间常数。1、直接从达到稳态值的63.2%对应的时间求出一阶系统的时间常数；3.2.2单位斜坡响应单位斜坡函数r(t)=t的拉氏变换为：把上式代入式(3-6)(K=1)，(3-6)取上式的拉氏反变换，即得系统的单位斜坡响应：它和输入参数的误差为[r(t)=t]：r(t)y(t)TTtx(t)y(t)te(t)0T2T3T4T5T63.2％TA0.632T特点：1、系统的动态响应是一个指数型的上升过程，先逐步加快，最后以输入相同的速度直线升高，并与输入相平行。2、系统的稳态响应为y(∞)=t－T，是一个与输入斜坡函数斜率相同但时间迟后T的斜坡函数。3、输出总是小于输入，误差逐步从零增大到时间常数T并保持不变，因此T也是稳态误差。系统的时间常数T越愈小，系统跟踪输入信号的稳态误差也越小。r(t)y(t)TTt0T2T3T4T5T0初始斜率1、一阶系统的脉冲响应为一单调下降的指数曲线；2、说明系统的惯性越小（T越小），系统的响应越快。3.2.3单位脉冲响应系统输出量的拉氏变换式就是系统的传递函数！注意：任何系统在单位脉冲输入信号作用下，输出的拉氏变换恰好为系统的传递函数。即对上式进行拉氏反变换，即得系统的单位脉冲响应函数g(t)：实验测定系统的传递函数：常用单位脉冲信号作用于系统，来测定系统的单位脉冲响应，由此可以求得系统的传递函数。总结与分析：l

一阶线性系统对输入信号导数的响应，可以通过把系统对输入信号的响应进行微分求得；这一结果适合(仅适用）所有的线性定常系统。l

系统对输入信号积分的响应，可以通过把系统对原输入信号的响应进行积分求得，而积分常数则由初始条件决定。t习题1：设单位反馈系统的单位阶跃响应为：1、求系统的单位脉冲响应；2、求该系统的闭环传递函数和开环传递函数。解：1、对单位阶跃响应求导，可得单位脉冲响应函数：2、对上式求拉氏变换，可得系统的闭环传递函数：可求出系统的开环传递函数：G0-Y(s)R(s)思考题：1、一阶系统的特征参数K、T对过渡过程的影响。2、如何利用施加3种测试信号辨识一阶系统的特征参数？00246810125101520K=20K=10K=200204060801001200.511.52T=20T=10在单位阶跃信号作用下：T=403.3二阶系统的动态响应3.3.1二阶线性定常系统数学模型的标准形式某电机调速系统（见图3-8）的开环传递函数为：图3-8电机调速系统的闭环方块图其中，T是机电时间常数，K是增益。其闭环传递函数为：可转换为下列的微分方程：写成标准形式，令：有：标准传递函数：两个特征参数：叫做系统的无阻尼自然频率，具有1/时间的因次。叫做阻尼系数（阻尼比），无因次。有(3-14)求解这个二阶系统的特征方程：可得它的两个特征根（极点）(3-14)阻尼系数不同时特征根在s平面上的位置

（3-15）阻尼系数不同时特征根在s平面上的位置

（3-15）阻尼系数不同时特征根在s平面上的位置

（3-15）阻尼系数不同时特征根在s平面上的位置

（3-15）阻尼系数不同时特征根在s平面上的位置

（3-15）0<ζ<1欠阻尼ζ=1临界阻尼ζ>1过阻尼ζ=0无阻尼ζ<0负阻尼阻尼系数不同时特征根在s平面上的位置

（3-15）3.3.2二阶系统的单位阶跃响应3.3.2.10＜ζ＜1时的欠阻尼情况这时系统有一对共轭复根：式中

，称为有阻尼自然频率。，称为阻尼角。上式可改写成取上式的拉氏反变换，有因此，Y(s)的拉氏反变换为：此时，y(t)的输出为衰减振荡过程。11.50.510-0.5051015(3-17)特点：①系统的单位阶跃响应y(t)及其误差信号e(t)均为衰减的正弦振荡曲线。②其振荡频率为，衰减速度取决于ζωn。

③从（3-18）式中还可以看出，当时间趋于无穷大时，系统的误差等于零。y(t)e(t)图3-9欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应1.50.510-0.5051015二阶系统的误差信号e(t)是：(3-18)

系统具有一对共轭纯虚根将ζ＝0代入式(3-17)，可得到＝l-cosωnt由此可知，当阻尼比ζ＝0时，①

系统的阶跃响应将变为等幅振荡。②

稳态时仍是等幅振荡。③

振荡频率为ωn。1211.50.5200246810频率ωn和ωd具有鲜明的物理涵义:ωn是无阻尼(即ζ＝0)时二阶系统等幅振荡过程的频率，因此也称为无阻尼自然频率。l

显然，ωd低于ωn,且随着ζ的增大，ωd的值减小。l

ωd＝是欠阻尼(0＜ζ＜1）时，系统衰减振荡过程的振荡频率，因此称为有阻尼自然频率。1211.50.5200246810系统具有两个相等的负实根

此时，由式(3-14)得到取上式的拉氏反变换，得二阶系统的过渡过程：（3-14）ζ＝1时的过渡过程是一个无超调的单调上升过程。1.50.510-0.5051015ζ=1

系统具有两个不等的负实根若令：则Y(s)可写成：取上式的拉式反变换，得到：在二阶系统的过渡过程y(t)中含有两个衰减指数项；

其代数和决不会超过稳态值1；

二阶系统的运动状态是非振荡的。1.50.510-0.5051015ζ=1.4ζ=13.3.2.5-1<ζ<0时的负阻尼情况

同（3-17）式。但是为指数增长的正弦振荡。(3-17)在单位阶跃函数作用下，当阻尼比ζ不同时，二阶系统的过渡过程曲线示于图。横坐标是无因次变量ωnt。二阶系统的标准曲线